I. 3* édit

3oG GBAPITRE QUATRIÈMB.

nous pourrons donc écrire :

Pour roxtrados - — — - ( N — 2X)

Pour rinlrados - — , , (N -+- ^iX).

l/unilô do forvv i>U\nl le kilogramme et l'unilé de surface le mètre carré, ot\< IvM'uuilos domiorviiont des tensions exprimées en kilogrammes par moUv oanv. pour les avoir en kilogrammes par millimètre carré, ce qui e*J plus voufonne à l'usiige ordinaire, il suffit de diviser par 10' ou de ivuip\u*or o.i.i» par 144000. On n'oubliera pas d'ailleurs que les tenviv»n^ uMt ;iUulinales négatives représentent en réalité des pressions. NouM lo l'vibleau des résultats numériques relatifs à douze sections:

RECHERCHE GÉNÉRALE DES TENSIONS

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3o8 CflAPITKE Qlt«TKl6XE. — HECHERCBE GËnÉSALB DES TEHSIOMS.

Comme on le voii, [vi tensioDsqui snilicitent les Bbres au glissement IrSDSkcrsal sont assez faibles comparativement aux tensioDS longitudinales : la résiïtJnce du fer au\ unes et aux autres étant à peu près la nu^me, on voit qu'il n'y aurait pas eu dans cet exemple d'erreur bien notable à suivre l'usa^'e assoi généralement reçu de négliger les tensions trans\ersales.

Les tensions longitudinales à l'eitrados, à l'inlrados et snr la fibre moyenne sont n'présentées graphiquement par la Jîg. 52 ; les abscisses

Fie. 52.

(les courbes sont proportionnelles aux valeurs do a, et les ordonnées sont propoilioniielles aux videurs de ces tensions.

7fi. Conilusion de ce Chapitre. — Le premier des trois ^raiiiis [irohlèines énoncés dans l'Inlioduclîon du Cours peut .'irc niaiiilL'iiant considéré comme résolu pour une classe de jiii'ci'S droilPs oit courbes, dont l;i dérmiiion de forme [n°67; l'si a-îsci! iiii'fîL' pour comprendre toutes les grandes pièces (■ni|>liiv<''('s djns les constructions. La solution s'étend imméiliiiii'iiii'nt à un sjslème constitué par la réunion d'un nombre mii-lciMii|iii' de CCS pièces, car il suffit pour cela de prendre I MiiiMii' inconnues auxiliaires les réactions mutuelles qui ^iM-ricutdans les assemblages du système. Mais la recherche ili' ces inconnues sera sotivent un problème d'une grande difliriilié, qui exige ordinairement, comme nous l'avons déjà dit, l'élude des déformations produites sur une pièce par l'action de forces données. Ces questions rentrent dans le second et Ir tniisième des |iroblémes généraux; elles formeront l'objet du Cbapitre suivant.

FORMULES DE LA DÉFORMATION; CONSÉQUENCES. Sog

FORMULES GÉNÉRALES POUR DÉTERMINER LA DÉFORMATION d'uNE PIÈCE DROITE OU COURBE SOUS l'aCTION DE FORCES DONNÉES. — RECHERCHE DES FORCES INCON*NUES. — THÉORÈMES SUR LA COMPOSITION DES EFFETS DUS A DIVERSES CAUSES. — MOUVEMENTS VIBRATOIRES DES PIECES ÉLAS- TIQUES.

§ I. — Calcul de la déformation d'une pièce sous Taction

de forces connues.

77. Lemme relatif aux déplacements des différents points d'un système invariable. — Ou sait que le déplacement élémentaire d'un système invariable peut toujours être obtenu au moyen de trois translations parallèles à trois axes coordonnés et de ^*^' ^^' trois rotations autour des mêmes axes.

Soient a, 6, c les trois translations respectivement parallèles aux axes rectangulaires OÇ, O13, OÇ (/s^. 53); m, n, p les trois rotations autour des mêmes axes. Ces six mouvements étant tous infiniment petits, il s'agit d'avoir l'expression analytique du déplacement d'un point A quelconque du système, en fonction de ses coordonnées ;, t., t, ^

A cet effet, on remarquera d'abord que le déplacement AA' du point A est la ligne qui ferme le polygone obtenu en portant bout à bout les six déplacements composants, chacun avec sa direction propre. Donc la projection de AA' sur un axe quelconque est égale à la somme algébrique des projections des déplacements dus aux trois translations et aux trois rotations. Cherchons donc la projection du déplacement dû à une rotation, par exemple à n, qui se fait autour de 0^:. Soit OM la projection de OA sur le plan des Ç;; la rotation n toute

3lO CHAPITRE CINQUIÈME.

seule, si elle avait lieu de 0^ vers Og, ferait décrire au poini A un petit élément circulaire de rayon OM, perpendiculaire à cette ligne, ayant le sens de M à P, et contenu dans un plan parallèle au plan des Ç;. Sa longueur serait nOM, et ses projections auraient pour valeurs, savoir :

Sur l'axe des H. . . «ÔAlcosMOî; ou bien nt.

