I. 3« éJit. i

ou comprimées suîvflni qu'elles se trouvent d'un c6lé ou de l'autre du nn^inr' n\c.

Comme vôrifir.iiion de ces faits, on peut d'abord citer les esporîencps nnrionncmenl faites par Duhamel du Monceaux, iiisoroosriniisifs Mi^moiresde l'Académie des Sciencet de Parit pour l'.innop i;!';. Duhamel du Monceaux ajant fait préparer iinf série fie li.irreaux en bois de saule, identiques autant .jne pn«jMo. les plaça successivement sur des appuis de même nixf.'m qui on soiitcnaienl les extrémités et les rompit par un \'(\i-\'i pincé au milieu, dans les circonstances suivantes. Une ptinic lies barreaux n'avait pas subi de modificaiion quand on \c-s soiimeilnit à l'action de la charge ; d'autres avaient reçu un trait do si'ic dans le plan de la section du milieu, et cette partie sciée iinni[);iit le tiers de la hauteur de l'équarrissage, à partir de l;i face supérieure et sur toute la largeur; d'autres barreaux avaient pnreillement des traits de scie sur la moitié et sur le« trois quarts de la hauteur. Le petit vide produit par l'épaisseur du tnùt était rempli par une planclietlo eu bois dur. Or, l'expériencc a montré que tous ces barreaux se rompaient à peu pri's sous la même charge, et les différences peu sensibles des charges de rupture s'expliqueraient suffisamment par l'impossibilité de se procurer des barreaux absolument identiques. (Ida so comprend aisément au moven des notions théoriques sur la llcxîon, car, en sciant les fibres en travers, dans la partie do la section qui est comprimée, et remplissant le vide par du bois dur, on n'enipèclie pas les actions répulsives dues à la riiinpression de s'exercer tout aussi bien qu'avant la solution lit! continuité, et par conséquent on n'affaiblit pas la pièce, en tant qu'on la considère comme résistant à la flexion; on ne produit pas encore d'affaiblissement notable quand on scie au delà (lu milieu de la hauteur, jusqu'aux trois quarts, caries libres situées près de la fibre moyenne ne supportent que de faibles pressions ou tensions, et il y a peu d'inconvénient à les scier, lors même qu'elles sont tendues.

Charles Dupin et Duleau ont également fait des expériences en petit sur des pièces de bois cl de fer, desquelles il résulte (|up, dans les pièces droites courbées par la flexion due à des charges perpendiculaires à leur axe, les sections normales restent planes, et que dans le cas d'une section rectangulaire

l'allongement de la pariie convexe est égal au raccourcissement de la partie concave, comme l'indique la théorie, puisque ces deux parties sont également éloignées de Taxe neutre.

M. le général Morin a fuit exécuter au Conservatoire des Arts et Métiers, à Paris, des expériences nombreuses sur des poutres en bois ou en métal de 4"* de portée, les poutres métalliques ayant des sections en forme de double T à branches égales ou inégales. La conclusion à laquelle il a été conduit confirme les notions théoriques rappelées tout à Theure et montre que ces notions peuvent être admises, non comme vérité absolue et mathématique, mais comme représentation suffisamment exacte des faits réels, dans les limites de charge qu'exige la pratique des constructions.

En nous occupant de la flèche que prend une poutre horizontale reposant sur deux appuis simples quand elle supporte un poids placé au milieu, nous avons trouvé (n'^ST) la formule

dans laquelle/désigne la flèche, Q la moitié de la charge, a la demi-distance des appuis, er^ le moment d'inflexibilité de la section transversale. Si la section est un rectangle homogène de hauteur h et de largeur / parallèlement à Taxe de flexion, en appelant E le coefficient d'élaslicilé longitudinale on a

et^ =r — E//i% et par suite

ce qui montre : i°que la flèche est proportionnelle à la charge et au cube de la portée; 2<» qu'elle est en raison inverse de la largeur de l'équarrissage et du cube de la hauteur. On sait en outre qu'une charge uniformément répartie produit la même flèche qu'une charge concentrée au milieu, ayant pour intensité les cinq huitièmes de la précédente. Tous ces faits ont été vérifiés expérimentalement par Charles Dupin sur des barreaux de faibles dimensions : ils le sont aussi par les expériences de M. Hodgkinson sur la flexion des pièces de fonte, au moins dans les limites de charge admissibles en pratique.

j,, CHlPItKE PBUXlBlie.

f,' Résistance à la rupture par Jlexioit. — Une poutre droite t'Unt posée sur deux appuis au même niveau et chaînée en son milieu, si l'on conserve les notaiions ci-dessus déBnies aV ei qu'on appelle en outre p le poids de la pièce par Dièirè courant, on sait{n''27) que ie maximum du moment fléchissant est exprimé par Qn -i- -;»rt'. Supposons, par exemple,

la section soit rectangulaire et homogène : alors la tension ou compression longitudinale maximum par unité de surface

avec d'autres sections on pourrait aussi facilement obtenir des résultais analogues.

Cela posé, on a quelquefois délerminé par expérience la valeur de la charge sQ qui entraîne la rupture immédiate; nuis en calculant, comme on vient de le rappeler, la tension jg5Jinumcorrespondante,c'esl-à-dire la quantité ■ '-^'i

dans le cas de la section rectangulaire et homogène, on a re qu'on est convenu d'appeler résistance à la rupture par flexion, pour la matière formant la pièce essaj'ée. Au fond, cela est loin d'être bien rationnel, car d'abord on tombe dans l'erreur signalée à la fin du n° !>, qui revient implicitement à coii'si(l<-rer les allongements comme toujours proportionnels aux tensions, même quand celles-ci sont capables de produire la rupture; ensuite on suppose toujours l'homogénéité de la inalicrc, ce qui peut être assez loin de la vérité dans certains cas (n-G). Ces deux raisons peuvent déjà expliquer pourquoi ]a résisiance à la rupture par llexion n'est pas égale, en général, à la moindre des deux qu'on a trouvées au Chapitre I pour l'extension et pour la compression, quoique la rupture par Ocxion ne se produise que parce queccrtaines fibres se trouvent soumises à des tensions ou pressions trop considérables. Aces dcu\ raisons nous pouvons en ajouter encore une troisième : c'est que les libres ou prismes élémentaires parallèles à l'axe de la pimire ne sont pas, au point de vue de la résistance à un L'U'urt longitudinal, exactement dans les mêmes conditions que les tigL-s isolées, étudiées au Chapitre!, car leur solidarité dounclieLiâdesréaciions mutuelles surleurs faces communes.

