I. 3* édit. i
,,^ CBAPITIE DEUXltXB.
,.,^.-.es, celle équaiion donnera
\ Vliminalion de 5» enlre ces deux équations conduit à une i^'.i.iiioii avec second membre nul, enlre trois j', consécutifs; ii'inos les équations du système [i|. obtenues de la même r.uiiii'ri", se irouveni dans le même cas, d'où résulte immé- Jistomoni que toutes les ordonnées /,■ sont nulles, ce qui con- >iiiiio le ibéorème à démontrer.
On petit ajouter que, d'après les deu\ dernières équations, . est nul; la fibre moyenne conserve donc sa direction primitive au-dessus de tous les appuis intermédiaires; il y a en- <-.istrcmcnt spontané en tous ces points, sous l'action de la i'|i;ir(;e uniforme des travées.
Il n'est pas diflicilc, étant donnée la valeur de la constante a, iK< <lctcrmincr la forme définitive de la fibre moyenne. Le quo-
li,'iu-^> égal à +a ou à —a suivant que Xest positif ou né-
(îiitif, est en effet égal (n" 19 et 20) à la courbure - de la fibre
moyenne après la déformation, ou approximativement à la dé-
rivée seconde -j—^- La libre moyenne cherchée se compose
donc d'une suite d'arcs de cercle, auxquels on peut substituer, sans erreur notable, les paraboles ayant pour équations
î^'r=^ et ^^^«
dx' ilx'
la première convenant aux régions où X est positif, la seconde ik celles où X passe au négatif. Ces paraboles, rapportées à la tangente au sommet cl à l'axe, auraient pour équation com-
seulemeni la première tourne sa concavité vers le basetl'aulre vers le liaul.
PRISMES FLÉCHIS PAR DES FORCES TRANSVERSALES. igS
Soient mainlenanl [Jig. 29) Â.FCÂiHKMÂ,. . . la fibre moyenne fléchie, et «, Â., A?, ... les points qui répondent
aux appuis; sachant que le moment fléchissant est positif aux environs de A,, sur la distance A,B=: A,A, ( i — i/- 1 ou
hii — l/- )' et que la tangente est horizontale en A„ nous
pouvons'dire que le premier arc A,C appartient à la première parabole et que Ai en est le sommet; à partir de C, le moment X devenanl négatif, la parabole tourne sa concavité vers le haut. Les deux paraboles doivent d'ailleurs se raccorder en C, car l'hypothèse contraire impliquerait une flexion infinie en ce point ['); les axes étant d'ailleurs parallèles, il faut pour cela que le point C se trouve placé sur la parabole CF comme sur CA,, c'est-à-dire que CF n'est autre chose que CA, re-
tourné, que le sommet F est à la dislance horizontale BE = BA,
(lu point B et que la flèche EF= 2BC. Le moment reste négatif dans toute la région BA,; la même parabole CF se continue donc sur le restant de la travée. On peut constater qu'elle passe bien en A., comme cela doit être : il suffit de vérifier
ÂTe ^ /eF /- . «. .
qu on a ~=^ = \ / --- — v^, ce qui a efl^ectivement heu par ^ CD iV FD ^ ^
suite des égalités
â;i rrr â;;â; - 2 âtb = 6 r I -- 2 f I ~ y ^M
CD =.= ËB = A^ =r 6 (^I - i/l^ :z:z A ( ^2 - l).
C) Deux sections infiniment voisines de C et primitivement parallèles feraient un angle fini; les fibres distincteA de la fibre moyenne auraient éprouvé nn allongement proportionnel infini, ce qui est inadmissible.
