CHAPITRE TROISIÈME. — AUTRES CAS PARTICULIERS

N' = - agissant en H' sur la nouvelle base Â'B'C'D', puisqu'elles rem-

plissent toutes les conditions voulues, qui sont, comme on Ta dit, suffisantes pour les déterminer.

Il résulte de ces observations que la recherche des pressions par unité de surface, existant en chaque point du parallélogramme, sous raction de la force N appliquée en H, et la recherche des pressions qui existeraient

en chaque point du carré, en faisant agir la force -- au point H', sont un

seul et même problème. L'avantage de cette transformation est qu'on se trouve débarrassé des trois dimensions /, h, a, et qu'une recherche opérée sur le carré de côté i peut servir à tous les parallélogrammes ou rectangles possibles. Nous ajouterons enfm que, un carré pouvant se décomposer en huit triangles égaux entre eux, isoscéles et rectangles, par le tracé des médianes et des diagonales, il suffira évidemment, pour avoir tous les cas possibles, de faire varier le centre de pression H'à Tintérieur de l'un de ces triangles. Le placer dans un autre équivaudrait à faire tourner d'un certain angle, autour de son centre, l'ensemble de la Ggure.

REGUERCllK GÉNÉRALE DES TENSIONS. 279

RECHERCHE DES TENSIONS INTERIEURES DANS UNE PIECE DROITE OU COURRE, SOUMISE A DES FORCES EXTÉRIEURES DONNEES ET DEFINIES D*UNE MANIÈRE QUELCONQUE.

§ I. — Tensions intérieures dans un prisme.

64. Solution générale du problème. — On a étudié dans les Chapitres précédents divers cas particuliers de la résistance des prismes, et ces cas présentent tous cette circonstance que les forces extérieures agissant depuis une section quelconque jusqu'à l'une des extrémités y sont définies d'une manière fort simple. C'était, par exemple :

Une force unique agissant suivant l'axe ou simplement parallèle à l'axe, ce qui nous a donné Textension simple, ou l'extension accompagnée de flexion;

Une série de forces agissant dans un plan de symétrie du prisme et perpendiculairement à Taxe, système qui peut se réduire à une résultante de même direction et qui produit la flexion simple, c'est-à-dire la flexion sans extension de la fibre moyenne ;

Un couple ayant son plan perpendiculaire à l'axe, ce qui produit la torsion simple.

Le moment est venu d'écarter toute restriction et d'aborder le cas le plus général, savoir, celui d'un prisme soumis à des forces quelconques. Nous allons donner une solution hypothétique du problème de la détermination des tensions intérieures dans ce cas général, en nous fondant sur des considérations tout à fait semblables à celles qui nous ont permis de traiter les cas particuliers ci-dessus rappelés. Nous admettrons d'abord que, pendant le changement de forme dû à Télasiicité du corps, les sections transversales conservent leurs dimensions invariables, de sorte que la déformation consiste seule-

fi| 1'/

ment dans les déplacements qu'elles prennent les unes par rapport aux autres; secondement, quand il s'agira d'évaluer la force moléculaire correspondante à tel ou tel mouvemenl relatif, nous invoquerons les analogies plus ou moins parfaites qui peuvent exister entre les circonstances actuelles et celles que nous avons déjà rencontrées.

Remarquons maintenant que le mouvement d'une section Fig. 43. CD relativement à une section infiniment

A c voisine AB (Jig. 4^)» ^^^^ elle est sépa-

/) rée par une distance AC = L, pourra

^0' toujours se réduire à une translation OU'

.^Z' du centre d'élasticité 0 (n^* 2 et 53), ei \ j^"»^ une rotation autour d'un axe OM passant par le point 0. Chacun de ces mouvements peut à son tour se décomposer en deux autres, savoir :

00' en deux translations, la première /suivant l'axe Oz du prisme ou suivant la normale au plan CD, la secondey contenue dans ce même plan ;

Le mouvement de rotation autour de OM, en une rotation ^ autour d'un axe Ow mené dans le plan CD par le point 0, et une rotation x autour de Oz.