Sur Taxe des n -^ o

Sur Taxe dos ?.. . — /'ÔM cosMO; ou bien —ne

De la même manière on trouverait les projections des déplacements dus à m et p, qui sont respectivement :

Pour ///... o, — //l'C, m ri

Pour />» . . . — /^r,, y^;, o.

Réunissant maintenant toutes les projections sur un même axe et nommant AÇ, Ar,, aç les variations des coordonnées du point A, on aura TelTet total des six mouvements composants, exprimé par les équations

Ar, zz^ h -h pc, — mil, A!^ =z c -r- nir, — n^.

Pour la généralité de ces formules, il ne faut pas oublier que les translations a, 6, c, aussi bien que les rotations m, n,/?, doivent prendre le signe -f- ou le signe —, suivant les cas. Les translations sont positives quand elles ont lieu dans le sens positif des axes coordonnés qui leur sont parallèles; une rotation autour de Oî; est positive quand elle amènerait la portion positive de l'axe 0; sur la portion positive de Taxe Orr, de même le sens positif pour les rotations autour de 0? sera de On vers 0?, et pour les rotations autour de On celui de 0^ versO^ {'\

C) Four qu'une rutation positive autour d'un des axes de coordonnées soit représentée par une Uquc comptée dans le sens positif de cet axe, il est nécessaire, avec la dispDsilion de la /îf(. 53, de changer la convention ordinairement suivie à l'tgard des axes représentatifs. IVous imaginerons un spectateur placé en O et regardant suivant la droite qui représente la rotation : ce sera pour un spectateur ainsi placé que la rotation devra s'effectuer dans le sens dos aiguilles d'une montre. La môme règle sera supposée suivie pour les axes représentatifs des couples ou moments.

FORMULES DE Lk DÉFORMATION; CONSÉQUENCES. 3ll

78. Réduction du problème qui fait l'objet de ce paragraphe à une composition de mouvements, — Soit une pièce dont la fibre moyenne est GoG„ (Jig. 54); CoDo, CiD,, CDj, ...» C,D„

Fig. 5^.

les sections transversales successives, déterminées par des plans normaux très-voisins les uns des autres. Le volume infiniment petit compris entre deux sections consécutives C,D/, C,v,D,lhi peut être considéré (n° 68) comme un prisme, et Ton connaît le système de forces auxquelles doivent faire équilibre les tensions développées dans les éléments de fibre qui traversent C,D,; ces forces sont toutes celles qui agissent sur la pièce entre C/D, et l'extrémité C«D„. On pourra donc, en procédant comme au n** 6^*, trouver les deux translations et les deux rotations que C/^,D/^, prend relalivement à C,D|.

Cela posé, imaginons que Ton connaisse le mouvement absolu pris par une section initiale CoD». Le mouvement absolu de CD, se composera du mouvement de CD, relativement à C,Do (qu'on sait calculer) et du mouvement absolu de CD,; de même, connaissant le mouvement absolu de CD,, on passerait à celui de CD., et ainsi de suite. On verrait ainsi que, pour une section quelconque CD, le mouvement absolu résulte de la composition du mouvement absolu de C„Do avec tous les mouvements relatifs des groupes de deux sections infiniment voisines qu'on peut imaginer enire CoD, et CD. Donc le déplacement du point G résultera de la composition des déplacements dus à tous ces mouvements, considérés chacun à part; en projection sur un axe, ce déplacement sera la somme algé-

3l3 CHAPITRE CINQUIÈMB.

brique des projections obtenues en prenant isolément chaque mouvement partiel.

Il est clair maintenant que la méthode du n*" 77 sera appli* cable pour trouver les déplacements de G parallèlement à trois axes coordonnés, dus à chaque mouvement composant, pourvu que chacun de ces mouvements ait subi la décomposition que suppose ladite méthode. On conçoit donc sans peine la marche à suivre pour trouver les variations des trois coordonnées de G. Avant de rechercher les formules qui les représentent, nous allons encore exposer quelques observations générales.

79. Construction géométrique approximative de la fibre moyenne déformée, — Si Ton pouvait construire géométriquement les lignes représentatives du mouvement résultant d'une section normale quelconque CD [fig. 54), il serait aisé d'en déduire le déplacement du point G. Or, comme on vient de le voir, le mouvement de Cl) s'obtient par la composition du mouvement de la section initiale CoDo avec tous les mouvements relatifs des groupes de deux sections infiniment voisines entre CoDo cl CD. Ces mouvements relatifs, en nombre infini, ne peuvent pas en général être composés rigoureusement par des constructions géométriques. Maison éludera la difficulté en partageant Tinlervalle GoG par des plans normaux suffisamment rapprochés, en nombre fini, et traitant chaque portion de pièce comprise entre deux de ces plans consécutifs comme un élément de longueur inlîniment petite. De cette manière, le mouvement de la section CD résulterait de la composition de mouvements en nombre fini, opération susceptible de s'effectuer géométriquement (*).