Remarque sur la position définitive des sections non

(') L'idée de cette recherche des dciormalions par une compositioD de mou» vcments a été énoncée et mise en œuvre, au moyen de constructions géométriques, vers le commenceracut de l'année i855, par M. de Saint-Dridan, jeune ingénieur très-distin(;ué, auquel une mort prématurée n'a guère laissé le temps de se faire connaître. C'est en développant la même idée par le calcul que nous avons pu donner une démonstration simple des formules génér&les du n" 85, auxquelles d'autres auteurs étaient déjà parvenus par des Toies beaucoup moins faciles.

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FOUMULES DE LA DÉFORMATION; CONSÉQUKNCES. 3li

maies. — On peut se demander si les sections primiiivemeni normales à la fibre moyenne le sont encore après la déformalion. Pour répondre à celle question, on remplacera d'abord la fibre moyenne par un polygone infinitésimal GoG,G3G3G4. . . ifig' 55). Tant que la section C^D,» par exemple, n'aura relativement à la section infini- ^. ,^ ment voisme G, D, que les mouvements qui constituent \^ « rallongement simple, la nF» ^j^ flexion et la torsion, il est ^^ />> \". clair que le point G, se dé- gX ' ' placera par rapport à C,D, |^^ en restant sur la direction

de l'élément G, G,; donc le plan C,D, restera normal à la courbe après la déformation. Mais, s'il existe un efi'ort tranchant P qui fasse glisser CaDn dans son plan, le point G, décrira un élément de chemin perpendiculairement à G.Gj, et cet élément aura avec G.Gi un rapport fini : donc, après que les forces auront produit leur effet, le plan CD, ne sera plus normal à la fibre moyenne.

Nous concluons donc en disant que les sections normales primitives le sont encore dans Tctat définitif, quand Teffort tranchant est nul ou négligeable.

81. Observation au sujet de V effort tranchant dans une section quelconque. — Dans deux occasions déjà ( n°' 19 et 73), quand il était question de déterminer les tensions en un point quelconque d'une pièce, nous avons dit qu'on négligeait habituellement l'effet de la force transversale ou effort tranchant, qui tend à produire un glissement relatif de deux sections voisines, parallèlement à leur plan. L'effort tranchant a été aussi négligé quand il s'agissait (n"' 19 et 20) de rechercher la forme définitive prise par la fibre moyenne d'une poutre droite sous l'action de forces transversales et parallèles, puisque nous avons admis que les sections planes primitivement normales restaient encore normales après la déformation. L'expérience a généralement consacré cette manière d'opérer, à laquelle nous nous conformerons presque toujours, dans le but de simplifier les applications que nous avons à faire de la théorie. Ainsi

3l4 CHAPITRE CINQUIÈME.

nous admeilrons comme un fait que, sauf les cas exceptionnels que nous signalerons, les tensions transversales ont peu d'iraporlanre dans les pièces que les ingénieurs ont à établir, relativement aux tensions longitudinales, et qu'il en est de nit^me dos déformations correspondantes. L'effort tranchant étant désigné par P dans les formules de ce paragraphe, nous y ferons toujours P ^= o quand il s'agira d'une application quelconque; si nous n'avons pas tout d'abord supprimé constam;nont les termes affectés du facteur P, notre seul motif a ôié do no pas sacrifier, sans une utilité bien manifeste, l'exactituvlo llu''ori(|ue.

Nous allons maintenant entreprendre l'établissemeni des formules propres à faire connaître la déformation des pièces droites ou courbes, en commençant par deux cas particuliers dont il semble convenable de faire directement l'étude, en raison de leur intérêt spécial et de leur simplicité relative.

82. Déformation d'une pièce droite; équation différentielle de la fibre moyenne déformée, — Plaçons-nous dans une hypothèse resireinle, en admettant : i° que toutes les forces extérieures sont contenues dans un même plan (A) avec la libre moyenne primitive; a** que ce plan divise la pièce en deux parties symétriques, ou tout au moins qu'il coupe chaque section transversale suivant un axe principal d'inertie. Les forces comprises enire une section quelconque et un des bouts de la pièce ont alors un moment nécessairement nul par rapport à la fibre moyenne, et il n'y a pas de couple de torsion V; la tension totale N et l'effort tranchant P, étant dans le plan (A), ne produisent que des déplacements parallèles à ce plan; enfin il en est de même du couple ou moment de flexion X, car, sa trace sur le plan de la section étant axe principal d'inertie, la rotation qu'il produit s'opère autour d'une ligne perpendiculaire à cette trace (n** 64.) et conséquemment au plan (A). Donc le déplacement total d'un point quelconque de la fibre moyenne aura lieu dans ce plan, et, par suite, la fibre moyenne définitive y sera contenue.

Nous supposerons encore qu'on soit en droit de négliger les déformations dues à l'effort tranchant (n° 81); les sections primitivenuMii normales seront don^ encore normales à la fibre

FORMULES DE LÀ DÉFORMATION; CONSÉQUENCES. 3l5

moyenne définitive (n* 80). Elles sonl d'ailleurs toutes perpendiculaires au plan (A), et les angles qu'elles font entre elles sont mesurés par les angles des normales menées à la fibre moyenne dans ce même plan.

