G, / = G, £^ . - = — , - ; •^ ^ GG

mais, comme la longueur/^ est décrite dans le sens des x négatifs, il faut la changer de signe et prendre

X ( ri — ri '/■? XiXi — x)ds

pour projections respectives sur les axes Ox et Ojr du déplacement produit sur le point G, par la flexion aux environs de CD. De la même manière on trouverait les projections du déplacement de Gi par Tetlet d'une rotation absolue p^ dans le sens positif (de Ox vers Oj), attribuée à la section initiale Col)©; ce serait évidemment, sans recommencer le calcul,

P" l»^' J?'o » Po i^ '^« -^0 ; •

Nommant enfin A^o, A/o les composantes du déplacement absolu de Go, puis, faisant la somme algébrique des déplacements de Gi suivant les x et les r dans tous les mouvements à composer, on arrive aux formules

''lii[x,-x]dt

(3) Aj, — Ajo-i-/?o(x, — ar„^ + / ~rfj4-/

er*

FORMULES DE LA UÉFOKMAÏION; CONSÉQUENCES. 'àig

On peut irès-facilemenl avoir aussi la quaniilé /?, dont a lourné une section quelconque C,D,, car, toutes les rotations ayant lieu autour d'axes parallèles, il suffit d'en faire la somme algébrique. Donc

Les formules (2), (3) sont encore incomplètes en ce qu'elles ne tiennent pas compte des variations de longueur sous Taction d'influences étrangères aux forces extérieures qui sollicitent la pièce. Il convient de les rectifier comme on va le voir au n° 84 ci-après.

84. Déplacements produits par les variations de température et par le calage. — Les variations de température, suivant qu'il y a augmentation ou diminution, tendent à dilater ou à contracter toutes les parties du corps qui les éprouve, s'il n'y a aucun obstacle extérieur pour s'y opposer; mais cette altération de dimension n'entraîne pas d'altération de forme dans une matière homogène, ou du moins dans une matière dont le coefficient de dilatation linéaire ne varie pas d'un pointa un autre, ce que nous supposerons. U n'en est pas de même quand des obstacles extérieurs viennent contrarier l'effet de la dilatation ; mais il est clair que, en tenant compte à part des forces exercées par ces obstacles sur la pièce, on peut toujours considérer celle-ci comme entièrement libre. Par conséquent, t étant le coefficient de dilatation linéaire correspondant au changement de température, on devrait simplement ajouter aux premiers membres des formules (2) et ( 3 ) ci-dessus le terme 7(^1 ~x,] pour A:r, etT(j, — jo) pour Aj,; mais en même temps il faudrait faire entrer dans les expressions de N, P, X, V les forces qui proviendraient d'obstacles extérieurs opposés aux effets de la dilatation.

Le calage des pièces courbes donne lieu à des considéralions analogues. Dans la pratique, les grands arcs en métal ne sont pas formés d'un seul bloc. On les construit, en général, avec des voussoirs juxtaposes, entre lesquels on enfonce des cales en métal et que l'on réunit ensuite fortement au moyen de boulons ou de rivets. U résulte de cette disposition que

Tare exerce sur ses appuis des pressions indépendantes des forces qui le solliciient lui-même, c'esl-à-dire qu'il agirait encore sur ses appuis si Ton supprimait toutes les charges qui lui sont directement appliquées. Cela équivaut en quelque sorte à une dilatation arilficielle, en verlu de laquelle la fibre moyenne prendrait une longueur supérieure à sa longueur primitive. Il semble qu'on tiendra compte de ce fait d'une manière rationnelle et satisfaisante si Ton attribue à la constante T, non pas la valeur du coefficient de la dilatation linéaire produite par le changement des circonstances atmosphériques, mais ce coefficient augmenté du rapport entre l'allongement produit par le calage et la longueur de l'arc. Ainsi, soient S la lont;ucur totale de la fibre moyenne d'après le projet, o- la somme des épaisseurs des cales introduites par force entre les segments de cette fibre, z' la dilatation linéaire, positive ou négative, due au changement de température. On devra prendre

Naiurclloment le rapport ;^ est variable dans la pratique,

mais il reste toujours très-petit; il est assez ordinairemeni inférieur au nombre 0,0001.

85. Formules pour calculer les variations des coordonnées d'un point quelconque de In fibre moy^enne dans le cas le plus frénéral. — Il nous reste maintenant à déterminer les déformations do la fibre moyenne d'une pièce quelconque sous des forces connues, dans le cas le pins général, sans admettre aucune supposition restrictive ni sur les forces ni sur la forme des sections transversales ou de la fibre moyenne, à part les hypothèses (jui conslituenlla déiinition d'une pièce, donnée au n'^GT. C'est ce (jue nous allons faire, puis nous montrerons comment on revient des formules générales à celles des n®' 82 et 83.

Ramenons toutes les forces qui agissent depuis une section quelcon(jue CJ), jusqu'à l'extrémité C„D„ {Jig, 54, p. 3ii) à deux forces et à deux couples, comme il a été dit au n** 64- Notîs aurons d'abord la force N normale à C|D/ ou tangente en G, à la fibre moyenne, force à laquelle nous donnerons le signe -i ou le signe —, suivant qu'elle sera une tension ou

une pression, c'est-à-dire suivant qu'elle agira en allant de G,vers l'extrémité G„, ou en sens inverse; secondement, une force P passant en G/, située dans le plan CiD/, et dont la direction fait, avec les parties positives des trois axes coordonnés rectangulaires Ox, Oj, 0;:, trois angles que nous appellerons a, b, c; troisièmement, un couple X dont Taxe est dans le plan C/D/, ce couple n'ayant pas de signe et ne devant se prendre qu'en valeur absolue; quatrièmement et enfin, un couple V dont l'axe représentatif (•) aura même direction et même sens positif conventionnel que la force N. Soient d'ailleurs

S Tangle aigu que fait la trace du couple X sur le plan CiD^ avec le diamètre conjugué de cette trace dans l'ellipse centrale d'inertie de la section;

)., fx, V les angles qui ont lieu entre les parties positives des trois axes coordonnés et l'axe représentatif de la flexion,

c*est-à-dire (n° 64) le diamètre faisant l'angle - — ^ avec

l'axe représentatif du couple X; r, / les rayons de gyration de Taire C|D/ relativement aux axes

de flexion et de torsion; e le ressort longitudinal de cette section ( n** 2) ; keson ressort transversal (n" 64), k étant le rapport supposé

constant (n" 53) des deux coefficients d'élasticité G et E;

s la longueur GoG, mesurée suivant la fibre moyenne entre la

section C|D, et celle qui est prise pour origine; X, j, z les cordonnées rectangulaires du point G,.

En ne nous occupant d'abord que du mouvement relatif de la section C|D, et de celle qui est infiniment voisine, nous trouverons que ce mouvement se compose (n" 64) :

D'une translation suivant la direction de la force N, dont la

valeur est et les projections sur les trois axes coor-

. , Nû?^ Nr/r N^z

donnes 1 — — ? ;

(*) Nous admettons encore ici, et dans toute la suite du n** 85, qu'on adopte pour les axes représentatifs des couples et des rotations une convention contraire à l'usage habituel, conformément à la note de la pa(;e 3io.