Ces quatre mouvements, nous les avons déjà rencontrés en partie, soit isolés, soit combinés par deux : le premier est l'extension simple, le troisième la flexion simple, le quatrième la torsion simple. Quant au second, nous ne nous en sommes pas encore occupé : nous le nommerons glissement simple.

Si nous considérons, au lieu de la section CD dans son ensemble, un de ses éléments w, nous voyons que son déplacement par rapport à l'élément égal sur lequel il se projette dans AB et qui fait la seconde base de la fibre élémentaire mnpq consiste : 1® en un déplacement suivant la longueur de cette fibre, lequel s'exprime algébriquement par /-h ^u% si l'on nomme u la distance de w à Taxe Otv, prise positivement d'un côté de cet axe et négativement de l'autre; 2'* en un autre déplacement parallèle au plan CD ou au plan de base de la fibre, lequel sera la résultante du glissement y commun à tous les points de CD, et d'un glissement suivant la tangente au cercle décrit de 0, comme centre, avec un rayon p égal à la distance entre 0 et w, ce second glissement ayant pour

REGHBRCilB GÉNÉRALE DES TENSIONS. 28 1

valeur px- Le déplacement / -4- vj^m nous représente un allongement positif ou négatif de la fibre mnpq; si cette fibro était isolée et sans autre déformation, il en résulterait pour

elle une force moléculaire égale (n*» 1) à E&) — p--? h

compter suivant la direction normale à sa section droite, et constituant la fibre mnpq en état de tension ou pression longitudinale. Pareillement, le mouvement résultant de y et de px est un glissement des deux bases de la fibre, l'une relativement à l'autre; par analogie avec ce que nous avons fait dans la théorie de la torsion simple (n'' 53), nous admettrons qu'il produit une tension transversale de même direction

que lui, cette tension ayant pour valeur le produit de -p par

la résultante géométrique de y et de p/.

Comme on le voit, en posant ces expressions algébriques des forces moléculaires, nous ne faisons que reproduire des évaluations déjà données et employées dans d'autres circonstances. On peut, à la vérité, objecter que les fibres élémentaires mnpq ne sont point des prismes isolés dont les faces latérales ne supporteraient aucune force, et secondement, qu'elles éprouvent un glissement transversal en même temps qu'une extension. Ces objections, qu'on aurait pu déjà formuler au moins pour une partie des théories précédentes, et dont nous ne voulons pas d'ailleurs dissimuler Ja portée, ne nous arrêteront pas néanmoins. Il ne s'agit point, en effet, de faire ici une théorie mathématique et rigoureuse, mais seulement une théorie plausible, qui donne des approximations suffisantes dans la pratique et qui renferme comme cas particulier celles que nous avons déjà exposées.

Afin de pouvoir utiliser les expressions ci-dessus établies des tensions développées sur les éléments w de la section CD, il faut déterminer les quatre mouvements simples /, y, ^, /, en fonction des forces extérieures, qui sont supposées être les données immédiates de la question à résoudre. Nous y arriverons en exprimant l'équivalence entre les forces extérieures appliquées depuis la section CD jusqu'à l'extrémité du prisme (vers la droite), et les tensions par lesquelles cette partie à droite de CD réagit sur la partie à gauche; l'équiva-

282 CHAPITBB QUATRIÈME.

lence existe bien réellement entre les deux systèmes^ car si Ton prenait les forces du second en sens contraire, sans rien changer à celles du premier, on aurait l'ensemble complet des forces qui sollicitent la portion de droite, c'est-à-dire un ensemble de forces appliquées à un corps en équilibre. Cherchons donc les conditions d'équivalence, et pour cela effectuons d'abord la composition des tensions élémentaires qui agissent dans la section CD, tensions que nous pouvons remplacer, pour chaque élément co, par les quatre forces suivantes :

Deux forces parallèles a O2, qui sont— p- et — j •,

Lé -Lj

Une force suivant le déplacement y, soit- y--^

Une force perpendiculaire au rayon p et dans le sens de la

. G (r)oy rotation x» soit — p-^-

Chacun des quatre groupes peut être composé isolément.

