I. 3* édit

plan CD; donc 1° rallongement de la fibre mnpq sera la somme algébrique de

et, par suite, sa tension longitudinale, produit de Tallongement par le facteur - — ? sera la somme algébrique des tensions

Er.)/' Eo)w'^' Ew/' E(ùu''Y

L"' L ' ir' — L"' • •'

2° le glissement transversal de l'élément co de CD sera de même la résultante des glissements

et la tension transversale sur cet élément résultera de la composition des tensions partielles

Gwy' ^'^'W/ ^j^'»y'' ^^'PX L L L L

On voit dès lors que rensemblc des tensions sur la surface CD comprend tous les groupes qui nous avaient donné les résultantes ou couples résultants partiels

Donc on peut déjà dire que, si Ton donne à CD, relativement à AB supposée fixe, un mouvement obtenu par la composition de ceux que produiraient (S'), (S"), . . ., agissant isolément, les tensions correspondant à ce mouvement composé seront équivalentes au système formé de la réunion de (S', S", . . .;, soit au système (S), car (S') pourrait s'obtenir par la composition de N', P', X', V, (S' ( par la composition deN', P", X%V", ....

D'un autre côté, la condition d'équivalence entre les tensions et les forces extérieures suffit, comme le montre la théorie du n** 6i, pour déterminer le mouvement que ces forces font prendre à CD par rapport à AB; donc, puisqu'elle est remplie à l'égard de (S) par les tensions dues au mouvement composé dont on vient de parler, ce mouvement doit

RECHERCHE GfiNÉRALB DES TENSIONS.

agi

bien êire identique avec celui que produirait le système (S). Le théorème énoncé se trouve donc établi maintenant.

C6. Vérification de la stabilité d'un prisme soumis à des forces quelconques. — Après avoir déterminé, comme il est dit au n*' 6^, les tensions longitudinales et transversales par unité de surface, on devra s'assurer que, en aucun point du prisme, ces tensions ne dépassent les limites indiquées par l'expérience comme compatibles avec la conservation indéfinie de la matière dont le prisme est formé. Provisoirement et en attendant des données expérimentales plus complètes et plus précises, on pourra regarder ces limites comme égales à celles qu'on a indiquées dans les Chapitres précédents pour les tensions de môme nature.

§ II. — Extension de la théorie précédente à des corps non rigoureusement prismatiques.

67. Forme d'une pièce droite ou courbe dans son état primitif. Fibre moyenne. Fibre élémentaire, — Il faut d'abord déûnir d'une manière précise la forme des corps dont nous avons à nous occuper, alors qu'ils sont dans leur état primitif , c'est-à-dire dans un état idéal et purement abstrait où aucune force, pas même la pesanteur, n'agirait sur eux, en sorte que la tension des fibres serait nulle dans toutes les parties. Pour cela, prenons une ligne AB quelconque [fig. 4?) supposée sans jarrets ni points multiples, et n'ayant dans son étendue qu'une faible torsion qui ne la fait pas beaucoup différer d'une courbe plane; imaginons la série de ses plans normaux et traçons dans chacun d'eux une aire assujettie aux conditions

suivantes: i" d'avoir son centre d'élasticité sur la courbe AB; 2° d'avoir, parallèlement au plan osculateur de AB, des dimen-

sions petites en comparaison du rayon de courbure de celte courbe; 3*» de varier dans sa forme d'une manière continue et lente, en sorte que, si Ton passe du plan normal CD à un plan normal C"D" assez distant du premier pour que MM" soit une fraction notable de la longueur AB, les aires tracées dans ces deux plans soient assez peu différentes ei se trouvent placées à peu pn>s de la même manière relativement aux plans osculateurs en M et M". Le solide ainsi engendré, s'il est matérialisé et soustrait à toute force, constituera une pièce droite ou courbe dans son état primitif.

