X.^II-V
as
ils
72. Cas particulier où toutes les forces extérieures sont dans un même plan avec lajibre moy^enne. — Si Ton prend ce plan pour plan des arj, on aura constamment
. z O, Ci=:0, lî =: O, K— O;
lis ces valeurs, introduites dans les équations (i), (2), (3) et (4)
IHB GËNËRILB DES
da 11° 71, donnent
1 as as
(5) / as tls\ as as J
1 P, = o, V=o, X, =o, Xj^o, X.= X^- L.
La force P, dont les deux composanle!) sonl P, ei P,, a pour valeur
(is lis
elle est estimée suivant la ligne joignant le point M au centre de courbure de la courbe MoM, {^g. 48). En résumé, on a donc les deux forces N et P, définies en grandeur par les équations [5) et (6) et dirigées, la première suivant la tangente, la seconde comme on vient de le dire; le couple de torsion disparaît; le moment fléchissant n'estautre chose que la somme des moments du système [S) relativement au point M.
Ces résultais s'établissent directement avec la plus grande Tacilité, sans passer par la considération du cas général étudié au n" 71.
En nous bornant au cas particulier actuel, nous démontrerons encore des relations générales i|iii exislcnt enire les trois quantités N, P, X. Considérons sur îa fibre moyenne de la pièce un élément MM' [Jig. 49) de longueur ds; la portion de pièce terminée aux deux sections faites en M et en M' sera soumise aux forces extérieures suivantes :
1° Aux forces directement appliquées dans l'intervalle des sections M et M'; nous admettons qu'elles soient réduites à deux composantes aids, Wfds suivant ta tangente et le rayon de courbure, et à un couple fjds, ce qui suppose l'absence de toute force finie dans l'intervalle cousidéré;
1" Aux réactions exercées dans les deux sections, lesquelles seront équivalentes, dans la section M, aux deux forces com-
^9^ CHAPITRE QUlTRlBll.
posnmos N Cl P et au couple X; dans la section M', à ces unîmes Torccs et couple changes de sens et augmentés de leur dilTôroniiollo.
Fie- 49-
I,i> système de ces forces doit être en équilibre; on pourra .loni' l'jîJiler à zéro la somme de leurs projections sur N-i-rfN l'i Ph */I', Cl la somme de leurs moments relativement au (uiinl M', ce qui fournira trois conditions d'équilibre nécessaires et suffisantes. En observant que l'angle infiniment peiit dos tangenies ou des normales en M et en M' est égal au tis P bure p de la fibre moyenne, on aura ainsi, i petits du second ordre près,
19) (/\— l'ds -!- ads =0.
L'intégralion de ces équations dilTéreniî elles simulunées pourrait donner N, P, X entre deux sections quelconques, dans l'intervalle desquelles n'existeraient que des forces à répartition conlinue; mais il est rare que ce moyen offre pratiquement quelque avantage et qu'un calcul direct ne soit pas préférable. Cependant le contraire peularriver; si, par exemple, on a pu obtenir simplcineni P en fonction de s, on voit que l'équation (8) donnerait N par une dérivation et que l'équalion (ri) donnerait X par une quadrature.
On remarquera que l'équation (9) n'est autre chose qu'une ^éjiérulisalion de l'équation (i3) du n° 2k,
hegherchb générale des tensions.
L'éliminalion de Vds entre (7) et (9) permet d'établir aussi une relation entre X cl N, savoir
r/iN
— l USt
^ ] ds -- G.
Dans le cas d'une fibre moyenne circulaire, p est constant, et la dernière équation peut alors prendre la forme assez remarquable
N \ xDids / uds-- consi.
73. Suite du même cas particulier : solution graphique. Tracé de la courbe des pressions. — On suppose toujours, comme au n** 72, la fibre moyenne située dans un plan et les forces extérieures réductibles, pour la portion de pièce comprise entre deux sections quelconques, à des forces contenues dans ce même plan. Si Ton considère alors une section arbitraire, telle que C3D3 {Jig. 5o), on sait que les actions niolécu-
Fig. 5o.
laires développées dans cette section doivent faire équilibre aux forces extérieures qui agissent entre le point M, et Textréraité Mo, c'est-à-dire à la résultante de ces forces. Pour appliquer immédiatement la théorie du n° 6^, tout se réduit à trouver cette résultante; c'est à quoi Ton parviendra facilement en procédant comme il suit.
Après avoir partagé la fibre moyenne MoM,. en intervalles égaux ou inégaux MoM,, M, M,, M3M3, ..., auxquels correspondent les sections normales CoDo, C,D,, C2I),, C3D3, .•>
3oO CHAPITRE QUATBItlE.
supposons qu'on ail pu facilcmenl réduire à une seule force loules celles qui agissent entre deux sections conséculiveset qu'on pil obtenu de cette manière les forces F,, F,, F„ F., ... ; supposons de plus que dans la section extrême C.D, (mais non pas nécessairement au centre d'élasticité M.) agisse la force K,. On mènera par un point 0 arbitraire la ligne OR, parallèle et proportionnelle à la force R„ et dans le même sens; par le point R, on mènera R.R, parallèle à la force F,, et l'on prendra la longueur îl.U, proportionnelle à cette force el de même sens. On continuera de la même manière à construire le polygone RjRiRiRi--., dont les côtés successifs représentent en intensité, en direction, en sens et aussi dans leur ordre, les forces F,, Fi, F„ Les propriélés bien connues du iiol.vgone des forcus montrent immédiatement que les lignes OKj, Oit,, ÔRi, . . . représentent à la même échelle, en intensité, direction et sens, les forces totales qui agissent respectivement sur ies sections C«D„ CD,, C7D:, ....