; f ti^ .l'o > uwssion de paraboles se reproduirait symélrique-
.,y o, ,M »x U vîonuère travée A„,A„. ;v ».% ;» t<* ir<iYÔe intermédiaire quelconque, la seconde par
v\.-*» \\ \ » des valeurs positives sur les quarts de travée
V v% sV V«t adjacents aux appuis, pendant qu'il est négatif .N< 'X U X doux quarts GI et IL formant la partie centrale; de ->t\» Ion unjjontes sont horizontales en A, et Aj. On aura donc y^ «svul los deux arcs symétriques A, H, AiM, pris à partir vL» xoanuol sur la première parabole; puis, dans la partie GL, sc xo»a la seconde. La condition de raccordement des deux s v».»i i»o> on 11 et M exige encore que le point milieu K soit le \\Mmuol de cette seconde parabole et que lesarcsHK, KM soient lo^aiTs xV.lI, AjM retournés, de sorte que lKr= 2GHr=r 2LM. Indiquons enfin les valeurs des flèches maxima/:=EF,
/' IK qui se produisent dans une travée de rive et dans une ti«*\ée intermédiaire. On a
f= iBC= a
BA/z^aft'^.-y/^y,
/'=:2GH = a'GA/ =~,
ou, en remplaçant a dans la première expression par
et dans la seconde par -~ — -j^
2^0''» 32é'or
1 = -z — rr=0,Oo5o5Q-
La flèche/' est un peu supérieure à/, car on a
/' c' soit, eu égard à la valeur du rapport ,i — ^ » Q"^ csl
égale à a{n°63, III),
Si Ton avait cherché les flèches/,, /*, dans Thypothèse d'une section constante, ayant partout le moment d'inflexibilité maximum e,rj de la poutre à section variable, Tencastrement étant d'ailleurs maintenu sur tous les appuis intermédiaires, on les aurait trouvées par les formules des n"* 30 et 32, qui auraient donné :
Pour une travée extrême /! = o,o8GG6-^( - ) =o,oo54i6-^
Pour les autres travées /' — —/- — - ( - ) = t^-— i
11 en résulte les rapports
la flèche est donc plus que doublée par la substitution de la section variable à la section constante ; mais les rapports qu'on vient d'obtenir ne subsisteraient pas si les appuis intermédiaires étaient considérés comme appuis simples dans le calcul des flèches/,, /',. '
§ y. ~ Conditions de stabilité d'ane poatre soumise à des forces transversales ; calcul a priori de ses sections ; données pratiques et expérimentales.
49. Conditions de stahililé, — Une poutre étant soumise à des forces extérieures transversales, dans les conditions spécifiées au n** 18, si l'on imagine qu'elle soit décomposée en couches très-minces par une série de surfaces parallèles aux axes de flexion consécutifs, et que chacune de ces couches soit à son tour coupée par une série de plans normaux à la longueur de la poutre, on a vu, aux n°* 19, 20 et 25, que chacun des éléments prismatiques ainsi formés se trouve soumis à trois genres distincts d'actions moléculaires, savoir : i^ des tensions ou pressions produites par le moment de flexion
,^^ CHAPITRE DELXIftlE.
et meiunt en jeu l'élasiicité longiiudinale, d'une manière plus ou moins analogue à celle donl l'élude a fait l'objet du Cha- (liirc I"; a" des actions développées par l'effort tranchant, lesquelles s'opposent au glissement de l'élément considéré sur celui qui le précède ou le suit dans une même couche, ou, sui\^nt ie langage technique, au cisaillement; S" des actions qui sont la conséquence indirecte des précédentes et s'opposent au glissement longitudinal de l'élément sur les surfaces qui le séparent des couches voisines. Comme le premier ccnrc se subdivise en deux, cela fait, en réalité, quatre genres pour l'ensemble de la poutre ou même seulement pour les points pris dans une même section, puisqu'il y a tension longitudinale proprement dite d'un côté de l'axe neutre et pression de l'autre.
D'ailleurs, l'expérience indique et nous ferons bientôt connaître certaines limites que ne doivent pas dépasser les tensions de chaque genre, par unité de surface, dans toute construction présentant des garanties suffisantes de conservation indéCaie. Supposons-les actuellement connues et nommons-les
R pour les tensions longitudinales positives ou tensions proprement dites;
R' pour les tensions longitudinales négatives ou pressions;
R" pour les tensions transversales^de cisaillement;
R" pour les tensions qui répondent au glissement dans le sens de la longueur.