D'abord les tensions -^ dues à l'allongement simple, toutes

Ma

parallèles et de même sens, donnent une résultante totale S/ passant au centre d'élasticité 0 (n"" 2) et égale à leur somaie, de sorte qu'on a

(1) S^^^lEou

Le rapport entre les coefficients G et E ayant été supposé

constant (n^'SS;, les forces parallèles et de même sens— p

sont dans ce même rapport avec celles du premier groupe: elles donnent donc encore une résultante passant en 0 et égale à leur somme, et l'on a, en nommant S., l'intensité de cette résultante,

La composition des forces ^ | ' ^ i formant le quatrième

groupe, a été effectuée au n® 53, quand nous avons donné la théorie de la torsion simple : on sait qu'elles se réduisent i

RBGUERCUE GÉNÉRALE DES TENSIONS. 283

un couple contenu dans le plan CD de la section, ayant son moment M^ déterminé par l'équation

(3) M,= ^IGr.H>.

«. If. 11*1 E^i/d» . .

il ne reste plus que les tensions parallèles — —^ produites

par la flexion simple. Elles sont également réductibles à un

couple, car leur somme -pzEww est nulle, parce que u

désigne la distance positive ou négative de l'élément o) à un axe passant par le centre d'élasticité; et ce couple, en raison de la direction des forces qu'il remplace, a nécessairement son plan perpendiculaire à celui de la section. Pour le définir, cherchons la somme des moments des tensions composantes, relativement à Taxe de flexion Ow et au diamètre Ov conjugué de cette ligne dans l'ellipse centrale d'inertie de CD (/g*. 46). ''^c-46- Si l'on nomme

h' la distance de l'élément w à l'axe Oc ;

V et w ses coordonnées obliques dans le système i'0(v ;

o l'angle des deux diamètres conjugués;

la somme des moments par rapport à Oc sera j-IEwm'w,

c'est-à-dire nulle, car on a, d'après un théorème démontré au

^Ecivw = o,

ce qui entraîne aussi la nullité de 2E«w'a), parce que u et u' sont avec v et w dans le rapport constant sino ; la somme des

moments par rapport à Otv sera j- iEwz/.w ou j- }iiEz£*&>.

Cela suffit pour connaître Taxe représentatif du couple résultant : cet axe doit se trouver dans le plan CD et sa projection sur Oc et Oiv doit reproduire les deux sommes qu'on vient

*^f CHAPITRE QUATRlfeXE.

Je calculer^ ce qui exige qu*il soit dans la direction Ox perpendiculaire à Ov et qu'il ait pour longueur , ', >, IEu-oa; on aura donc, en nommant M,;, le moment du couple cherché,

(4) M^smô = ^2Ett*w.

La condition d'avoir son axe perpendiculaire à Oc peui d'ailleurs être exprimée sous une autre forme, en disant que le plan du couple résultant est perpendiculaire à la section CD et qu'il la coupe suivant une droite conjuguée de l'axe de flexion, dans l'ellipse centrale d'inertie.

En résumé, les tensions se réduisent donc aux deux forces S/ et Sj passant par le point 0, et aux deux couples M^ et Hj^.