Quoi qu'il en soil, voici quelques-uns des résultats obtenus par cette méthode.

La résistance à la ruplurc par flexion des pièces en bois de chêne sérail, d'après M. Barlow, de 6x io« à 7X 10"^ kilogrammes par mètre carré; pour des sapins ordinaires, ce chiffre s'abaisserait à 4>5 X io\

Pour la fonte on a indiqué des nombres excessivement variables; le chiffre de 32 Xio" kilogrammes par mètre carré peut être regardé comme une moyenne, de laquelle on s'écarte parfois assez notablement, tant au-dessus qu'au-dessous.

La détermination de la résistance du fer à la rupture par flexion présente une difficulté particulière : c'est que la rupture n'arrive pas sans être précédée de grandes déformations, de sorte que, si l'on veut pousser l'expérience jusqu'au bout, ce n'est plus, en général, une pièce droite qu'on réussit à rompre, mais une pièce sensiblement courbe, à laquelle on ne peut plus appliquer la formule ci-dessus rappelée. Aussi on se borne souvent à déterminer non pas la charge produisant la rupture, mais la charge donnant lieu à une altération notable de l'élasticité ou à une grande déformation permanente. Dans des expériences exécutées au Conservatoire des Arts et Métiers, sous la direction de M. le général A. Morin, on a trouvé que l'élasticité du fer est assez fortement altérée

I , . , 6a Q -^' '. pa) . , ...

lorsque la quantité //i — atteint une valeur variable

de 21 X 10* à 3o X 10* kilogrammes par mètre carré.

(c) Limites pratiques des tensions longitudinales dans les pièces soumises à la /lexion. — Le Tableau suivant des limites R el R' [n** 49) est emprunté à la Résistance des Matériaux de M. le général A. Morin, qui le donne comme résultant de l'observation des bonnes constructions, à la fois solides et légères :

x4TiRr ^rs ii\TKniAix.

EFFORT LOXGITUDIXAL

( tpnjiion OD pression )

qu on peut faire sapporler arec «écnrllé

par nillliiuètre carré de socUod.

Cas ordinaire!^

Hatériaax de choix

et

ronftirnctlon» tefères.

IVnts tic chemins de fer

\ Ponts ordinaires et arbres do

* ^' '*' \ roues hydrauliques

; Pièces ordinaires de machines.

}eT f'^n;^'

^ de première qualité

*' *^^ i d«' qualité moyenne

fi,-.;'* do chêne ou de sapin

if

Oii ne dislingue pas ordinairement la limite 11' relative à la compression de la limite R qui se rapporte à rexlension; «\Mio simplification est consacrée par l'usage. Toutefois, elle nosi pas universellement acceptée, car la circulaire du Ministre des Travaux publics, en date du 9 juillet 1877, fixe pour los pièces de fonte employées dans les ponts les limites suivantes :

3*"^ par millimètre carré dans la partie tendue de la section; 5''^ par millimètre carré dans la partie comprimée.

Pour les pièces de fer, les deux limites sont fixées à 6^ par niillimèlre carré. D'ailleurs, l'Administration se réserve la faculté d'autoriser des limites plus élevées dans le cas où des justifications suffisantes seraient faites relativement à la qualité exceptionnelle des matériaux employés; la substitution de l'acier au fer serait évidemment un cas pouvant justifier une pareille dérogation à la règle générale.

( d ) Résistance à la rupture par glissement transversal ou longitudinal, — La résistance à la rupture par glissement transversal pourrait être mesurée sans trop de difficulté en encastrant un prisme horizontal et suspendant un poids qui

PUISSES FLÉCUIS PAR DES FORCES TRANSVERSALES. 2l5

exercerait une action suffisante très-près du point d'encastrement. Mais les ingénieurs et les physiciens ne se sont pas beaucoup occupés de ce mode de rupture, en général moins à craindre que le précédent ; les expériences sur ce sujet sont donc peu nombreuses.

M. Vicat, à qui Ton en doit quelques-unes, n'a pas procédé tout à fait comme on vient de le dire. Il a opéré sur des cubes de plâtre, des briques, des mortiers et des pierres calcaires. Les solides étaient percés de deux trous cylindriques opposés, de même diamètre; on mesurait la force nécessaire pour détacher le solide intermédiaire qui restait entre ces trous, en l'obligeant, par la pression d'un piston, à glisser dans le sens parallèle à l'axe commun des deux cylindres. Si l'on nomme F cette force, p le rayon des trous, e l'épaisseur res-

tant pleine entre leurs fonds, le quotient -^^ mesurera la

résistance transversale à la rupture par unité de surface. Voici les valeurs données par les expériences de M. Vicat pour la

quantité :

Plâtre ordinaire gAchê de 21 x lo' à G'i x 10'

Brique crue »• 3o x 10'

Mortier de chaux grasse et de sable

âgé de quatorze ans » 28 x 10*

Pierre calcaire >' 121 x 10*

Calcaire lithographique » 2J9 x 10^

La méthode de M. Vicat semble bonne pour les corps grenus comme ceux sur lesquels il a opérés; mais elle laisserait quelque incertitude pour les corps fibreux, car la résistance au glissement pourrait ne pas être constante sur tout le contour du cylindre restant dans l'intervalle des trous.

