OL' OL
nera H' H parallèle à G'G, et son intersection H avecLI sera précisément le centre de percussion du segment elliptique. En effet, nous avons appliqué ici purement et simplement un théorème général démontré tout à l'heure (6, 3").
Pratiquement il ne serait pas nécessaire de passer par la détermination
du point auxiliaire H'. En effet, — - = -j^z- = n: donc, après avoir cher- ^ OL' OL
ché le rapport n qui répond à l'angle y dont le cosinus est — -7=^ ? il
suffira de porter sur OL la distance 011 égale à « OL : le point H sera le centre cherché.
{d) Recherche générale des centres de percussion par le Calcul intégral ou par la Géométrie, — Los valeurs des coordonnées Xi, y\ du centre de percussion d'une surface plane tournant autour d'un axe situé dans son plan sont exprimées au moyen de trois sommes étendues à tous les éléments superficiels. 11 est clair que chacune de ces sommes peut être calculée au moyen d'une intégrale double, comme on Ta vu à propos des moments d'inertie (n"22,e;. Ces sommes peuvent également se trouver à l'aide des procédés approximatifs connus, tels que la méthode de Simpson.
On peut aussi employer dans celte recherche un procédé géométrique. Nous le croyons d'autant plus inléressanl à connaître qu'il conduit à des résultats simples et élégants, et que (comme nous le montrerons tout à l'heure) il est direciemeni applicable à la détermination du centre de pression d'une aire plane plongée dans un liquide pesant et homogène.
Soit donc CD [fig> 3()) la surface plane, de forme quelconque, dont on veut avoir le centre de percussion relativement à Taxe TT' contenu dans son plan. Soit 0 son centre de
gravité y autour duquel on suppose tracée Tellipse centrale (l'inertie* Menons par le point 0 les axes principaux d'iner-
tie Ox, 0^, et en outre deux droites Ow, Ov, l'une parallèle et l'autre conjuguée à la direction TT'; nommons*
x,/les coordonnées d'un point quelconque par rapport aux
axes Oo;, Oj; V, w les coordonnées obliques de ce même point relativement
à 0^, 0(1^; ^i> Ji> t'i» ^1 les coordonnées rectangulaires ou obliques du
centre de percussion demandé; t»: la valeur particulière de v pour un point quelconque de
TT', c'est-à-dire la dislance OA prise avec le signe — ;
p la longueur du demi-diamètre OP ;
ô l'angle POw qu'il fait avec son conjugue;
M la quantité csinô pour un point quelconque, c'est-à-dire In distance normale de ce point à Oiv, prise avec le signe -iou avec le signe — , suivant que Tordonnée v est positive ou négative;
Ui, Ut les valeurs particulières de u pour le centre de percussion et l'axe TT';
rie rayon de gyration de la surface CD relativement à Ow.
Le centre de percussion est, comme on Ta vu ( ft), le centre de forces parallèles appliquées aux divers éléments &> de la surface et proportionnelles, pour chacun d'eux, au produit de
^* ujvvo Ko par sa dislance à l'axe de rotation; d'ailleurs, . ar viisLauce s'exprime ici par ii — w, ou par [v — (^j)sino. Vi.|»4i(juaiii, en conséquence, le théorème des nnomenis par »i,i|iui i aux lignes 0(v, Oi^, on trouvera
i», ^ E ( C' — Vi\ &) - : w E i' iV — Vt] 0),
v>u bien, en tenant compte de ce que le centre de gravité est à lui i^iue, ce qui entraîne la nullité des sommes ZEi^co, 2Etvw, i\ vient
— i', Cj-Eo) zrr^Ec'O),
— tV, i/jiEo) =: 2Et'(t'&).
Or on a démontré Jn" 22, d) les égalités
^ E iH«' /» =1:: o :
les deux précédentes donneront donc enfin
,0 i'. fi -+- /?' — o,
On pourra poser aussi, en vertu de (11,
c', l'aSin'o -^- //sin^o = o;
or, par définition, Vy sino et t'îSino ne sont autre chose que «, ot M2, et, d'un autre côté, ps\ï\d est égal à r fn*» 22, d]\ donc
3] UxUi-r- r- — o.
Les équations (t), (?) et : 3) font connaître le centre de percussion par ses coordonnées c,, w,, u^, qui se trouvent exprimées en fonction des données f/,, i'„ r, p. Interprétons maintenant ces équations en langage ordinaire.
L'équation (2) nous apprend que w, est nul et que, par conséquent, le centre de percussion se trouve quelque part sur la ligne Ov, en II par exemple. L'équation (1) montre que i^i et fa sont de signes contraires, que par suite le centre de gravité 0 est compris entre le centre de percussion H et le point A où l'axe de rotation est coupé par Oc, enfin que OP est moyen proportionnel entre OA et OH. Quant h Téqua-
lion (3), elle définit la distance normale du point H à Ow; on aurait pu la trouver en exprimant, suivant les théories connues, que le centre de percussion demandé se trouve sur Taxe d'oscillation de la surface CD considérée comme un pendule tournant autour de Taxe de suspension TT'. En résumé, nous pouvons énoncer la règle suivante :
Pour déterminer le centre de percussion d'une surface plane CD relativement à un axe TT', on mènera par le centre de gravité 0 de cette surface le diamètre KOv conjugué de TT' dans l* ellipse centrale d'inertie ; puis, dans le prolonge-
ment de AO, on portera la longueur OU ésale à -. ~t OP