La courbe AB recevra le nom éejibre moyenne de la pièce. Nous appellerons fibre élémentaire le volume engendré par un élément superficiel de Taire mobile pendant une fraction infiniment petite de son parcours. Comme pour les prismes, ces dénominations n'ont qu'un sens purement géométrique ei ne supposent rien de particulier relativement à la constitution de la matière.

68. Conséquence de la définition d'une pièce. — Ainsi qu'on vient de le voir, dans la définition que nous avons donnée d'une pièce, nous n'avons pas exclu le cas d'une fibre moyenne à double courbure, ni celui des changements d'étendue et de figure de la section transversale, ni enfin le cas d'un arc engendré par une aire qui, pendant son mouvement le long de la ligne directrice, ne tournerait pas simplement autour des intersections successives des plans normaux inûniinent voisins, mais encore autour des tangentes à la courbe AB, de manière à constituer une espèce de solide tordu. Toutefois, ces divers écarts devront être renfermés dans de justes limites et ne pas s'opérer avec rapidité. Lorsque cette condition sera remplie, la partie de la pièce comprise entre deux sections infiniment voisines, normales à la fibre moyenne, pourra évidemment être considérée comme très-peu différente d'un prisme droit. Toutes les fibres élémentaires dont elle se compose s'écartent très-peu, en effet,^d'elre engendrées par une aire constante qui se déplace avec un mouvement de translation suivant la normale à son plan; de plus, tous ces petits prismes droits auront sensiblement même longueur, car la plus grande dimension de la section totale» mesurée parallè-

RECHERCHE GÉNÉRALE DES TENSIONS. 2g3

lement au plan osculateur de la fibre moyenne, est petite par rapport au rayon de courbure (n**67); hypothèse d'où il résulte que la différence entre la plus grande et la plus petite des longueurs dont il s'agit est elle-même une petite fraction de Télément de fibre moyenne compris entre les deux sections normales qui le terminent.

69. Détermination de la tension en un point quelconque de la pièce^ quand toutes les forces extérieures sont connues, — Comme on peut le pressentir d'après les considérations présentées au n** 68, ce problème se ramène sans difficulté à celui qui a été résolu au n** 64. Considérons, en effet, la portion de la pièce comprise entre deux plans normaux CD, C D' [Jig* 47 ) très-voisins Tun de l'autre, mais d'ailleurs quelconques; elle peut être assimilée à un prisme droit dont toutes les fibres élémentaires auraient la longueur MM' (n° 68). Ce prisme reste en équilibre sous l'action des forces extérieures qui lui sont directement appliquées et des réactions qu'il reçoit dans les plans CD, CD', de la part des molécules voisines de ces plans; or les réactions qui s'exercent en CD' constituent nécessairement un système de forces équivalent aux forces extérieures appliquées entre CD' et l'extrémité B, puisque la partie M'B reste aussi en équilibre; il en résulte que le prisme CDCD' éprouve, dans sa base CD, des actions moléculaires capables de faire équilibre à toutes les forces extérieures qui sollicitent la pièce entre le point M et l'extrémité B. On pourra donc appliquer, pour trouver l'intensité et la nature de ces actions, la méthode développée au n** 64, pourvu que la nature particulière de la question ne rende pas inadmissibles les hypothèses sur lesquelles elle est fondée.

70. Observation sur l'étendue de la déformation. — A la vérité, pour appliquer cette méthode, il faut avoir à sa disposition les quantités que nous avons désignées d'une manière générale par N, P, X, V, au n*» 64, ce qui exige qu'on donne, outre l'intensité et la direction de chaque force, la position exacte de son point d'application; il semble donc que l'on devrait connaître la figure d'équilibre affectée par la pièce dans son état définitif, après la déformation, tandis qu'on ne connaît

aC>i GHAPITRB QUATRIÈME.