La résistance transversale du fer à la rupture est connue par des expériences sur le cisaillement des rivets employés dans les constructions et appareils en tôle, c'est-à-dire sur leur rupture par un glissement de la tête parallèlement à son plan. D'après les résultats suffisamment concordants obtenus par diverses personnes, on admet généralement comme un fait

2l6 CHAPITRE DBL'XifeSE.

acquis que la résisiance transversale du fer ei sa résîslance longitudinale à la rupture par extension sont à peu près identiques, ou, en d'autres termes, qu'il faut, pour cisailler une barre de fer, une force à peu près égale à celle qui serait capable d'en produire la rupture par extension. Cependant l'expérience semblerait plutôt indiquer une légère infériorité dans la résistance transversale; peut-être serait-il plus exact

d'admettre qu'elle est seulement les ^ de l'autre, comme

l'avait indiqué Navier d'après certaines considérations théoriques. Au reste, le fait a pratiquement peu d'importance; pour les rivets en particulier, la résisiance au cisaillement est beaucoup augmentée par le frottement du au serrage, frottement en vertu duquel une partie de la force totale est transmise, sans l'intermédiaire des rivets, de Tune à l'autre des deux pièces de tôle qu'ils servent à réunir.

La résistance transversale de la fonte n'a pas été, à notre connaissance, l'objet d'essais directs; elle a été déduite seulement d'expériences sur la torsion dont nous aurons à rendre compte plus loin, quand nous aurons exposé la théorie de ce genre de déformation. II en est de même pour les bois de charpente ordinairement employés.

La résistance à la rupture par glissement longitudinal a été encore moins soumise à l'étude expérimentale que la résistance à la rupture par glissement transversal. Quand il s'agit de corps grenus, il paraît très-probable que ces deux résistances sont les mêmes, et l'on pourra également, faute de données suffisantes, admettre ce principe à l'égard des métaux usuels, comme le fer et la fonte. Quant aux bois, il n'en est pas de même; on éprouve moins de difficulté à faire glisser les fibres dans le sens de la longueur qu'à les cisailler dans le sens perpendiculaire. Pour les bois de chêne et de sapin, la résistance dont il s'agit serait de 3o*^8 à ^o^' par centimètre carré.

{e) Limites pratiques des tensions produites par le glissement, — L'expérience non plus que la théorie ne fournissent, (|uant à présent, aucune base rationnelle pour la fixation des

limiies R", R"' [n* W). En nous laissant guider par une induction assez naturelle, quoique peu certaine, nous admettrons

encore qu'on peut les évaluer à - des tensions de rupture

quand il s'agit des méiaux et à de ces mêmes tensions quand il s'agit des bois et des autres matièr.^s.

:E TIIOISIËllE.

CHAPHRE TROISIÈME.

!i I. — De la torsion simple.

53. Notions théoriques. — Dans les questions précédemnieni résolues, nous avons toujours cherclié les tensions intérieures et les déformations répondant à un système donné de forces extérieures; ici nous allons suivre une méthode inverse. Nous définirons d'abord la déformation, puis nous en déduirons comme conséquence les tensions qui en résultent cl les forces extérieures capables de la produire.

On dit qu'un prisme éprouve une torsion simple aux envi- J.-J Hi, rons de la section AB (^g. 3i>] lorsque

:: celle section éprouve, relativement à

! une section infiniment voisine CD, prise

I pour système fixe de comparaison, un

^/ ^^^ mouvement de rotation autour de l'axe

I , Oz du prisme. Ccl axe, dans le cas d'un

Ci ■ „ ,,,,-■ i> prisme homogène, passe par les centre? do gravité des sections successives, considérées elles-mêmes comme étant de i' . , densité constante; nous verrons bientru

{ •„, , la position qu'on devrait lui attribuera

"'l ~ I, " .r l'intérieur d'un prisme bélérogènc.

u Pour nous rendre compte des actions

moléculaires qui correspondent à la déformation ainsi di'finie, considérons uti priMiii' l'iémentaire mnpij ayant pour section droite un élélucnt l'A ilo la surface AB, et pour longueur primitive la distaiici: lÂr — L des deux plans AU, CD. En vertu de la rola-

lion X autour de Oz, la base mn de ce prisme décrii un petit arc mm' perpendiculaire à Om, dont la grandeur sera OmXx» ou rx si Ton pose 0/n = r; les deux bases de l'élément prismatique éprouvent donc Tune par rapport à Tautre un glisse-

ment transversal r^r, soit un glissement transversal ~" rap-

porté à l'unité de dislance. Il est naturel de supposer : i* que la force élastique correspondante s', appliquée à l'élément superficiel mn=:(ù, sera dirigée en sens contraire de mm\ parce qu'elle tend à ramener &) dans sa position première; 2° par analogie avec ce qu'on a vu lorsqu'il s'agissait des efforts produits par un allongement simple ou par la flexion, que son

intensité - par unité de surface est proportionnelle à -^•

On posera donc

en désignant par G un coefficient qui joue, dans les déformations par glissement transversal, le même rôle que le coefficient E dans les déformations par extension (n°' 1, % 19, 20). Nous le nommerons, en conséquence, coefficient d'élasticité transversale, de même que E est le coefficient d'élasticité longitudinale.

Lorsque la section est homogène, le nombre G ne varie pas (l'un point à un autre. C'est l'hypothèse que l'onadopte presque toujours dans les applications pratiques, vu la difficulté de connaître la valeur de ce nombre à l'intérieur d'un corps, au cas où il ne serait pas effectivement constant pour tous les points. Nous allons adopter ici, pour nos calculs théoriques, une hypothèse qui sera plus générale, sans avoir une généralité complète; nous admettrons que, si l'un des deux coefficients d'élasticité varie, l'autre varie aussi et reste avec le premier dans un rapport constant. En fait, on a cru longtemps

que le rapport p- s'écartait peu d'une valeur égale à 2,5 ou 3;

mais l'expérience n'a pas toujours vérifié cette loi.