Pour que la stabilité soit assurée , i) faudra donc que les maxima des quatre genres d'actions moléculaires, dans la pièce considérée, demeurent toujours respectivement inférieurs ou deviennent tout au plus égaux à R, R', R", R". Or, dans h manière de traduire algébriquement cette condition, nuu^ distinguerons trois cas; en outre, nous nous bornerons, pour plus de simplicité, a l'hypothèse d'une poutre homogène.
pHtiiiEB CAS. Section constante et symétrique relalivemenl à l'axe t(e flexion. — Suivant les procédés employés au § Il de ce Chapitre et dans la troisième Partie du Cours, ou par d'autres moyens, on cherchera d'abord comment varient les
moments fléchissants X et efforts tranchants P, d'une section à l'autre, sous toutes les charges que la poutre peut avoir à supporter. On obtiendra les plus grandes valeurs absolues X' ei P' de ces deux quantités, dans toute l'étendue de la pièce et sous les charges les plus défavorables. Alors, si l'on nomme A la hauteur de la section transversale, mesurée perpendiculairement à l'axe de flexion, et I le moment d'inertie de cette section par rapport au même axe, les maxima des tensions et
X'A pressions longitudinales seront (n*» 19) exprimés par — j- »
«,, .»s re,p.s.„„ ,.„.™,e --f .e ce, ,o.ce„ , e,.l
Il Y
constante et u varie de à -i--? d'où il résulte que — î-
prend sa plus grande valeur quand on fait w=^±- etX=:X'.
On devra donc, en nommant Ri la plus petite des deux quantités R et R', poser pour première condition
Quant aux actions tangentielles répondant au glissement, soit transversal, soit longitudinal, on a vu (n^25) qu'elles avaient en chaque point la même intensité par unité de surface et qu'elles étaient proportionnelles à l'effort tranchant P. Il faut donc chercher leur maximum dans une section, en adoptant la valeur P= P', puis constater que ce maximum est égal ou inférieur à la plus petite des deux limites R", R'''. En désignant par Rs celte limite plus petite et par 12 l'aire de la section, nous aurons, dans le cas d'une section rectangulaire, par exemple,
et, dans le cas d'un double ï à branches horizontales prédominantes (quoique de petite épaisseur), il' étant la section de l'âme seule,
Parmi les formes usitées dans la pratique, cette dernière
200 CHAPITRt DEUIlEim.
nous semble êire la seule où il y ail un intérêt réel k tenir compte de l'inégale répariiiion de l'effort tranchant, c'eslà-dire des variations de son intensité rapportée à l'unité de surface, sur les divers éléments d'une même section; on pourrait alors traduire l'équation (3) en disant que l'âme seule doit pouvoir résistera l'effort tranchant (étant sous-entendu qu'elle a une résistance Ki par unité de surface]. Mais dans les autres cas, si une poutre est en élat de résister aux moments fléchissants, elle a presque toujours des dimensions plus que sufGsantes pour résister aussi aux efforts tranchants; les tensions de glissement ne jouent donc, en général, qu'un rôle assez secondaire, et l'on pourrait se contenter d'exprimer que le maximum de leur moyenne dans une section ne dépasse pasR» ce qui donnerait
,4) ^iî».-
Dbuxiëme i:as. .Section constante, mais non symétrique relativement à l'axe de flexion. — En ce qui concerne l'effort trancliant, la condition de stabilité reste la même que dans le cas précédent ; mais il en est différemment pour les conditions relatives au\ tensions ou pressions longitudinales. Concevons que la fibre moyenne soit prise pour axe des x, qu'une parallèle aux forces extérieures soit l'axe des y, et appelons X' le plus grand moment fléchissant |)osiiir, le sens positif étant (suivant la convention du n° 10) celui d'un moment qui tend a couclier l'axe des x positifs sur les / positifs; X" la plus grande valeur absolue des moments négatifs; u' la plus grande dislance des divers éléments de la section à l'axe autour duquel se produit la flexion, ces éléments n'étant pris que du côté des y positifs; h" la distance maximum analogue du côté des/ négatifs.
