I. 3* édit. ai
3ia CnAPlTRB CINQUIÈME.
D'une iranslaiion suivant la force P, qui aura pour exprès-
s. on . * Cl doni les projections sur les axes coordonnés
Pco^a.ds Vcos b.ds Pcosc.rfj seront pareillement , > - r > • t :
D'une rouiion autour du diamètre conjugué avec la trace du
, \s\nd. ds couple X, avant pour valeur - ^ - et se décomposant de
Xsin(5cos>..r/5 X s'inS cosfx.ds Xsinôcosv.rtf* même en -, , ^,-' , — ',
Dune rotation autour de Télément G,Gn-, prolongé, exprimée par TT-yj' dont les composantes rectangulaires parallèles
\djc \dr \dz aux axes coordonnes sont -.—7- ? 7— tt» /-t,-
On aura donc fînalemenl, pour le mouvement relatif dont il s'agit :
1° Trois iranslalions parallèles aux axes coordonnés, savoir:
Suivant l'axe des j: Nr/.r Pcos^.r/.v
y N r/r P cosb.f/w
c Âe
Nr/z Pcosr./y.c
2" Trois rotations autour des parallèles aux trois mêmes axes menées par le point G, :
Autour de la parallèle à 0.r Xdx X sinr?cos/.r/f
» Or -7-77, -r- z— )
V dy X si n e? cos u . fis
^ ydz X sin «? cos V . ds Oz TTi -^ 1
Dans les applications, chacun de ces mouvements composants doit recevoir le signe -f- ou le signe — , d'après les conventions exprimées à la fin du n** 77; or cette condition se trouvera remplie d'elle-même par suite des précautions que
nous avons prises en définissant le sens positif de la force N et du couple V, ainsi que les angles a, 6, c, 1, [x, v. Du moins elle le sera quand les axes coordonnés présenieronl la disposition âesjîg. 53 et 54, disposition telle, qu'une rotation de Ox vers Oj sera représentée par l'axe des z positifs, et ainsi d*e suite en faisant une permutation tournante.
Maintenant il est facile d'a|)pliquer la méthode indiquée en abrégé au n*" 78, pour avoir le déplacement d'un point quelconque G de la fibre moyenne. Appelons, en effet, A^Cj, Ay^, Azo les trois composantes de ce déplacement pour la section initiale C,Do; m^, /ip, po les trois composantes de la rotation de la section CoDo, qui produisent les variations très-petites des angles que la normale à celte section faisait primitivement avec les trois axes coordonnes; :r,, j,, z, les coordonnées du point G; Xo, j\y z^ celles du point Go; conservons les lettres sans indice pour les quantités qui se rapportent à toute section intermédiaire entre CoDa et CI), C/I),- par exemple. En vertu des trois translations et des trois rotations qui viennent d'être analysées, le point G prendra les déplacements ci-après :
Suivant l'axe des x,
Nrfjc Pcos/Tf.r/.^ MV/r , X sinô cos^f..^/5
\(1z X sino cosv.r/.v
Suivant l'axe des j,
N dy V cosb.ds , I \dz X si n o ces v . ^5
- [Zy— z]
\ilx X sinôcosX.r/5
Suivant l'axe des z,
Nrfz VcoscAÏs , ,(Ydx Xsino cos/.r/5\
^ (ydy Xsin5cosi:x.c^5^
-(jr.-x)^-^^
3a4 cnAPiiRi Cl^QlIIfcxB.
formules qui résulieni immcdiatemenl de celles qu'on a don-
Hoes au n" 77.
Ajoutant algébriquement tous les elTets dus aux mouvements des sortions intermédiaires entre C.D. et CD, et tenant connue du mouvement de la première section C.D„ on trouvera don do t'..
, i>our les variations Ax,, A^,, Az, des coordonnées
dx
[. . / V rf>- X5ln3cosu\"l ■"' " \Ul''ds '' er' } I .
, .} y ch Xsin3co5»\ • '■'' ''\lel-d,^' er' )\
.Ar.+ ,..'