L'invariabilité du rapport p étant admise comme une donnée pour les corps dont nous nous occupons, lorsqu'on dé •

^3Q CU*riTBB TROISIËIIB.

torminen le centre de gravité d'une section transversale, soit on considérant la densité comme partout égale à E, soit en la ronsiilérant comme égale à G, on trouvera le même point dans Jos deux cas. Ce point, que nous avons précédemment renrontrô dans d'autres théories [n" 2 et 20; et que nous allons encore rencontrer ici, nous l'avons nommé déjà centre d'élattiriir. désignation destinée à rappeler que c'est, en réalité, un centre de forces élastiques parallèles el proportionnelles au produit de chaque élément superficiel par l'un de ses deux roeflicients E ou G.

Après avoir tout d'abord supposé le prisme homogène, nous .ivonsdit, dans la définition de la torsion simple, qu'elle con- >isi;)il en une rotation eU'ectuée autour d'un axe passant par les rentres de gravité des sections successives; nous dirons m:iiiitennnt, dans le cas le plus général que nous ayons l'inlention d'étudier, (|ue l'axe de la rotation est normal au plan ,le l-i section considérée AB , et qu'il passe en son centre .i'elaslirilê 0.

('es préliminaires éUtnl établis, nous allons etîeciuer ta composition des forces i'. Comme elles sont toutes dans le plan AB, il suflil d'avoir la somme de leurs projections sur deux axes ivctangulaircs 0:t; Oy et la somme de leurs moments relali- \cment à un |ioinl du plan. Or on a d'abord

fVsi-à-diie -i'. -:o, Xs'.^^n, attendu que, les axes 0:r, Oy i^iant menés par le centre d'élasticité, les deux sommes lG<ay et ïllt-if sont nulles. Les forces s' ont donc une lésultame de tratisKition nulle, cl, par suite, elles se réduisent à un reiiple dniil un obtiendra le moment en faisant la somme des dis forces par rapport à un point quelconque du plan AU, le point 0 par exemple. En appelant V cctlt somme,

OU bien, si Ton remplace le moment d'ineriie ZGr'w relativement à 0-3 par sa valeur trouvée au n° 22 (^),

Les forces moléculaires s' sont les réactions de la partie du prisme inférieure à AB sur la partie supérieure; pour Téquilibre de celte seconde partie, il est nécessaire que les forces extérieures agissant sur elle, depuis AB jusqu'à l'extrémité, se réduisent à un couple d'intensité V contenu dans un plan parallèle à AB. Lorsque ce couple sera donné, réciproquement on pourra calculer la torsion y correspondante au moyen des formules (i) et (2), et ensuite, x étant connu.

on aura par cela même G-.- ou — pour un point quelconque

de la section, savoir

,, 5' GVr (iVr

11 y a une analogie complète entre les formules (i) et (3) et celles qu'on a établies au n** 20 pour calculer la flexion 4» due au moment fléchissant X, ainsi que les tensions / correspondantes. On retrouve les premières au moyen de ces dernières, en remplaçant X par V, / par s\ les dislances u à l'axe de flexion par les dislances r à l'axe de torsion, ^ par /, et enfin le coefficient E par G, c'est-à-dire toutes les quantités par celles de même nature dans la question actuelle. Le couple V se nomme couple de torsiouy de même que X était le moment ou couple de flexion, et, de même que nous avons appelé 2£a'6) moment d'injlexibilitéy nous appellerions volontiers la quantité 2Gr- w moment d'iniorsibilité, si ce dernier mot existait en français (comme cela serait désirable) pour exprimer la difficulté qu'il y a pour un prisme à être tordu. On voit, en effet, que l'angle de torsion produit par un couple donné varie en raison inverse de cette quantité.

Lorsqu'un prisme est en équilibre sous la seule action de deux couples égaux et contraires V, — V agissant dans les deux sections extrêmes, le couple de torsion est égal à V dans

une section quelconque, de sorte que l'angle de torsion £>

2^1 CHAPITRE TROISlfcHB.

rapporté à l'unité de longueur, ne varie pas d'une section à I autre; par suite, la rotation relative 6 de deux sections distantes d'une quantité finie z est proportionnelle à cette dis

lance et s'obtient en la multipliant par ^« On a donc 0 =zz'^'

Voici maintenant des exemples de l'application des formules ci-dessus à des sections de forme particulière, supposées d'ailleurs homogènes.

i* Section circulaire pleine. — On a (n«22, /;, en nommant <' le rayon du cercle,

puisque G est constant, il peut se mettre comme facteur commun en dehors du signe 1; alors la formule (2) devient, eu êj^ard à -o) - rrc-,

et la formule (3) se transforme en

f.. s' aVr

Le maximum de la force s' par unité de surface répond au maximum de r, soit a r = c'; sa valeur est — .

tT Couronne circulaire. — Ici, c et & étant les rayons extérieur et intérieur de la couronne, on aura

et, par suite,

s' 2Vr

Le maximum de - répond encore à r=c et a pDur valeur 2V6'