Le moment X' produira une extension du cûté des j- négatifs c! une compression de l'autre côté; il fait donc naître :
Une tension maximum '—r~ par unité de surface
Une pression maximum. . . . — r— par unité de surface
et ce seront là les plus grandes actions longitudinales dues aux moments fléchissants positifs. Pareillement les plus grandes actions dues aux moments négatifs seront :
La tension ~—
La pression — -
Donc la tension maximum par unité superficielle, dans toute
\' II" X'^u' la pièce» sera la plus grande des deux valeurs ^ et '— — ]
la pression maximum sera la plus grande des deux valeurs
— T— et — j — • Nommant - .— et — — ces deux maxima, on
aura donc les conditions
(5) ^p^R, -'/''< II',
auxquelles on devra joindre Tune des conditions (2), (3) ou (4), suivant les cas. Dans le cas où R égalerait R', il suffirail évidemment de vérifier que R est supérieur à la plus
grande des deux quantités '.-' —'.-S ou ce qui revient au
\' a" X' w' même) à la plus grande des quatre quantités - — ? - j— »
Troisième cas. Section variable. — Quand la pièce a une section constante, on se guide nécessairement, pour en fixer les dimensions, sur les plus grands efforts tranchants et sur les plus grands moments de flexion qui ont lieu dans toute rétendue de la pièce. Or, comme ces valeurs maxima ne se produisent que dans certaines sections déterminées, il en résulte que toutes les autres ont des dimensions plus que suffisantes pour résister convenablement aux forces qui s'exercent sur elles; par suite, on aurait pu employer une moindre quantité de matière. C'est afin d'éviter cet inconvénient et de réaliser ainsi une économie plus ou moins notable, qu'on établit
9(L? HAlMtKI DEUIIËHE.
Ti.'';:%ent des piéct>5 if-.'cit Li jeclion change d'un point à l'aulre i? la fibre movem*.
Pans ce Ci)5^ >.i «j jc i^ue la section a une rorme symétrique ou non, il fjw: ■!i:-:-:c<; employer les conditions ci-dessus indiquées p>'-.;- ': |;r';mtor ei le deuxième cas ; seulement les maxima T , \ . \'. jinsi que les hauteurs A, u'.u", ne doivent pas ôin.' .■.'..-T-iJ ■■■■ :i pour la pièce considérée dans toute son éiendiiT-. '::-i > î.i-u pour la section dont on s'occupe, prise à rexclii>i-v .'-,' u".m's lesautres. La vérification des conditions dont il >"j,i' i ioit d'ailleurs se répéter pour toutes les sections, ou du [!■..■,:■> l'vnir un certain nomhrc d'entre elles, assez peu di^tiiiu-s !i-> unes des autres,
50, CitUud tles sections nécessaires pour résister à des charges données. -- Lorsqu'il s'agit, non pas de vérifier si une pièce donnée, avec des dimensions parfaitement définies, est en étal dt' résister à un système de charges également connu, mais bien de calculer les dimensions transversales de manière qui' la pièce supporte, sans altération, des charges fixées d'avance, le problème deviendra généralement beaucoup plus diriicili', parce qu'une partie des forces extérieures sera Incomiiic (I priori et dépendra des dimensions à calculer.
l'uniii ces forces a /^r/or( inconnues se trouve, en premier lieu, W |i(iids propre de la pièce. On peut procéder à son égard de diviT.scs manières, i" On ïait le calcul des dimensions transversales en lui attribuant une valeur hypothétique, d'après les ("(('inples de constructions analogues; puis, quand le calcul est terminé, on voit si le poids supposé s'écarte peu ou bt'iiiicoiipdu poids obtenu comme résultat: si l'écart n'est pas asM'/ ^\:in(l pour changer notablement le système de Torces oxtérieunis dont on a tenu compte, on peut regarder ce prentli!ros'iiii comme définitif, sinon il faudrait en faire un autre ovec un poids hypothétique convenablement modifié. i° Sans s'atliicljpr à choisir a priori aucune valeur du poids propre, on pourrait procéder par essais successifs, en supposant d'abord c« poitls nul, puis en lui attribuant, dans chacun des essais ultérieurs, la valeur qui résulte de l'essai précédent; on s'arrAterull quand deux essais consécutifs ne présenteraient plus (|ue des différences considérées comme négligeables. 3' On
PHISMES FLÊCUIS PAR DES FORCES TRANSVERSALES. 203
peut quelquefois exprimer algébriquement le poids propre en fonction des dimensions inconnues et le faire figurer dans les conditions de stabilité; celles-ci sont alors modifiées de telle sorte que leur vérification doit être opérée comme si le poids propre n'existait pas. Afin d'éciaircir cette indication sommaire par un exemple, supposons qu'il s'agisse d'établir une poutre à section il constante et symétrique, devant être posée sur deux appuis et supporter, outre son propre poids, un poids 7.pa uniformément réparti sur sa longueur aa. En nommant n le poids de l'unité de volume de la matière qui constitue la poutre, celle-ci aura un poids total 11.9.^712, soit IIQ par unité de longueur; la charge totale par unité de longueur sera donc p + 1112, d'où résultent (n® 27) le moment fléchissant maximum X' et l'effort tranchant maximum P', savoir
X'=: -/>a»+-ni2a»,
P' = />a-)-nû«.