/NI* co-iA (/î\
I~ . / V </.r XsinâcosXXn
' J I , ./ V (/)■ Xsinocosfi\ I
i;cs l'ormulcs dovraicni, en général, èlre corrigées, pour tenir compte des effets produits par les variations de tempéra* lurc et le calage. Suivant ce qu'on a dit au n" 8V, on ajouterait les termes r(jr, — a-.), -[y\—}\], -[z,~ z^) respectivement ù Axi, A^i, Ai,; en outre il faudrait, en calculant N, P, X, V, avoir égard aux forces exercées par les obstacles qui empôclienl la pièce de se dilater librement.
Remarques sur les formules précédentes. — Nous avons vu plus haul (n** 71) commeni peuvent se calculer les quatre quantités N, P, X, V quand les forces extérieures sont censées connues. L'application des formules (5) exige, en outre, qu'on détermine les angles a, b, c, $, ^, p., v et le rayon de gyration rpar rapport à un axe inconnu a priori, ou, si Ton veui, il s'agit simplemeni de déierminer
Pcosa, Pcos6, Pcosc, Xsinâros}. Xsinôcosa Xsinâcosv
seules expressions où figurent les inconnues auxiliaires en question. A l'égard des trois premières, nous n'avons rien à dire de plus qu'au n'' 71, car elles sont identiques respecliveraent avec les trois composantes que nous avons nommées P». P/, Pi; pour les trois autres, on peut employer le moyen fort simple que nous allons maintenant indiquer.
Considérons au centre d'élasticité G, de la section quelconque C/D, ijig. 54, p. 3i i) un système de trois axes rectangulaires formé de la tangente en d à la fibre moyenne et des deux axes principaux d'inertie de la section : ce seront trois lignes connues par la définition même de la pièce et indépendamment des forces qui lui sont appliquées. On pourra donc calculer les trois sommes de moments, relativement à ces axes, des forces appliquées sur la portion C|D|C„D„; on obtiendra ainsi le moment ou couple de torsion V pour le premier axe, et pour les deux autres deux moments X', X" dont la composition reproduirait évidemment X, puisque les deux systèmes (V, X), (V, X', X"j équivalent à un seul et même couple résultant, produit par le transport des forces au point G|. Donc la flexion produite par X est (n® 65) la résultante de celles que produiraient X' et X" agissant isolément. Or ces deux dernières sont faciles à calculer; si l'on nomme r' et r" les deux rayons de gyration principaux de la section relativement aux second et troisième axes définis ci-dessus, elles
auront pour valeurs — ,^ j — v; (car ici l'angle è doit être
pris égal à 90**) et se produiront autour des lignes mêmes par
rapport auxquelles ont été calculés X' el X". Nommant enfin /', fx', v', //, a", v" les angles de ces lignes avec les axes coor-
donnés, on déduira de Téquivalence entre ds el le
système ( ,, 7 - „,- 1 trois équations de projection qui deviennent, par la suppression du facteur commun - ?
XsinocosX X'cos}/ X"cosX*'
.w .,'i pff-i
Xsinorosf-f. X'cos a' X"cosa" Xsinocosv X'rosv' X"cosv"
Les mêmes formules [5] seraient encore susceptibles do deux corrections, i** Nous avons obtenu la rotation produite par le couple de torsion V au mo^'en d'une formule donnée dans l'ancienne théorie de la torsion (n°53); il sérail plus exact d'employer la formule de M. de Saint-Venant, qui substitue au dénominateur hel^ une autre expression [voir la
note ;') de la p. 224). 2° L*clTet -r— de TefTort tranchant a été
calculé conformément à la théorie du n° 64, qui conduit à supposer Taction de la force P répartie sur les divers éléments &) de la section transversale proportionncllemeni au produit Gw, c'est-à-dire uniformément dans le cas usuel d'une section homogène. Comme d'un autre côté nous avons reconnu, par l'étude des poutres droites (n° 25), que ce mode de répartition n'est pas toujours conforme à la réalité, on voit
que l'expressioii -.-- prèle quelque peu au doute. Il y aurait
lieu, d'après M. de Saint-Venant, de l'alTecter d'un coefficienl à déterminer, dans chaque cas particulier, d'après la figure des sections transversales.
Nous ne croyons pas devoir insister davantage sur ces corrections, dont l'intérêt est purement théorique. Les formules (5) sont d'un usage à peu près nul, et, dans la suite du Cours, nous n'aurons à employer que les formules du n** 83, relatives à la déformation plane, formules où n'entrent ni le
momeni de torsion V, qui est nul, ni l'effort tranchant P, dont on suppose les effet» négligeables (n° 81 ).
