pile

3« pile.

4« pile.

5* pile.

6* pile.

7* pile.

5if

io<i

Ce Tableau peul servir quel que soil le nombre des travées. On remarque, en effet, que les résultats pour n=^iiL diffèrent déjà très-peu de leurs limites relatives à /i = oo ; on pourra donc admettre a fortiori que ces limites sont atteintes pour les poutres ayant treize travées ou un plus grand nombre. Le rapport, à pb^ de la réaction sur une culée et les six piles qui viennent à la suite sera pris égal respectivement à chacun des nombres inscrits en regard de /i = oo; pour le surplus des piles» dans la partie centrale de la poutre, ce rapport serait à très-peu près l'unité.

a>^ CHAPITRE DEUXIEME.

lorsqu'on veut calculer les nombres du Tableau relatifs au (as vlo n infini, on a besoin de voir ce que deviennent, dans

V^- M celle hypothèse, les rapports ^ — et ^ T^^ "« On y parvient

sans peine en observant, comme on Ta fait ailleurs (n<*36, III], 4|u'on a, pour un indice k infini positif,

il en résulte immédiatement

Donc enfin

lim To=- 7 — = (i 4- v3)/>*, 4 V 3

lim T„= fi - i (- 2 + >/3H /»6.

kk. Déformation d'une poutre à section constante chargée uniformément, — Considérons une travée de rang quelconque limitée aux appuis A.,,, A;„, et chargée uniformément à raison d'un poids /> sur chaque unité de longueur; si l'on nomme a la longueur de la travée et qu'on place l'origine des abscissesx en A„,, on sait (n<» 1, III) que le moment fiéchissant X en un point quelconque de la travée s'exprime par la formule

X=iiX„. , -h(X;„— Xm-i) px[a — x].

Ainsi l'équation fondamentale (lo) du n^20 devient ici

er^ -^ =X,,,-f-(X„.~X;„,)- — -px[a — x],

l'axe des 7 étant pris parallèle aux charges et dans le même sens. Une double intégration de l'équation précédente donne

successivement, en désignant par K et K' deux constantes,

ery= ^-2^ + (X. - X..) fl - i ;, (^' - ^W K^ + K'.

On détermine les constantes par la condition d'avoir^ = o pour :r r= o et pour x =^a; donc

K'=rO, — K= ■ + (X;;,— X,„,) ^ 7 PO.\

et, par suite,

( er^ y — X,„, ax — x"") — -r- ( X„, — X,„,] [a^x — x^)

\ H — jpia^x — zax^-hx*].

L'équation -^ = o, qu'on aurait à résoudre pour trouver

les maxima ou minlma de /, étant du troisième degré en x, Il n'est pas possible d'exprimer algébriquement ces maxima et minima d'une manière satisfaisante. Dans la pratique, on suivrait les variations de x en substituant à la place de x, dans l'équation (10), une série de valeurs suffisamment rapprochées. Voici les résultats qui répondent aux abscisses des points de division de la travée en dix parties égales :

^=0,1 a. . . 24 er^ j = a^(o, 098 i/?a' — 0,684 Xm , — 0,896 X,,,;,

■^=o,2a. . . 24er^^ = a'(o,i856;?a2 — i,i52X„, , — o,768X,«)^

xrz:o,3a. . . 24 er^^-^rt^ (0,2541 />«* — i,428Xm i — i,oc)2X,„),

^=o,4û... 2.^er'y' = a'{o,2g']6pa^— ï,536\m ,— i,344X„,),

x=zo,5a. . . 2/^er^x=za^[oy3i2.5pa^ — i,5ooXn, 1 — i,5ooX,„),

x=o,6a. . . 24er'j=a^(Q,2976/?«^— 1,344^™ • — ï ,536Xni,

x=:o,']a, . . 24er'^=a'(o,254i/?a' — i,o92Xm, — i,428X,/,),

x=:ofia. . . 24er'^'=a'(o,i856pa'— 0,768X^-1— i,i52X,„),

JP=o,9a. . . 24er^^'=a*(o,098i/?a^ — 0,396 Xm-, — 0,684 X,„\

On remarque, dans ces équations, que les coefficients de p pour deux points placés à égale distance du milieu sont identiques, et que les coefficients de Xm, et de X« se permutent l'un avec l'autre- Cela pouvait se prévoir sans calcul, car