Les conditions de stabilité deviennent [n" 49, premier cas)
pà'U nOrt'A^
ou bien, si l'on pose I — mH j-t ^ étant un coefficient qui
dépend de la figure attribuée à la section,
(,) i + nsl-.
On voit, dans cet exemple, qu'on a tenu compte du poids propre tout simplement par l'introduction du terme II dans le premier membre des deux dernières inégalités; cela fait,
9o4 GBIPITRB DEUXltHE.
on n'a plus à y penser, ei l'on cherche les dimensions inconnues comme s'il n'exisiaii pas (■;.
Lorsque les appuis sont en nombre supérieur à deux, ou lorsque, n'étanl qu'au nombre de deux, ils comprennent au moins un encastrement, on sait que leurs réactions ne sont plus déterminées uniquement par les conditions d'équilibre établies dans la Statique des corps solides; il faut alors employer des équations qui s'obtiennent en égalant à zéro ou à toute autre valeur fixée d'avance soit les abaissements, soit les changements d'inclinaison de la fibre mojenne au-dessus (les appuis. Or ces cquaiions, sauf des cas très-particuliers noummeni celui d'une section constante), contiennent les dimensions inconnues, ei même elles les coniiennenl engagées sous des signes d'intégrations à effectuer. Dans cette circonstance il arrivera, le plus souvent, que l'application de procédés rigoureux entraînerait des diriicultés de calcul inadmissibles dans la pratique. Alors il faudrait se résigner à effectuer la recherche des réactions inconnues et des momenis de Hexion ou efforts tranchants qui en dérivent, en supposant constante la section de la poutre, comme nous l'avons fait dans presque toutes les questions traitées aux |§ II et IV et dans la troisième Partie du Cours. C'est un moyen qui consiste à tourner la difficulté sans la résoudre, et qui donne prise, comme nous l'avons déjà dit ailleurs, aux objections et au doute. Quoi qu'il en soit, nous regarderons encore comme connues les limites des momenis fléchissants et efforts tranchants, tant pour une section quelconque arbitrairement choisie que pour l'ensemble de la poutre.
Les choses étant amenées a ce point, il est aisé de voir que le problème reste encore indéterminé. En effet, suivant que l'on se placera dans l'un ou l'autre des cas particuliers examinés précédemment [n"!!)), on devra poser, pour la poutre
■Vi"'
■s {(•) <■! (7) soraLïiit impouiblei 'passait la plus [irtite dei deui
e l>oulre (losée sur itcui .ipimii
PRISSES FLÉCHIS PAR DES FORCES TRANSVERSALES. 2o5
entière*ou pour chaque seclion isolément, certaines inégalités de condition, dans lesquelles tout sera donné, sauf les quantités Q, I, A, u\ u" , On saura donc que les dimensions cherchées doivent vérifier certaines inégalités susceptibles, si l'on veut, de se convertir en équations ; mais il est visible que cela ne suffirait pas pour définir tout à fuit une aire plane sur laquelle on ne connaîtrait rien d'avance. Par exemple, dans le cas d'une section constante et symétrique, les conditions (i)
et (4) devant être observées, on saurait que Taire û doit être
supérieure ou tout au plus égale à tt-? et de même j aurait
une limite inférieure; mais on n'en saurait conclure toutes les dimensions de Taire û, sans ajouter d'autres conditions qu'on se donnerait arbitrairement.