D'un autre côté, les forces extérieures données, qui agisseoi sur le prisme entre CD et l'extrémité de droite [Jig. 4^) peuvent se réduire de la manière suivante : on transportera toutes ces forces parallèlement à elles-mêmes au point 0, et on les remplacera par la résultante de translation appliquée en 0 et par un couple. La résultante de translation sera décomposée en deux forces N et P, la première suivant Ojï, la seconde dans le plan CD ; le couple sera de même décomposé en deux couples, l'un X perpendiculaire au plan CD, l'autre V contenu dans ce plan. On pourra dire également, si l'on opère sur les axes représentatifs, que Taxe de V est suivant 0^, et Taxe de X dans le plan CD. Ces quatre quantités N, P, X, V, qui se déduisent des forces données par une suite d'opérations bien définies, peuvent être considérées comme également données pour chaque section; on va voir qu'elles sont en relation bien simple avec nos quatre inconnues /, y, vj^, x- L'équivalence des deux systèmes de forces exige, en effet, qu'ils aient même somme de projections et même somme de moments pour un axe quelconque; or il est très-facile de constater que cela n'aurait pas lieu s'il n'y avait pas égalité en grandeur, direction et sens,

i« Entre N et S/, P et S^ ;

a*» Entre X et M^, V et M^.

En remplaçant S/, S^, M^ et M^ par leurs valeurs ci-dessus

RECHBBCHE GfiNfiRALB DES TBHSIOHS.

irouvées, on déduira donc de là

,XLsind VL

On saura de plus que les translations / et y sont dans les directions respectives de N et de P, que la rotation x se fait autourde Oî [fig. 45), et enfin que la rotation ^ a lieu autour de Ow, diamètre conjugué de Ov dans l'ellipse centrale d'inertie {^^.46); celte dernière droite est connue, parce qu'elle est la trace du plan du couple X sur le plan de la seclion. Quant au sens des mouvements, on ne peut avoir aucune

mer un système équivalent a N que si la translation / a même sens que N ; de même y, '^ et x sont dans les sens respectifs de P, XsiniS et V. A l'égard de la rotation ij/, on peut donner un autre énoncé en disant que son axe représentatif, compté

suivant Oif, fait un angle aigu - — ô avec l'axe représentatif

du couple X, porté sur la perpendiculaire à Ov, car de celle maDière <!f est bien de même sens que le moment Xsin â.

Les mouvements /, y, '!^, 7. peuvent être considérés comme les effets respectifs des forces ou couples N, P. X, V, car chacun d'eux s'annule avec la cause correspondante; 11 est donc naturel de donner à ces dernières quantités des noms qui rappellent cette corrélation. La force N, produisant des tensions qui onten somme la même intensité, peut recevoir le nom de tension tolale-i le couple X, cause de la flexion 4-1 conservera les noms de couple JléchUiont, couple dejlexion, ou encore ceux de moment fléchissant, moment Ue flexion, déjà indiqués au n" 19 et emplovés dans la théorie du Chapitre 11; V sera, comme au n'* 53, le couple de ^torsion. Le glissement y finirait par amener la rupture du prisme par cisaillement s'il prenait une grandeur suffisante ; sa cause, la force P, reçoit en conséquence le nom d'effort tranchanl, que nous connaissons déjà (n° 19). On remarquera, en outre,

286 CHAPITRE QUATRIËMK.

Fanalogie des deux formuler qui donnent les grandeurs de / et de y : la quantité 26g>> joue à regard de y le même rôle que 2Eci> à l'égard de /; de même qu'on a donné à cette dernière somme le nom de ressort longitudinal, [n'* ^)9 on pourrait appeler 2G(i) ressort transversal^ parce que plus elle est grande, plus le glissement transversal est petit, et qu'elle mesure ainsi, en quelque sorte, la difQculté de produire ce genre de déformation sur tel ou tel prisme.

Après avoir déterminé les quatre mouvements simplet qui, par leur composition, donnent le mouvement relatif de la section CD par rapporta la section infiniment voisine AB [fig, 45], il ne reste qu'à substituer leurs valeurs dans les expressions que nous avons d'abord données des tensions aux divers points de CD, et l'on trouvera, de cette manière, que la tension longitudinale t de l'élément prismatique mnpq est définie par l'équation

dont chaque membre exprime la tension par unité de surface sur l'élément superficiel (o de CD; que, de son côté, la tension transversale de la même fibre mnpq (ou la tension tangentielle sur co], également rapportée à l'unité de surface, est

PG la résultante de deux forces, l'une vtt- comptée suivant la

direction et le sens de l'effort tranchant, Tautre ^-i^~

comptée perpendiculairement au rayon p, dans le sens où le

couple de torsion tend à faire tourner.