s' fiVr

3* Prisme à section carrée, -- Si c désigne le côté du carré, on devra prendre

d'où Ton déduit

Dans ce cas, r peut varier de o à -cv/2; le maximum de -

3Và/2 répond à cette dernière valeur et devient égal à - — -^ >

Nous ne chercherons pas les résultats particuliers relatifs à d'autres formes de la section transversale; la théorie élémentaire de la torsion, telle qu'elle est ordinairement présentée ei telle qu'on Ta exposée ci-dessus, n'est en effet qu'approximative, et il ne faut pas lui donner plus de généralité qu'elle n'en comporte. Les géomètres ont fait une étude plus approfondie, mais aussi beaucoup plus difficile et plus bornée dans les applications pratiques, des pressions ou tensions qui peuvent exister dans un solide soumis à des forces extérieures données. En ce qui concerne la torsion produite par un couple perpendiculaire à l'axe d'un prisme, les travaux de Cauchy d'abord , et en dernier lieu les travaux plus complets de M. Barré de Saint-Venant, membre de l'Académie des Sciences, ont démontré que les formules (i), (2) et (3) ne sont exactes en toute rigueur que dans le cas d'une section circulaire. On peut les regarder comme suffisamment exactes dans la pratique si la section est un polygone régulier de six ou huit côtés, forme assez fréquemment réalisée et qui s'éloigne bien peu du cercle. Si la section est un carré homogène, M. de Saint- Venant a /ait voir que les formules relatives à ce cas avaient besoin de subir une correction, qui n'est pas d'ailleurs trèsconsidérable: la formule (8) doit avoir son second membre

3Vi/2 multiplié par o,8435, et l'expression — ^-^ de la tension

£34 CUJiriTRi ISOISItlIR.

8V maxÉinuin doil so r»'uip!jfer par — ,-,.vv — ,> soil a peu prcs • "^ 1,60532. c'^ '

-7^3-1 ce i)ui ôi)..î\^tii ù la multiplier par 1 ,i3,!3 ^'j.

Mats Ii>-i f.':v.;,i"f's de la iliéorie olémeiilaire peuvent coniluirc il dos rs->.;;i.iis trcs-iiiexacls quand les sections s'écartent bcsiiKo,:;» <'o la forme circulaire, et notamment dans le ras dun fv.-i.injjle à côtés sensiblement inégaux. Alors le> scnii'iis iï.inilivemcnt planes deviennent courbes après la dolornuiîi'n produite par les couples V, —V; les maxima de loiisioii n'ont pas lieu prés des angles, mais vers le milieu des rôles, et ont des valeurs bien difTérenies de ceilesque donnerait la formule ( 3 ). 11 est bon cependant d'ajouter que c'est un las peu pratique et que les solides exposés à se tordre sous l'aciion do couples reçoivent toujours la forme de cylindres circulaires ou de prismes à section polygonale régulière ;';■

51. f'aleuis numériques du coefficient d'éinslicilé Irantveisale pour diverses intilières. — Le coefficient G peut se dé-

,•) >.iii> rciivi>)(ii.ï I,' L'ctoiir » llhivr^n» iiititulô De la ionio» dn f,tmci. -■le. f-M- M. .lu Saiiil-Vriiunt, exirait du Toino XIV des armoires profilés pur iliviTS <amuit ,) V^cutli-mie drt Seitacts.

ait à rcmplaci-T Ici rormiil.'s j) et (a), duiis lo cas d'une icttiaD honiOBinc, tn iiummaut n un cui'lliciiiit iiiiniuriqiiv iariablo uvirc la l'orme de colle lection cl ïooïi-'i'ïaot d'uiliciu;, k'a ii.iUiiiiiiis ci-dissu» cmployià^s, «ri [loumil poser, il'a|iri'a sa Ihcuric,

Pour uni- spolioii clli]ilîr|ii<', « coiiM-rvcmil tiiii' valeur couslaifle ûgali

I lull — l'iiiiroii I, rjuclquu valcui- <|u'uii allriliiii? au rap|iorl des deux am d

IVllijwc; |.oiir des ML-tiims loin.iiijulair.'s dans lesqiicllf. oii ffrait varier I

rapport des iloui côliis eiilro i el K, « variriail sculeini'iil eiitni - — ~ cl

de aoric qu'un uc se Ipouipi'rail pus beaucoup eu le supponiit toujours ^j il — . La mùiiie ïalcur su rousi'iie encore approiiinaliTemcnl lour d'aulrc >iiiié la dùllnilioii. (»oi> lea Cmplei rrllJu ,. >e.nDcc du 37 jauïicr >S-,.j..

terminer aisément par rexpérience, en observant la torsion produite par un couple connu V sur un c^'lindre de rayon c, formé de la matière qu'on a en vue. Si 0 désigne la rotation relative de deux sections séparées par la distance 2, on calculera d'abord l'angle de torsion par unité de longueur - y qui

û aura pour valeur -•, puis on tirera de la formule (4)» en po-

sant |. = x',

expression dans laquelle les quantités V, c et •/ résultent do mesures directement prises par Tobscrvateur. Dans le cas où Ton aurait op^ré sur un prisme à base carrée, de côté c, la formule (8) donnerait

OU mieux, eu égard au coefficient rectificatif de M. de Saint- Venant,

'- o,8:f35c*/; ~ tv;

On n'oubliera pas que dans tous ces calculs les angles doivent être exprimés, non en degrés, mais en arcs pris sur le cercle de rayon i; la valeur en degrés sexagésimaux doit donc

se multiplier par -4t-- * ' ibo

Les valeurs suivantes sont ordinairement indiquées par les

auteurs comme celles du coefficient G pour les deux métaux

les plus usuels :

Fer 6.7 X 10"

Fonte •;». ,0 X 10*

Quant aux bois, il y a peu d'expériences connues. Nous trouvons, dans un travail de Wertheim [Annales de Chimie et de Physique, 3" série, t. L), une expérience sur un prisme carré en bois de chêne, qui fournil les chiffres suivants :

V=: 0^^,2475, C=:0™,0202, y'zzzOjIoS; I. 3* cdit. i5

?36 CHAPITKB IBOISIftHI.

il OU résulte, par la dernière formule,

G = o,98x lo'.

M. l'ingénieur en chef Bouniceau a donné de son côté, comme résultat de ses propres expériences sur des prismes en bois, à section carrée, les valeurs de G doni voici le Tableau [') :

Sapin rougo de Prusse 0,69 >

Chêne de haute Normandie o,.(9 >

llûlre o,i5>

HÔtre injecté 0,49 >

Sapin rouge de Norvège °,^7 >

M. Bouniceau a fait ses calculs sans avoir égard au coeflîcifint rectificalif - — ^ ; s'il en avait tenu compte, les nombres cidessus auraient éprouvé une cerlaine augmentation et auraient varié de o,44 X lu' à 0,82 X lo*.