Les conditions de résistance se présentant sous forme d'inégalités, il est assez naturel de les convertir en égalités, pour ne pas augnnenter inutilement les dimensions que Ton cherche; en d'autres termes, il semble convenable de faire en sorte que la matière supporte les tensions les plus grandes que l'expérience permet dans chaque genre d'efforts moléculaires. Hais cela ne sera pas toujours possible. Soit, en effet, proposé d'établir une pièce en tôle, à seclion rectangulaire constante, pour laquelle les quantités P', X', R, et R, (n° 49) auraient les valeurs
P' nr l'IOOo''^,
X' =- Soooo'^'^"',
R, r=: Rj r= OOOOOOO^S;
nommons / et h les dimensions inconnues de la section et faisons I = — lh^\ alors les inégalités (i) et (-2], prises comme égalités, deviendraient
(8) ='6000000 ou lh^= o,o5o,
In*
(q) jj = 6000000 ou Ih =o,oo3.
En divisant la première par la seconde, on trouverait
2o6 CBAPITBE OBUXIÈHE.
la seconde donnerait ensuite
/== o",oooi8«
Or il est évident pour toute personne ayant le moindre sentiment de l'art des constructions qu'un équarrissage de i6",667
de hauteur sur moins de -= de millimètre'd'épaisseur ne saurait
être admis. Aussi faudrait-il, dans cet exemple, renoncer à Tune des équations (8} et (9); les efforts tranchants étant moins à craindre que les actions produites par la flexion, comme nous l'avons déjà dit plusieurs fois, on se préoccuperait d'abord de ces dernières, et l'on poserait
lh^z= o,o5o,
équation a laquelle on pourrait satisfaire en prenant /=o"',025, h = r*'',4i4> comme d'ailleurs le produit Ih serait ainsi supérieur à o,oo3, on serait assuré de la stabilité.
Cet exemple et les explications qui le précèdent suffisent sans doute pour montrer ce qu'il y aurait à faire en général. On considérerait comme connues les dimensions cherchées, et Ton poseraitlesinégalitésexprimant les conditions de résistance (n*» (kO). On tâtonnerait ensuite de manière à satisfaire à toutes ces inégalités, en s'écartant le moins possible de l'égalité; on disposerait pour cela des dimensions transversales, ou au moins d'une partie, si des considérations d'un autre ordre en avaient déjà fait arrêter quelques-unes. Enfin, tous les résultats fournis par le calcul devraient être contrôlés et examinés au point de vue de l'art de l'ingénieur, en se fondant sur des notions que nous n'avons point à exposer ici, mais qu'on puise dans les exemples de constructions analogues à celles qu'on projette, ' dans l'expérience acquise et le sentiment du praticien. En uoj mot, l'ingénieur ne doit considérer les formules que comme un guide à consulter et non à suivre aveuglément. La vérité de la théorie d'où elles découlent est toujours subordonnée à la réalisation plus ou moins complète de certaines hypothèses fondamentales, et la pratique seule fera connaître les cas oik ces hypothèses peuvent être acceptées comme sufûsamroeni vraies.
51. Influence de la forme attribuée à la section transversale d'une poutre sur sa résistance aux moments de Jlexion, — Supposons, pour plus de simplicité, le cas d'une section homogène, symétrique relativement à Taxe de flexion ; le moment fléchissant pour cette section élant censé invariable, la tension maximum qu'il développera sera, suivant les notations
du n* 49, proportionnelle au quotient ^' L'inverse j donnerait donc une mesure du degré de résistance de la section aux moments fléchissants, car plus j sera grand, plus le maximum de tension produit par un même moment sera petit. Or T» à égalité de Taire û, dépend de la forme de cette aire. Par exemple, si Taire Q. était rectangulaire, on aurait (n°22,/;
el, par suite,
Il \'i
quantité proportionnelle à A, quand Q, conserve la même valeur. On en conclut ce fait bien connu qu'une pièce méplate résiste mieux aux poids qui tendent à la fléchir lorsqu'elle est posée sur champ que lorsqu'elle est posée dans l'autre sens. Aussi donne-t-on aux poutres rectangulaires en bois ou en métal, destinées à supporter des poids, des équarrissages plus forts suivant la verticale que suivant l'horizontale. S'il s'agit du bois, en nommant / l'épaisseur horizontale de la section, on fait habituellement
pour les poutres métalliques, le rapport y peut devenir beaucoup plus petit : il descend souvent à quelques millièmes. En le diminuant sans changer 12, on augmenterait la hauteur h et, par suite, la résistance à la flexion; mais à cet égard nous renvoyons le lecteur aux considérations qui terminent le n"* 50 ci-avant.