Il ne faut pas oublier que, dans la formule (6), les deux

termes doivent s'ajouter algébriquement. Pour éviter toute

erreur à ce sujet, on observera :

NE !• Que le terme ^-pr- représente toujours la tension ou

pression qui correspond à un allongement ou raccourcissement uniforme / pour toutes les fibres, et que le sens de N permet de choisir de suite entre ces deux alternatives;

^ r\ If « - KXiisind . % . ,, .

»• Que l autre terme -jg-i — correspond a des déplace-

RECUERGHE GÉNÉRALE DES TENSIONS. 287

ments qui ont des sens contraires pour deux fibres situées de pan et d'autre de Taxe Otv, autour duquel s'opère la flexion ^, et que l'une s'allonge pendant que l'autre se raccourcit; que, par conséquent, on devra décider (ce qui sera facile dans chaque cas particulier, d*après les sens connus de / et de vp) si les deux mouvements s'ajouient ou se retrancheni, pour une fibre déterminée dont on ciierche la tension t.

Si Ton convient de compter positivement la force N quand elle produit une tension, c'est-à-dire quand elle agit pour éloigner Tune de Tautre les deux portions du prisme qui se touchent par la surface commune CD; si» de plus, on compte le produit Xm positivement du côté de Otv, où la flexion tend à produire un allongement des fibres, les deux termes formant le second membre de l'équation (6) auront par là même un signe bien déterminé, et le résultat final représentera une tension proprement dite ou une pression, suivant qu'il sera positif ou négatif.

Dans le cas où, comme cela se fait ordinairement, on ne tient pas compte des variations du coefficient d'élasticité E dans une même pièce, ce nombre disparaît de la formule (6), qui devient alors, en désignant par 12 l'aire totale de CD et par I son moment d'inertie 2m^co relativement à Taxe de flexion Otv,

, , / N Xwsinâ

ou plus simplement encore, si le plan du couple de flexion X coupe celui de la section suivant un axe principal de l'ellipse

centrale d'inertie de celte section, ce qui donnerait d= -

etsmo I,

/ N Xii

Ce dernier cas est de beaucoup le plus habituel; il arrive notamment quand le prisme a un plan de symétrie contenant toutes les forces extérieures. Ce plan, qui est celui de X, coupe alors toutes les sections suivant un axe de symétrie; cet axe passe au centre d'élasticité, et il y est axe principal d'inertie

288 CHAPITRE QUITRIÈMB.

(n'' 22, c). La condilion qui rend sind égal à i se trouve donc remplie.

Les théories partielles que nous avons données dans les trois premiers Chapitres peuvent être considérées comme des cas particuliers de celle qu'on vient d'exposer, car on les retrouve en supposant nulles qu>3lques*unes des quantités N» Py Xy V. Quand la force N subsiste seule, on est dans le cas de l'extension simple, et les formules des n^* 1 et 2 sont bien reproduites par la première équation (S), ainsi que par les formules (6), (7) et (8), dans lesquelles on ferait X = o; si le couple V subsistait seul, on retrouverait de même les formules de la torsion simple (n® 53). Avec la coexistence deN etdeX, à l'exclusion de P et de V, on aurait la question traitée au § II du Chapitre III, qui recevrait ici une solution identique. Enfin, quand on a seulement l'effort tranchant P et le moment fléchissant X, ce qui se réalise dans le cas des poutres telles qu'on les a étudiées au Chapitre II, la formule (8) donne

valeur qui a été trouvée au n^ 19, en supposant la section

homogène et faisant, quant à sa forme, une hypothèse qui

rendait sind égal à i. Hais il faut remarquer cependant que

la théorie actuelle conduirait, dans ce même problème des

poutres chargées transversalement suivant les conditions du