lorsque, dans l'expression -i^ qui nous a servi de point de

départ, on remplace x par a — ^, le terme en p ne change pas, tandis que X»,-, se substitue à X^, et réciproquement. Une autre raison équivalente, c'est que les abscisses pourraient être comptées aussi bien à partir de A„ que de Am-i, ce qui, dans les calculs; n'aurait d'autre effet que de permuter X« avec Xm-i.

L'ordre de grandeur des diverses ordonnées que nous venons de calculer dépend des valeurs que prennent les moments Xm,, Xffl, et l'on ne peut pas le fixer sans y avoir égard. Toutefois, comme nous ne croyons pas devoir entrer dans des détails trop minutieux sur une question dont l'intérêt pratique est au fond assez médiocre, nous nous bornerons à étudier la flèche qui se produit au milieu de la travée. Si nous la désignons par /m, son équation sera

fm~ -> — : (o,3i:>5««- — i,5ooX,„-i— i,5ooX„)

ou bien encore

Dons la première travée AoA,, on doit faire m =zi, a = ^, X,„, = Xo=o, et (n«35, III), si le nombre n des travées dépasse 2,

il vient alors

pb* 4A-M5Ô — 6Ô^

384 er' 3ô-f-2A

Dans toutes les autres travées, il faut supposer l'ouverture a = bd=zcy Qi de plus (n^ST, III) on peut faire (n étant tou-

PRISMBS FLÊCUJS PAR DES FORGES TRANSVERSALES.

jours censé supérieur à 2]

par ces changements» la formule (11) devient

\i^J >— 384er4' ô=Ny(36'4- 2/1)

Si l'on prend le cas particulier d'une poutre à travées égales, on a d = I, et les formules (12) et (i3) deviennent

pb'

384 e/-' 3 -+-2 A ~~ 384 er^

lit

•^'""~384er4' Ny(3-f-2/oJ'

Or A représente, par définiiion, le quotient :jrp (n** 41), el Ton a trouvé (n^43) Tégalité

donc aussi

2My

4/Mo„,^.

Les deux dernières formules, aussi bien que celles dont on les a déduites, s'appliquent seulement aux poutres qui ont plus de deux travées; pour en faciliter le calcul numérique, nous donnons ci-dessous un Tableau des multiplicateurs de la

quantité -r^T — -^ laquelle exprime (n** 30) la flèche prise parla travée quand on la suppose encastrée aux deux bouts.

i.«.>.uau \fovkV \9 calcul dos flèches au milieu des travées d'une poutre à «ovii^>a constante et à travées égales, sous l'action de la charge per-

LU^tUOUtO.

>>iMtvHlu

5/.r>ii

RAPPORT A

3S'4er'

DES FLtXHES

iGi

io5i

ï9 ij iS

9'''9 i3ôi

iSi

9'^9 1 3ji

i:mq

i3ii

1 , ooo5

La poulre à deux travées égales n'est pas comprise dans ce Tableau ; mais, ainsi qu'on Ta déjà fait observer (n° 4.3), chaque travée se comporte, sous la charge permanente, de la même manière qu'une pièce encastrée par un boulet simplement appuyée à l'autre. On calculera donc les déformations comme il est dit au n*» 32.

En vertu d'une remarque déjà faite (n°i3) à propos des réactions des appuis, le même Tableau pourra servir quel que soit le nombre des travées, quand même il dépasserait 12. Dans les sept premières travées, à partir d'une extrémité, on

prendrait les valeurs de/m relatives à l'hypothèse d'un nombre infini de travées; dans celles qui seraient plus rapprochées du

centre, on pourrait supposer uniformémenl/fl, égal à -^ — ^'

Le procédé indiqué au n° W s'applique de même pour avoir les nombres inscrits en regard de /i = 00 . On a dans ce cas

lim YT^- = =■ ^—i-^-s/^,