orUinairomeiU que la figure dans Tétat primitif. Mais, dans toutes les constructions jouissant d'une certaine stabilité, ces deux Uguros sont généralement très-peu différentes Tune de Tiiulro. En elVet> des forces suffisantes pour altérer par leur ttciion permanente l'élasticité de la matière ne produisent encore que do^ allongements ou raccourcissements très-petits, et il on est de même des variations de la température atmos[»heriqae. Par exemple, s'il s'agit du fer, on sait que, sous un<? traelion de ?.o^« par millimètre carré, un prisme de fer ne s'allonge que de 0,001 de sa longueur primitive, et il est bien laie que dans les constructions on atteigne cette limite. De nuMue. une variation de température de 3o°, relativement à la température initiale, ne produirait qu'une dilatation ou contraction de o'",ooo366 par mètre de longueur. Pour d'autres matières que le fer, les chiflVcs changeraient, mais les conclusions resteraient les mêmes. Par conséquent, chaque ûbre élémentaire variant très-peu en longueur, il est assez naturel d'admettre que la pièce elle-même ne se déformera pas beaucoup.

Toutefois, nous ne chercherons pas à dissimuler que ce rai. sonnement n'est pas entièrement rigoureux. Si l'on considère une pièce très-grande, de petits changements de longueur de toutes les fibres élémentaires peuvent, en s'accumulant, produire des elfets sensibles sur la forme générale du corps. Mais alors, pour ne pas nous engager dans des calculs que personne n'a tentés jusqu'à présent, nous serons forcé de comprendre le fait dont il s'agit parmi les données et hypothèses de la question ; le raisonnement que nous avons fait aura du moins pour résultat de montrer que cette hypothèse est plausible et qu'elle doit, en elîel, se vérifier dans la plupart des cas. En conséquence, nous admettons que la pièce déformée diffère infiniment peu, quant aux dimensions et à la position, de ce qu'elle était dans son état primitif. Dès lors, il n'y aura aucune difficulté pour calculer ou construire géométriquement les quantités N, P, X, V par les méthodes que nous allons maintenant indiquer.

71. Calcul des quantités N, P, X, V en fonction des forces extérieures, dans le cas le plus général. — Prenons un point

REGHERGHB GÉNÉRALE DES TENSIONS. 205

quelconque M sur la fibre moyenne MoM„ d'une pièce [Jig. 48); la direction de la tangente en M à la courbe M«M„ sera connue au moyen de deux équations qui doivent exister entre les

coordonnées x^y-y z du point M relativement aux axes rectangulaires Oxy Oj, Oz, et on peut la regarder comme définie

, . dx dy- dz . , , ,, r ..

par les cosinus ;7~' ^' ' t" des angles qu elle fait avec ces

axes. Imaginons ensuite par le point M des axes parallèles ilx', Mj', Mz', et supposons qu'on ait calculé, pour le système (S) de forces extérieures appliquées depuis la section M jusqu'à l'extrémité M„, i° les sommes de projections A, B, C sur Ma?', My, Mz', 2° les sommes de moments H, K, L relativement aux mêmes droites. Ces six quantités A, B, C, H, K, L

dx dy dz étant considérées, ainsi que -7-? ,7 -,--> comme des don-

^ ds ds ds

nées immédiates, voici les calculs par lesquels on en déduira

La force N représente (n® 6i) la somme des projections du

système (S) sur la tangente en M à la fibre moyenne; or ce

système a une résultante de translation dont A, B, C sont les

composantes; donc

N=:Acos(N,a;') -+- Bcos;N, v') -hCcos^N,^') dx

ds

ds ds

Maintenant, si Ton compose N avec P, on doit obtenir la ré-

ag6 CHAPITRB QUATRIÈHB.

sullnnlo de A, B, C, el, par conséquent, P est la résullanie do A, B, C et de — N, ce qui donne, pour les trois composâmes de P suivant les axes,

as

as

Tn procédé tout à fait semblable peut être employé pour los moments V et X. L'axe du moment résultant du système (S) relativement au point M étant la résultante de trois lignes H, K, L, portées suivant M^', Mj', Mz', on aura d*abord, par la projection de cet axe sur la direction de N,

puis on remarquera que Taxe de X est la résultante de H, K, L et — V, d'où Ton déduira les trois projections