Cela posé, au lieu d'effectuer la composition de mouvements dont il a été question plus haut, il vaut mieux employer la méthode suivante, qui conduit plus simplement au but. Prenons pour axe des x la fibre moyenne primitive et pour axe desj^ une perpendiculaire tracée dans le plan (A). La section répondant au point dont les coordonnées sonl x et r fait un certain angle avec sa direction première; puisque la section est restée normale, cet angle sera le même que celui fait par la tangente à la fibre moyenne déformée avec l'axe des x et

dy aura pour tangente trigonométrique la dérivée -j- • Les déformations étant toujours censées très-petites (n° 70), cet angle n'a qu'une petite valeur, et Ton peut, sans erreur sensible, le confondre avec sa tangente. Pour la section infiniment voisine, placée à la distance dx de la première, l'angle analogue

dy d'y aura pour valeur -,- -f- -T-dx\ donc les deux sections, primi-

(ix dx^

tivement parallèles, font maintenant entre elles un angle

~j~dx, qui représente leur rotation relative, c'est-à-dire la

flexion. L'angle de flexion rapporté à l'unité de longueur étant

. d^y alors égal à ^ .» les forces moléculaires qui en résultent ont

pour moment, relativement à l'axe de flexion, le produit de

dw

■~ par le moment d'inflexibilité correspondant à cet axe

(n*64). Si donc on nomme, dans une section quelconque,

ele ressort longitudinal (n*» 2),

rie rayon de gyraiion (n° 22) relativement à un axe perpendiculaire au plan des forces et passant au centre d'élasticité (axe autour duquel s'opère la flexion),

X le moment fléchissant (n<* 64-),

attendu que les forces élastiques développées dans une section font équilibre aux forces extérieures qui agissent depuis cette

3l6 CHAPITRE CINQUIÈME.

section jusqu'à une extrémité, on écrira réquation

C'est là l'équation difFérentielle de la fibre moyenne déformée; elle est identique à celle que nous avons établie aux n"' 19 et 20, dans une hypothèse moins générale quant aux forces extérieures. On verrait d'ailleurs, par un raisonnement identique à celui du n° 19, que les moments fléchissants doivent être affectés du signe -f- quand ils tendent à faire tourner de l'axe des x vers Taxe des y- et du signe — dans le cas contraire.

83. Formules de la déformation plane pour une pièce courbe dont la fibre moyenne primitive est dans un même plan avec les forces extérieures, — Nous allons prendre maintenant le cas d'une pièce remplissant, quant aux forces extérieures el à la forme de la section, toutes les conditions imposées à la poutre droite qu'on vient d'étudier (n®82), mais différant de celle-ci par la fibre moyenne primitive qui, au lieu d'une droite, sera une courbe quelconque située dans le plan (A). Les mêmes raisonnements montreront que la fibre moyenne définitive sera aussi contenue dans ce plan, et Ton connaîtra sa forme si, après avoir pris dans le plan (A) deux axes coordonnés rectangulaires 0^, Oj [fig* 56), on peut

calculer les variations A:r, , Ar, subies par les coordonnées x„ j, d'un point quelconque G» appartenant à la fibre moyenne primitive. Cherchons donc à exprimer ces quantités

en continuant à supposer, pour plus de simplicité, qu'on puisse négliger l'influence de l'effort tranchant.

Soient GoGG,G„ la fibre moyenne, C|D, une section quelconque, CD une autre section quelconque entre l'origine CaD« de la pièce et C,D,. Désignons par

^0, jo, x^y-y ^i, Ji les coordonnées des points Go, G, Gi;

1, 5, les longueurs G«G et GuG, ;

ele ressort longitudinal de la section CD (n®2);

rson rayon de gyration (n° 22) relativement à un axe perpendiculaire au plan de la figure et projeté en G;

N la tension totale dans la section CD, c'est-à-dire la somme des forces extérieures appliquées à la portion GG„ de la pièce, ces forces étant prises en projection sur la tangente en G à la fibre moyenne et le sens positif étant celui qui s'éloigne de l'origine Go;

X le moment fléchissant pour la même section, ou la somme des moments relativement à G, des forces qui agissent sur la portion GG„(le sens positif sera celui d'un moment qui tendrait à faire tourner dans le sens de 0^ vers 0 j).

Ainsi qu'on Ta reconnu au n** 82 et par la même raison, la flexion s'opère ici autour d'une série d'axes perpendiculaires au plan de la figure ; la section CD, par exemple, va tourner

d'un angle infiniment petit ^ .. (n° 64) autour de l'axe G, par

rapport à une section infiniment voisine qui la précède à une distance ds mesurée sur la fibre moyenne. En outre, elle pren-

dra une translation ou extension simple - > par l'effet de

la force N [n°64^), et ce sera là tout le mouvement relatif de ces deux sections, puisque le couple de torsion est nul et qu'on néglige la déformation due à l'effort tranchant. Le déplacement total du point G, est produit par le mouvement de CoDo

combme avec toutes ces translations et ces rotations

e er^

en nombre infini (n°78); il faut donc prendre les variations de Xx et ^i dues séparément à chacun des mouvements composants, et en faire la somme algébrique.

La translation dirigée suivant ds donne, en projection

3l8 CHAPITRE CINQUlfeMB.

sur Ox ei 0/, les déplacements ? 5 la rotation - ~

fait décrire au point G, un arc infiniment petit G7^, normal

. Xrff

à lîG, et égal au produit GG, — -9 lequel aura pour projec-

tiens fï^ et G,/. Or, si Ton mène GiK parallèle aux y et GK parallèle aux x, on formera ainsi un triangle GKG» semblable à G, f^ comme ayani les côtés respectivement perpendiculaires, ce qui donne les proportions

G.^:GG.::^g^:G.K::G,/:GK;

do là nous lirons

TT- T.— G, K X(r. — r)^^