II semble, d'après ces cliilTres, que le coefficient G, pour ies bois de construction ordinairement employés, se trouve aux environs de 0,70 X 10': c'est à peu prés la moyenne entre les valeurs extrêmes déduites des expériences de Werllieim et de M. Bouniceau. On a vu (n" 7) que le coefTicient E applicable aux bois variait de 9X 10' à i?. x 10', Le rapport j, se-

10 5 rail donc ici dans ies environs de - ■- - i5, nombre de beaucoup supérieur au rapport que Navjer avait fixé théorique-

lio. Résistance à la riipliire par torsion; limites pratiques ilrs tensions Iransversalrs dans les prismes tordus. — Lorsqu'on produit la torsion d'un cylindre circulaire de rayon c ou d'un prisme à base carrée de côté c, au moyen d'un couple V, le ninximum de tension transversale prend, dans chacun de ces

AUTUBS CAS PARTICULIERS. 22^

deux cas, une valeur qu*on a déterminée au n° 53 et qui est :

Pour le cylindre — -j >

Pour le prisme -7-7 *

En augmentant progressivement le couple jusqu'à produire la rupture, les résultats correspondants fournis par ces formules sont ce qu'on nomme résistance à la rupture par torsion pour la matière du corps soumis à cette épreuve, expression inexacte au fond pour des raisons déjà dites (n°* 5 et 52).

On est arrivé de cette manière, pour la fonte, à des chiffres variables entre 17X10" à 26x10% soit moyennement 22 X 10*, ou 22^« par millimètre carré.

A l'égard du bois, nous n'avons guère d'autres renseignements que ceux qui sont fournis par le travail de M. Bouniceau, déjà cité [n'* 5i). M. Bouniceau a opéré sur des prismes à section carrée ; voici les chiffres qu'il donne et qui devraient être multipliés par i,i323, conformément à la théorie de M. de Saint-Venant :

Sapin rouge de Prusse ^ /^-9 x ï<>*'

Orme i , lO x i</'

Cliùne de haute Normandie i ,9() x 10'^'

IlcMre I ,'2 i X 10"

Hôtro injecté 0,9 5 x io'=

Sapin rouge de Norvège 0.80 x ki''

Faute d'expériences directes pour fixer les résistances de diverses matières à la rupture par cisaillement transversal, on pourrait, avec assez de vraisemblance, adopter les mêmes chiffres que lorsqu'il s'agit de la rupture par torsion, comme on l'a dit au n° 52; en effet, la rupture se produit, dans les deux cas, par suite du développement de forces tangenlielles sur les plans qu'elles sollicitent, ce qui établit une certaine analogie entre les deux modes de rupture. Mais l'analogie n'est évidemment pas complète, car toutes les forces élastiques développées par un effort tranchant sont parallèles, pendant qu'un couple de torsion en fait naître d'autres qui agissent d<ins toutes les directions perpendiculaires aux rayons issus du centre d'élasticité.

cnAPITRE TROISIÈME.

• ^ .i.v i V* Iv*> ingénieurs aient à se préoccuper des len-

.,rv . .'^ |vir la torsion, en exceptant toutefois celles

V >iv''; -•j:î> certaines pièces de machines, les arbres de

,1 ,%t' exemple. Il convient ici, non-seulement que les

Mr uniiê de surface ne grandissent pas au point de

^^.. .-^> la pièce, mais encore que l'angle de torsion

V Vv^ïntnent petit, afin d'assurer la régularité dans la

*r ^^xMi do mouvement et peut-être aussi afin de ne pas

,,>j à des froitemenls plus ou moins notables. On

- rvi .ilors qu'il est bon de restreindre le maximum des

^ «. ',x - ai seraient très-admissibles dans d'autres circonstances.

V ,v,^,.^ \\ s*iigit d'arbres ayant une section circulaire ou en

. .X .^no régulier de six ou huit côtés, au lieu d'égaler la

„j;nutô 3 n° 53) au sixième ou au dixième de la résistance

TTC

A 1a rupture à la torsion (comme on Ta fait dans le cas de .vos soumises à l'extension directe ou à la flexion), on de- \\^ Togider à une constante C que la pratique des conslruc- ,ours de machines et des exemples bien choisis auront permis ^*o dotcrminer pour chaque matière. M. Je général A. Morin a »>,oposé les valeurs suivantes, que nous transcrivons en noml ros ronds :

Fer et acier C - i x lo'*

Fonte 1 33 X lo'

Bois de chône :i7 :< lo'

Bois (le sapin 29 :< lo'

Les valeurs ci-dessus conviennent à des arbres allégés; si Ton veut avoir des arbres forts, on diminue C de moitié. Dans le cas d'arbres creux, c' désignant le rayon du vide intérieur,

(! devrait être égalé à — , — ,-- in" o3\

TT , c* — C- * )

t^ II. — Tensions normales développées dans la section droite d'un prisme par une force résultante parallèle à Taxe.

56. Digression sur les centres de percussion des aires planes, — Avant d'aborder le problème dont l'énoncé fortie le litre du § II de ce Chapitre, nous avons besoin d'établir une ihéo-

rie apparienanl plulol à la Géoméirie qu'à la Mécanique, car celle dernière science n'y inlervienl guère que pour donner des noms à ccrlains poinls, cerlaines lignes, cerlains produils: nous voulons. parler de la ihéorie du cenire de percussion d'une aire plane relativement à un axe contenu dans son plan.