Il est nécessaire d'avoir non-seulement chaque résultante en grandeur, direction et sens, mais d'avoir aussi sa position réelle dans le plan. Or rien n'est plus facile, quand la construction précédente est effectuée. Par le point K,, où la première résultante R^ coupe la première force F,, on mènera K,K, parallèlement à OR,; celte ligne K^K, coïncidera avec la position vériloble do la seconde résultante OR,, car cette résullante doit passer par le point de rencontre de R, et de F,. De même, par le point K,, où la résultante dirigée suivant K,K, coupe la seconde force F„ on mènera K,Ki parallèle à OR,, jusqu'à la rencontre de Fj, puis par K, la parallèle K,Kj à 0B„ et ainsi de suite. Les difTércnts côtés du polygone ainsi formé ne seront autre chose que les résultantes successives rétablies dans leur position véritable, et, puisque l'on en connaît la grandeur et le sens, elles seront entièrement connues.
On déduira donc aisément de là le centre de tension dans une section quelconque. En effet, ce point est l'intersection de la résultante qui correspond à la section dont il s'agit, avec 11' pkiii lie cette section; ainsi, pour la section CiDi, on aura le cL:iiire H, déterminé par la rencontre de la résulunie Ri, lUrifii'c ^iuivant K^K. avec la trace CD, du pian de la section sur 11' |i!:jii de la fibre moyenne, qui est en même temps celui
BECHERCHB GÉNÊRALB DES TENSIONS. 3oi
de la Ggure. On aurait d'une manière semblable les auires centres de tension M., H,, H,, Hj, ..., dont le lieu géométrique constitue ce qu'on appelle communément la courbe des pressions. 11 n'est peut-être pas sans utilité de faire remarquer que, si les forces Ri, F,, F3, . . . ne provenaient pas d'une charge répartie d'une manière continue sur la longueur de la pièce, et si dans une section, telle que C3D2 par exemple, agissait une force finie qui ne se subdivisât pas en une infinité d,e forces élémentaires distribuées sur une certaine étendue à droite et à gauche de C,D., alors la courbe des pressions présenterait une discontinuité. On aurait d'abord une première branche, telle que MoHiII,; puis, la dernière résultante se combinant avec la force isolée qui agit en un point de CaD,, le centre de tension passerait brusquement de H, en un autre point H'a, d'où partirait une seconde branche de courbe continue, allant jusqu'à une autre section dans laquelle une nouvelle force finie produirait une nouvelle discontinuité.
Quand on aura trouvé les diverses résultantes, pour faire le calcul des tensions dans une section quelconque, telle que C3D, par exemple, on projettera R3 sur la tangente en M3 et sur la normale au même point. Cela donnerait, pour la section dont il s'agit, les quantités désignées par N et P; V serait nul et X égal au moment de K3 relativement à M3. On aurait ainsi les éléments nécessaires pour appliquer la méthode générale du n° 64; le calcul numérique des tensions s'achèverait alors sans difficulté, comme on le verra bientôt par un exemple.
74. Restrictions que doit éprouver la théorie générale dans certains cas exceptionnels. — Il y a des cas dans lesquels les hypothèses énoncées au n** 64, sur lesquelles repose l'évaluation des forces moléculaires, sont a priori entièrement dénuées de vraisemblance. Par exemple, si une colonne mince en métal, supportant un poids à sa partie supérieure, s'appuie sur un large socle en pierre, on pourrait, par les formules que nous avons données, déterminer la pression en chaque point d'une section quelconque de la colonne; mais il ne conviendrait pas de les appliquer à la recherche des pressions sur la surface supérieure du socle. On Comprend, en effet, que, par
303 CHAPITRE QUITBIÈIIB.
l'effel de la déformation, celle surface ne doil pas resler plane, comme nous l'avons supposé, mais qu'il doil se produire une certaine dépression aux environs des points qui reçoivent directement l'action de la colonne. Mais on conçoit aussi que cet elTet doit èlre local, et qu'il doit tendre à s'effacer de plus en plus à mesure que l'on s'éloigne du point où il se produit. Ainsi on ne devrait faire usage des formules que pour étudier la manière dont se rcparlil la pression dans une section du socle, prise à une distance suffisamment grande de la surface supérieure.