Afin d'augtncnicr niilanl que possible le rapport -,
\,^ CHtFITKR DEUIIKME.
S. l'a.re Ù tM une ellipse, ajani pour axes / el h, l'un paralli' i- fi l'auuo p.TptfuJkulaiie à l'axe de flexion, on a (n°22,/i
1= -' ii/i'.
iG
d'où ri'Mi'i^
rt 16
Nous avons donc encore les mêmes choses à dire relativement aux varuiions de la résislance à la flexion avec A. De plus, on voit i]iu> l'ellipse est désavaniageuse en comparaison du rectangle, à égalité d'aire et de hauteur, car le coefficient — re-
laiir au recianglecst remplacé par — :■
.^.ona
iiiiat;iné les sections en forme de double T avec branches horizoniales minces cl néanmoins prédominantes, telles que nous les avons déjà mentionnées deux fois [n'" 25 et W). On a dans ce cas, assez approximaiivemcnt,
l^jÙ/r- et l =~ilfi, 4 fi 4
ce qui montre l'avantage de celle forme relalivement au rectangle et à l'ellipse, puisque le coefficient j a remplacé —
"ré-
Au reste, quelque forme que l'on adopte, il est facile de recunnaltrc que rigoureusement on a toujours
\<yilfi'.
£11 elTet, si l'axe de flexion divise la liauieur h en deux parties égales, on augmentera le moment d'inertie I en portant tous
les élémcnls superficiels à la distance maximum - de l'axe; il deviendrait alors 7 Qfi' : donc il était primitivement plus
peiit. Il en est de même, à plus forte raison, si Taxe de flexion ne passe pas au milieu de A, car, puisque cet axe coniienl le centre de gravité de la section, en le déplaçant parallèlement à lui-même pour le mettre au milieu de la hauteur, on augmenterait déjà le moment d*inertie (n** 22, b). Ainsi l'expression jQh est pour j une limite qu'on ne peut pas atteindre
tout à fait; mais on s'en rapproche avec la forme en double T à branches égales.
La quantité j étant, dans les irois exemples qu'on vient
d'indiquer, proportionnelle à A et à ii, on pourrait, quand même 12 serait très-petit, la rendre aussi grande qu'on le voudrait, au moyen d'un choix convenable de A. On conçoit donc théoriquement des pièces dont la section transversale aurait une aire nulle, et qui cependant résisteraient bien à la flexion ; mais ce n'est là qu'une conception non réalisable. Indépendamment des conditions pratiques non exprimées par la théorie, l'existence des efforts tranchants et des actions moléculaires tangentielles qui en dérivent (n° kd) oblige à ne diminuer indéfiniment ni l'aire 12 ni aucune des épaisseurs de cette aire dans le sens perpendiculaire à la hauteur A.
52. Données expérimentales. — Nous allons terminer ce Chapitre en rapportant ici les expériences qui servent de base ou de contrôle à la théorie, et en faisant connaître, pour diverses matières, les coefficients de résibtance aux quatre genres d'efforts indiqués plus haut (n« 49).
(a) Vérification expérimentale de diverses notions théoriques relatives à la Jlexion des pièces droites chargées transversalement, — Considérons, pour fixer les idées, une poutre droite horizontale reposant sur des appuis et supportant des poids. Dans ce cas, la théorie nous apprend (n° 19) que les tensions longitudinales et les variations de longueur des éléments de fibre qui traversent une même section sont proportionnelles aux dislances qui les séparent de Taxe de flexion, en sorte que la fibre moyenne et généralement toutes celles pour lesquelles cette distance est nulle ne sont ni pressées ni tendues; nous avons vu de plus que les fibres sont tendues