(a) Dtîjinition du centre de percussion d*une aire plane. — Après avoir matérialisé une surface plane (que nous considérons comme la section transversale d'un prisme), en attribuant à chacun de ses éléments w une densiié égale au coefficient d'élasticité E de la matière adjacente, on peut assujettir ce corps, en forme de disque infiniment mince, à tourner autour d'un axe contenu dans son plan. Il y aura alors à considérer un centre de percussion, c'est-à-dire un point tel, qu'en y appliquant une impulsion perpendiculaire à la surface l'axe n'éprouverait aucune pression. Telle esl lu définition mécanique; nous allons voir qu'on peut lui en substituer une qui soit purement géométrique.

Soient, en effet, A la surface donnée [Jig\ 3i;, Ox, Oj deux axes des coordonnées, reclangu- ^. ..

Fig. il.

laires entre eux, dont l'un, Ox, esl celui autour duquel la surface est "^ / \ ^

assujeltie à tourner. Appelons x, et 4

Xt les coordonnées du centre de 1 . '

percussion. On sait d'abord que la ~j

distance de ce point à l'axe Ox est u v ~j

égale à la longueur du pendule simple équivalent au disque matériel représenté par A, ce qui conduit à la relation

En second lieu, Ox doit être axe principal d'inerlie au point où il est coupé par un plan qui lui serait perpendiculaire et qui contiendrait le cenire de percussion. Donc, si l'on transportait Taxe des j parallèlement à lui-même en ce point, on aurait lY^x'/u^ — o (n" 22, c), x' et /' étant les coordonnées nouvelles; ou bien, comme on a >'— ^^ x'=x-~ Xyy on posera

2E j(a; — Xx tù^=: o,

rj-t.;l,-j! ijiii iKiiine la valeur fie a-, :

On voii. on conséquence, que, d'après la dénnition ci-dessus doiiiiéf, »o"S avons trouvé les coordonnées x„}\ du centre de ncrcuision. Itéciproquement, on pourrait se servir dos valeurs X, et r, pour définir le centre de percussion, et alors la iiropriélc mécanique dont jouit ce point ne serait plus en évidence; on aurait une définition purement géométrique.

i b' Propriétés diverses du centra de percussion d'une airi: nlane. — Le centre do percussion d'une aire plane relativement à un axe contenu dans son plan peut encore être envîsacc sous deux points de vue qu'il est utile d'indiquer. On ncui d'abord reconnaître que c'est le centre d'une inQailé de forces parallèlcs/appliquécsaux cléments w et représentées, pour chacun d'eux, par E&ij-; en d'autres termes, c'est le centre île forces parallèles, proportionnelles au ressort longitudinal de rliaque élément Cl à la distance qui sépare celui-ci de l'ave. Si ion employait les formules connues pour déterminer cccoiitre de forces parallèles, on lui trouverait, en effet, des coordonnées identiques à celles du centre de percussion. On ^'en l'i'ii'l d'ailleurs ininiédlatemenl compte, en remarquant .lui' II' l'L'nlre de percussion de l'aire A est le point où agit une impulsion qui, conforniénient au principe de d'.VIemberl, fait équilibre aux quantités de mouvement produites, prises en sons conlraire; or ces quantités de mouvement sont parallèles (■litre ('Iles et pruportionnelles à E&i)', et leur résultante coupe I;i suri'.ice A au même point que celle des furcesy". Cette considériiiiim d'un centre de forces parallèles, variant suivant la loi que nous venons d'indiquer, est celle qui se présente tout iiatiLiellenient et comme d'elle-même dans les questions de vésîslauce des matériaux.

|iii antre point de vue, souvent utile comme moyen de déiniiMslriiiion, est le suivant. Supposons un prisme droit qui aurait l;i sjrface A pour base, et attribuons à chaque élémeni de volume de ce prisme la même densité qu'à l'élément superliciel (.1 sur lequel il se projette dans le plan de la base; ad-

AUTRES CAS PARTICULIERS. 23l

mettons enfin que ce prisme soit terminé à un second plan passant par Ox : alors le centre de gravité du volume hétérogène ainsi formé se projettera sur le plan de A, en un point qui sera précisément le centre de percussion de cette surface. En eflfet, soitz la hauteur de l'élément prismatique qui a w pour base; soient :r„ j, les coordonnées du centre de gravité en projection ; le théorème des moments donne

Xj — Ezo3 = lExzo)»

Or - est égal à une constante; donc

ri)

y^ — V I? ,w. — ^*'» ^^ — "v 17 Jw. ~" '^» '

lEyoy ~*^" ^~ lEj

ce qu'il fallait démontrer.

Cette nouvelle manière d'envisager le centre de percussion d'une surface plane conduit à des conséquences qu'il suffit d'énoncer pour en apercevoir la démonstration, et qui bien souvent donneront une détermination immédiate de ce point. Voici ces conséquences :

I® S'il existe dans la surface plane A un diamètre dont les cordes conjuguées soient parallèles à l'axe do rotation, et si, en outre, sur chacune de ces cordes les masses sont symétriquement distribuées de part et d'autre du point de rencontre avec le diamètre, le centre de percussion de A sera sur le diamètre dont il s'agit.

2® Quand on voudra trouver le centre de percussion de l'ensemble de deux surfaces dans un même plan, on pourra chercher celui de chacune des deux surfaces isolées par rapport à Taxe de rotation donné, joindre ces deux points, puis prendre sur la ligne de jonction un point qui la divise en deux segments inversement proportionnels aux moments des deux surfaces (2Ej&)) relativement à l'axe de rotation. Il est clair que cette propriété peut facilement s'étendre à la différence de deux surfaces ou à la sommé d'un nombre quelconque de surfaces toujours dans un même plan.

3® Voici encore une propriété bonne à connaître. Si l'on

jjl CnuPlTIE TBOISltlIS.