En général, une exception analogue aura lieu pour tous les points des pièces prismatiques où seraient directement applin liées des forces considérables; mais, en même temps, on sait que ces points sont ordinairement renforcés par un excédant de malière, dont les constructeurs comprennent parfaitement la nécessité. Par conséquent, il n'y a pas trop à se préoccuper de ce qui se passe dans ces circonstances exceptionnelles, car elles ont peu d'inHuence sur la résistance générale de U pièce. Nous avons voulu seulement, par les observations qui précèdent, mettre le lecteur en garde contre une extension trop grande qu'il serait peut-être tenté de donner aux formules : il convient toujours de se rappeler les hypothèses fondamentales, et d'examiner, dans chaque application, jusqu'à quel point elles sont susceptibles d'être vérifiées, sans quoi l'on s'exposerait à des mécomptes fâcheux, dont la théorie ne devrait pas, équitablement, être rendue responsable-
75. Exemple numérique 'le la lUtermmation des tensions. — Nous allons montriT par un exemple l'application do la théorie générale dn n" GO. Cet exemple se rapporte à un projet do pont qui avait été tait pour la ville de Brest, par M. Tritschler, architecte. Le pont devait ètr« soutenu par deux arcs en tolc à fibre moyenne circulaire, placés en amoDl et en aval. L'cnsemblo de ces deux arcs présentait une section rectangulaire do 3" de hauteur sur une largeur réduite o'°,o48 (') ; ce nombre, plu» petit que la largeur réelle, tient compte, par aperçu, des évidements qui élaieiil pr*tiqu<''i dans la tôle. 1,05 arcs présentaient drnc une section de
(') Suis n'uiilcmlons pas donner lrùs-ri(;ouieuscment Ici lei nombrea dn pruji'l', il s'ngit simplcDicntd'un exemplo d'application de la théorie.
RECHERCHE GÉNÉRALE DES TENSIONS
144000""** que nous regarderons comme homogène, et qui, en conséquence, devait avoir par rapport à l'horizontale du centre de gravité un
rayon de gyralion égal à 4 /—• 3' (n° 22, /), soit à iy^. La fibre
moyenne était un arc de cercle de 55™ de rayon et 40" de flèche, d'où l'on conclut aisément que la ligne des naissances, ou la corde, avait pour longueur loS^jSS; la fibre moyenne et sa corde étaient supposées dans un même plan vertical divisant toutes les sections en deux parties symétriques.
La charge n'était pas répartie d'une manière tout à fait uniforme. En prenant de part et d'autre de la verticale BG du centre [fig. 5i) une longueur horizontale de 20'", la partie AC, ayant ainsi 40"" de longueur en projection sur la corde, était chargée à raison de 3 100''^ par mètre courant projeté, soit en tout de 124000''^. Le surplus de la pièce supportait 11 iSo*^^ par mètre courant de projection horizontale , en tout 734000''^ environ. Ces poids sont censés comprendre le poids propre de l'arc, et on les regarde comme appliqués à la fibre moyenne elle-même. Enfin, des calculs que nous ne pouvons pas encore exposer maintenant ont fait connaître que la réaction de chacun des points d'appui D et E devait, sous les charges indiquées et avec une certaine variation de température, être équivalente aux forces suivantes :
429000''^, suivant la verticale, de bas en haut; 214400''^, suivant l'horizontale, en allant de chaque naissance vers la verticale du milieu do l'arc.
Considérons une section normale passant au point K, choisi arbitrairement. Appelons
p le rayon de l'arc ;
p le poids par mètre courant projeté, appliqué sur BC;
p' la quantité analogue pour la partie CE ;
a l'angle BOK ;
<? le demi-angle au centre de l'arc, angle qui a pour sinus le rap-
. GË
port -^:z-;
BO X, / les coordonnées de K par rapport aux axes Gx, G/; S, Q les composantes verticale et horizontale de la réaction exercée en E
par l'appui;
a, /, b les distances GÉ , GB , GH ;
N la somme des projections sur la tangente en K des forces qui agissent
entre K et E, ces projections étant prises positivement ou négative-
3o4 CHAPITRE QUATRlftHI.
m«^nL suivant quVlU^ vont dans le sens de K vers E ou en sens con-
tra.ro, c'est ->à-iiirc suivant qu'elles agissent pour étendre ou comprimer
)«>s t.brots aux environs de la section faite en K; r h s^^mmo des projivtions des forces sur le rayon OK, prises positive-
nienl ^ians le sen> KO; X k sor.-ime dos moments des mûmes forces par rapport au point K,
1%". ru:t*o en prenant pour sens positif des moments le sens de ceux qui
ten.îent a î«î.re tourner de G.r vers G y,
S. .0 iV^.nî K est d'abord pris entre B et C, on aura
>v ; / - .r sina H-y.>'(rt — ^) sina — Qcosa — Ssina,
p . ,*' — .r) COSa -t-/>'(^/ — Z>) COSx -H Qsina — Scosa,
N (/^ — p) (^^ ~~ '^) sina -i- p'{a — jc) sina — Qcosa— Ssina, P - . (/; —p') [b — .r)cosa -^ p' [a— .r)cosa-i- Qsina — Scosa,