86. Déviation des sections normales de la pièce. — La seclion normale CD [fg, 54, p. 3ii) éprouve une rotation totale qui s'obtient en composant celle de CoDo avec toutes les rotations relatives de deux sections voisines entre Go et G. On aura donc, d'après les règles connues de la composition des rotations, pour les composantes rectangulaires /tî,, n,, p, de la rotation de CD suivant les trois axes coordonnés,
r"'[ V XsinocosX ds\ ^
m, — m^-^ I 7 . -\- — dx,
J \ltei' er' dx '
Quand on connaît la rotation du plan CD, il est facile d'en déduire les variations des cosinus des angles A,, B,, C,, que sa normale fait avec les axes des Xyy\ z. Il suffit d'imaginer par l'origine une perpendiculaire au plan, de longueur égale à i; les coordonnées de l'exlrémiié de celle ligne seront cosA,, cosB,, cosC, et, si l'on en calcule les variations par les formules du n° 77, on trouvera
i AcosA,-: n, cosC, — /^, cosB,, ;7) < A cosB. - /?, cosA, -- m, cosCj,
( A cosC, - m, cosB, — /i,cosA,.
87. Formules spéciales pour le cas oit la fibre moy^enne est primitii/ement dans un plan contenant les forces extérieures. — Quand la fibre moyenne est plane dans son état primitif, et que toutes les forces appliquées sur un élément quelconque de la pièce, entre deux sections normales consécutives, peuvent se réduire à une force située dans le plan de cette fibre, les formules (5) du n** 85 se simplifient notablemeni. En effet, toutes les forces qui agissent sur la portion G,G„ {fg. 54, p. 3i 1) donneront nécessairement lieu à une résultante
3a8 CUAPITRB CINQUIËMI.
unique ou à un couple situé dans le plan G^G/Gr. On pourra prendre les axes des x et des/ dans ce plan, et alors on aura, pour tous les points de la courbe G.G,G„,
V=o, c==-> cosa = =iz-7-5 coso = =p-r-? z = o,
2 as as
car d'abord le couple X subsiste seul, la force P est dirigée suivant la normale principale de la fibre moyenne, et enfin la fibre moyenne se trouve tout entière dans le plan des xjr. Il est facile, en outre, de compter positivement la force P, dans chaque cas parliculier, de manière qu'on doive prendre les signes supérieurs dans les expressions de cosa et de cosô : par exemple , avec la disposition de la ^g. 54, il faudrait prendre P positivement dans le sens G/D, ou, si l'on veui, dans le sens de la normale qui se dirige vers le centre de courbure. Substituant ces valeurs de V, c, z, cosa, cos6 dans les formules (5) ci-dessus, et rétablissant le terme par lequel on tient compte des dilatations produites par des causes étrangères aux charges (n® 84), on trouvera
; <\Xi -- A^To — /;«( j, — ,}'o) 4- t(^i — X,)
' J \e ^ lie dx )
f , , A SI no cosv ,
(r.-rj— ,-—--'/*.
/''• , , X sino cosv ,
-U / [X, — X] ■ CiSy
^ r^^\[y,-r)cos\-[xs^x)cosiL]ds.
Quant à la rotation des sections normales, on la calculerait par les formules (6) du n^ 86, en y supprimant le terme qui contient V, puisque ce terme est nul de lui-même. Les formules (7] éprouveraient, en outre, un changement résultant
FORMULES DE LA DËFOBMàTION; CONSÉQUENCES. 3^9
de ce que les sections soni perpendiculaires au plan des xy, d'où résulte Ci = - - On aurait donc
X si n 5 eos l
IAcosAi = — /JiCosB., AcosB,^/»,cosA„ , A cosC, " m, cosB, ~ n, cosA,.
88. Conditions à remplir pour que la déformation d'une pièce à fibre moyenne plane s'opère dans le plan même de cette Jibre. — Nous ne irailerons cctie question que dansl'hypotlièse restreinte faite au n" 87 sur le mode de distribution des forces eKtérieures. La condition à remplir, c'est que \z, soit nul pour tous les points de la fibre moyenne; il faut donc poser