Iriiisfurtne la surface plane A, en menani par un point quel- ,->>m|U<' M une ligne MP de direction conslante, et par le jHiiiit P où elle coupe l'axe de rotation une autre ligne PM', ^\c diroclion également dôierminée, dont la longueur serait (Ollf de MP amplifiL'e ou diminuée dans un rapport constant, lo rentre de percussion de la surface transformée s'obtiendra ou e\éculant sur le centre de percussion de A l'opération géom<.'lrii|ue qui vient d'èlre définie.

Dosignons, en effet, par des lettres avec un accent tout ce ijul se rapporte à la surface transformée : on aura, pour les l'oonlounces de son centre de percussion,

()r il y a d'abord un rapport invariable entre l'aire u et sa transformée m', car la transformation n'altère pas les dimensions parallèles aux jr et multiplie par un nombre déterminé celles qui sont parallèles aux y; de plus, on voit immédiatement que

/ ~: my et x' = ar -^ ny,

m el « étant des constantes. Par suite, on peut écrire

donc cnllii li: point [jt',, y',] osl bien identique avec le point it.iiluii du iriiiin de percussion de A parla transformation

./(' /« rvclicrche des ceiilri's de peiriissioa. — Kous 11'- contres de percussion de quelques surfaces homo- (uur d'axes délerminOs.

I iiiirnlli'-hgrniiime hnmogènc tournant antoar d'un de I iJiiT^idt^ru lions prés^nlccs ci-dessus [b) prouvent immé-

diatcment que le centre de percussion se trouve sur la médiane qui rencontre Taxe de rotation, et aux deux tiers de la hauteur, à partir (ludit axe. On arrive à la môme conséquence par l'emploi des valeurs de .r, el/i données plus haut («). En appelant / la longueur du côlé autour duquel tourne la surliice, h l'autre dimension, puisque E ne varie pas d'un point à un autre, on aura

if'b- '- 1'

11 est visible d'ailleurs, dans le cas du rectangle, que le centre de percussion doit se trouver sur la ligne perpendiculaire au milieu de la loniiueur /, car, si l'on prend celle ligne pour axe des j, il y a, pour un élément quelconque w, un autre élément symétrique ayant môme ordonnée r, et une abscisse égale et de signe contraire; donc sEj-j»» ■■= o, <'l, par suite, x, — o. Pour le parallélouTamme, la vérification de la valeur de j:, exigerait un petit calcul, bien facile à tnjuver et auquel il nous semble inutile de nous arrêter.

2* Triangle homogène tournant autour (Cun de ses côtés, — Soil le triangle ABC tournant autour de AC [ff;, 'H) : pour avoir le centre de percussion, il faut avoir, en projection sur le plan ABC, le centre de gravité d'un tétraèdre dont A, B, C seraient trois sommets, et dont le quatrième, que nous appellerons B', se projetterait en B. Or, rien n'est plus facile. On sait que le centre de gravité d'un tétraèdre se trouve au point de rencontre des *''^''

lignes qui joignent les milieux des côtés op- /;

poses. Prenons donc le milieu D de AC et joi- y ■ \

gtions-le au milieu de BB'; nous aurons, en ^;^ / X^

projection, la ligne BD. D'un autre côté, les [^

milieux de AB' et CB' se projetant respective- ^ '

ment sur les milieux de AB et CB, en E et H, ^' ^ c

la ligne EH passera aussi par la projection du

centre de gravité. Donc ce point ne sera autre que G, milieu de Bl).

Ainsi, pour obtenir le centre de percussion du triangle homogène ABC. tournant autour de AC, on joindra le milieu de AC au sommet opposé, et l'on prendra le milieu G de la ligne de jonction : G sera le centre de percussion cherché.

3" Trapèze homogène tournant autour d'un des deux côtés non parallèles. — Soient ABDC le trapèze donné (fg. 33), AC l'axe de rotation qui

rencontre en S le côté opposé BD. Posons BD = /i, BS = mh. Imaginons un plan quelconque passant par la droite SCA, et désignons par B', D'

" '" ClIiPlTRB TROISIËSE.

- '°'--"l'"'-4"K-"<!ral"projealond«centredegrivii«(

,... ,,. la pyramide ltoni,uée ABDCD'B', dinére,» d»

deux Mraêdrei semblables SABB', SCDD' ayaUS

• '"■"■"""""""irami.Cosdeoicémèdre^outa,

\ ";°"' "'° S""" S"f "no ilroile parlaal d.S ei

""""'•'"" ™ ™lm lie gravilé de la base ABB'

. ^ ,, el, comme le ecnlre de gravilé de ABB' se projei»

^ , au point F, ,cl ,,„ W ^ IXi, nous connaiss..,

\ I ainsi une ligne SF qui conlienl le centre de per-

cuss,on du trapèze. Pour aclieve, de le détermi»,,

■ < ''"''"'':'" '' lii'lanco ^, comptée parallèl™.!

*""'■ ^"' ''■ ^opare do la ligne AB. A cet effet on

roma„,„„a„„ les tétraM™ SABB', SCDD' sont r'especivement ™r"

lîennels l\ SB . SD soit 'i m' (,» .i> , , ^.

..on.r„ -1 -.1 . 1 '" ^ ' ; . et que les dislances de leurs

.entre, de gra.ilé.u plan ABB'^compt&s (comme la distance ^) p..

rallèlemcnt i BU, sont I Sîi, t SB + Bfl, ou encore i „,/, I|„,^3W,

Pour» - ., cas auquel le tri],ùze dcgénirerail on triangle, on .

..■ - ^ A, ..i » varie en croissanl depuis i jusque « , .r croit aussi el

tend MT, la iimilc j /,. Dans ce cas limite le trapèze devient un parallc-

legnua,,,,.. Le, deux résullals qu'on vient do trouver concordent avec

■eux qu on a donnés ei-dessus (i" et 2°),

.|- *■;»»■«< ,U- rmli- fc«„.,'.„c /„„„,„,„ ,„„„„ ,,, ,„ „„^, ^^