I. 3* édit
l62 CHAPITBB DBUXlftHB.
commun surpasse algébriquement la demi -somme de ces poids d'une quantité exprimée par
en nommant Xi> Xs, X, les moments au-dessus des points d'appui qui limitent les deux travées. Cette formule ne peut s'appliquer qu'aux appuis placés entre deux travées consécutivesy et l'on a omis, dans le passage cité» de considérer le cas d'un appui extrême; mais un raisonnement tout à fait analogue
établit que la réaction d'une culée comprend le demi-poids
de la travée adjacente, diminué de —S en nommant Xi le moment de flexion sur la première pile et a la longueur de la travée de rive. D'un autre côté, le moment X« sur un appui quelconque «, lorsque la charge permanente agit seule et que la poutre n'a pas moins de trois travées, s'exprime par la formule générale (n"* 35, III)
sauf l'exception X« = Xr = o. On a ainsi tous les éléments nécessaires pour procéder aux calculs des réactions sous l'action d'une charge uniforme.
Pour les deux premiers ou les deux derniers appuis, oo posera
- Tiâ/'H^ -^ "N7 3ëT^j
En discutant (n' 36, III) la valeur de Xt, on à reconnu qu'on avait identiquement
,, Mj, 3-3» 3(a-t-i)[3'-(3-aA)(3-i)]
PRISSES FLÉCHIS PAR DBS FORGES TRANSTERSALES. l63
eu égard à cette relation et à des réductions qui se présentent naturellement» les valeurs de T, et de Ti deviennent
Pour tous les appuis suivants» jusqu'au milieu de la poutre (et il est inutile d'aller plus loin» en raison de la symétrie]» les travées adjacentes ont une même longueur bd; la réaction T. ou T«.« serait donc, d*après la formule (3) ci-dessus,
Tm = TjH-«i = pbi -h r^l^Xw — X«-, — X«+, )»
ou bien, en remplaçant les trois moments par leurs valeurs tirées de la formule (4]>
Or on a généralement, k étant un indice quelconque (n®32» III ],
Ma -f- 4Mm.i -f- M*^.a = o,
d'où résulte donc aussi
formule applicable à un indice m variable de 2 à n ~ a indusivement.
En raison de la restriction faite à propos de la formule (4)» le cas de la poutre à deux travées égales n'est pas compris dans ce qui précède, mais il peut se traiter bien simplement an moyen d'un théorème du n*» 27. Supposons, pour un instant, l'appui central Ai supprimé, de manière à n'avoir qu'une travée de longueur 216, chargée uniformément du poids total
2pb : alors il se produit au milieu A, une certaine flèche, et
nous savons qu'un poids g '^pb, concentré au même point Ai,
l64 CHAPITRE DEUXIÈME.
donnerait lieu à une flèche identique. Donc une force égale, mais prise dans le sens ascendant, la détruirait. Or l'appui supprimé avait aussi pour effet d*anéantir la flèche en A,;
donc, en le rétablissant, il devra exercer une force ascendante
égale à ^ • ipbj car autrement le point Ai de la fibre moyenne
s'élèverait ou s'abaisserait, suivant que la réaction serait plus
grande ou plus petite. Ainsi les ^ de la charge complète por-
tent sur l'appui central, et les -^ restants se partagent également
entre les deux culées; chacune porte -^•ipb ou c^pb.
Ce résultat rentre encore dans la théorie faite au n* 31. La libre moyenne devant en effet, pour cause de symétrie, conserver une direction invariable en son milieu, chaque travée peut être considérée comme une poutre appuyée par un bout bt encastrée par Tautre.
Quoique les formules (5), (6) et (7) présentent déjà une assez grande simplicité, on les transforme avantageusement dans le cas des travées égales. Il faut alors faire 0=1, ce qui donne
T T ' aF I -4- a 1 f , 5-+- 3A
U^1n=-^pb\. - ^3--^7^J = ypby^^.
Il 1 I ,6-f-5/i
ih
D'abord, il est aisé de constater que, dans l'hypothèse /n=i, la dernière de ces trois relations donne le résultat de la seconde, puisque A désigne le quotient ^; la seconde formule
devient donc superflue, et il sufQt d'en avoir deux, savoir : une pour les culées et l'autre pour les diverses piles.\ Afin de les écrire le plus simplement possible, nous remarquerons qu'on a (n«'32, III)
PSISXES FLÉCHIS PAS DES FORCES TRANSVERSALES. l65
par suite, si l'on nomme / le radical imaginaire t/ — > on posera identiquement
N,(3 + aA) = 3N, -f- 2M, = - (3N,N, ■+■ M,M,).
et, en vertu des formules qui font connaître Mt^./ et Jit+i
Ces derniers résultats, portés dans les valeurs de To etdeT„, donnent définitivement
formules applicables aux poutres à travées égales, la première devant être employée pour les culées et l'autre pour les piles. Afin de pouvoir appliquer les formules (5), (6), (7), (8) et (9), il est nécessaire d'avoir à sa disposition les nombres M, N, A, qui répondent à une valeur déterminée de Tindice. Ces nombres sont donnés au commencement du Chapitre H (troisième Partie du Cours); en voici quelques-uns:
2/r =z I, 3, 5, 7, 9, II, i3, .
l Mk= I , ~ 5, 19, —71, 265, — 989, 3691 , .
/i = 3, 4» 5, 6, 7, 8, 9, 10, II,
I I 3 4 ïï ï5 4i 5b i53 209
l66 GUÀPITKE DEUXIÈME.
La lettre i représente, comme on Ta dit plus haut, le radical
imaginaire!/ : cela n'introduit pas, du reste, d'imaginaires dans les formules, car ce radical disparaît toujours, soit qu'il existe comme facteur commun au numérateur et au dénominateur d'une fraction, soit que, se trouvant élevé au carré,
il doive se remplacer par le nombre réel Le nombre A
étant déterminé, d'après sa définition, par le nombre ç, l'est aussi par le nombre n des travées, égal à 29 -t- 2 : c'est pour cela que le Tableau précédent donne les valeurs de h pour chaque nombre n.
Voici maintenant un Tableau déduit des formules (8] et (9 , qui fera connaître de suite les réactions dues à la charge permanente dans les poutres à travées égales. On y a fait figurer la pouire à deux travées, bien que les mêmes formules ne s'appliquent pas; d'ailleurs on n'y a indiqué les réactions que jusqu'au milieu de la poutre, les mentes résultats devant se reproduire symétriquement sur la seconde moitié.
Tablean indiquant les réactions des appuis d*une poutre à travées
égales, chargée uniformément.
