AZ.-H/I

) cosu]é/j-

D'abord, àz, doit être nul, car le point Ci„ ne doit pas plus qu'aucun autre sortir du plan des xy. Après avoir supprimé ce terme, on peut remarquer qu'on a ideniiquemeni

par suite, en réunissant tout le premier membre do réqualioii précédente sous un seul signe/, la condition A3,= o dcvieni

~[{r.-r]casi-

33o CHAPITRE CINQUIÈME.

Une inlégralc définie, dont les limites sont arbitraires, ne restera constamment nulle que si son élément devient nul luimême; donc

dy dx \s'\r\Or, . ^ , . ^

et cette condition doit se dédoubler en deux autres,

[y,] /77o rfj' — /?o dx - - o,

(i^) X[j', --j) cosX - (>, — :r) cos/y.]---o,

attendu quela seconde partie ([3) dépend du point final [x^,r^]

et varie avec lui, tandis que l'autre n'en dépend pas. Or il va

plusieurs moyens de satisfaire aux conditions (a) et ((3).

En ce qui concerne la première, on peut supposer m^--o,

/7o ■ = o, hypothèses qui, jointes à \z^ =^ o, exprimeraient que

la section initiale se meut parallèlement au plan des x/,

puisque son mouvement se composerait d'une translation

parallèle à ce plan et d'une rotation autour d'un axe perpendi-

dy culaire. On peut aussi supposer que y- a une valeur constante

égale à - " ? ce qui signifierait : i*" que la fibre moyenne est

droite; 2" que la résuliante des rotations m, et /lo, ou la projection sur le plan des xy de la rotation loiale prise par la section CoD„, doit s'cfTcciuer autour de celte droite : il esl évident, en effet, que la fibre moyenne, supposée recliligne, ne sortira pas d'un plan qui la contient, en tournant autour d'elle-même.

Pour satisfaire à la condition (,3), il semble qu'on a le choix entre trois hypothèses, savoir :

cosA 0,

cos/ut - 0,

cosa

cosA'

mais réquation (•/) est impossible et doit être rejetée. En effet, si l'on y considère le point [xi, /,) comme se déplaçant

sur la fibre moyenne, tandis que le point [x, y) resterait constant, on en conclut que la fibre moyenne est droite; cette droite, normale à la section menée par le point (^, j), ferait, par conséquent, un angle de 90" avec Taxe de flexion, ce qui exigerait qu'on eût

[x, — x) cosl -r- [fi — y) COSU. -^ o,

relation incompatible avec (y), puisqu'il en résulterait, par rélimination de ^'"~'^,

COSiU cosX

ir =^ OU ces-/ -r- COS'a : O.

COSA COSU ^

Il ne reste donc qu'à supposer soit X : - o, c'csi-à-dire un moment fléchissant nul dans toutes les sections, soit cos?.— -o et cosar:= o, c'est-à-dire tous les axes de flexion perpendiculaires au plan des :rj\

Si cette dernière combinaison est celle qui se réalise, comme le couple Xagit dans le plan des xj\ sa trace sur le plan de la section correspondante sera perpendiculaire à Taxe de flexion, de sorte que cet axe et la trace du couple (qui lui est conjuguée dans l'ellipse centrale d'inertie de la section) formeront les deux diamètres principaux de l'ellipse. Alors, en laissant provisoirement de côté la supposition d'une libre moyenne rectiligne et celle d'un moment fléchissant nul, on énoncera la pioposition suivante comme conclusion de la discussion à laquelle nous venons de nous livrer:

Quand une pièce courbe a sa Jihre moyenne dans un plan contenant aussi les forces extérieures, pour que la déformation ne fasse pas sortir la fihn^ moyenïie de son plan, il faut et il suffit : 1° que la section initiale ait un mouvement parallèle à ce plan; 1° que ce plan coupe toutes les sections suii'ant un de leurs axes principaux d'inertie.

Pour les pièces droites, on peut ajouter au mouvement de la section initiale une rotation autour de la fibre moyenne; dans le cas où X — o, la fibre moyenne étant droite ou courbe, la condition relative à la direction des axes principaux d'une section quelconque devient indifférente.

332 CHAPITRR CINQUifeME.

89. Conséquences des conditions trouvées an n® 88; vérifia cation des formules de la déformation plane au mojren des formules générales. — Maînienant qu'on connaît les conditions nécessaires et suffisantes pour que Azi soit nuU il est rationnel et utile de se demander Tinfluence qu'auront ces conditions sur les deux premières formules (8), destinées à calculer Aj;, et A/,. En premier lieu, on voit que les conditions imposées au mouvement de la section initiale n'ont pas d'influence, puisque ce mouvement ne figure dans les expressions de A:ri et Aji que par les trois quantités Ao:», Aj», //«, auxquelles nous n'avons imposé aucune condition. Secondement, si cosX et cos/x sont nuls, il en résulte sind = i et cosv = i; si ces valeurs ne sont pas vraies, cela importe peu, parce qu'alors X deviendrait constamment nul, et les termes qui contiennent d et v disparaîtraient. Donc, dans tous les cas où il y a déformation plane, on peut écrire

formules identiques aux formules {i) et (3) que nous avons démontrées directement au n"* 83 , sauf l'introduction des termes contenant les facteurs P ou t, que nous avions provisoirement laissés de côté dans notre première analyse, et qui représentent les effets respectifs l'^du glissement transversai simple, a** d'une dilatation due à des causes indépendantes des charges.

Les valeurs particulières cosX = o, cosfx^o, cosv=ïi sind= I, introduites dans les formules (9}, donnent

f , r''Xds

(11) mx=zm,, n,=:/ia, p, — p^-^ j -—*

Par les deux premières équations (12) on voit que m, el n,

conservent, dans loules les sections, les mêmes valeurs que dans la première : si la rotation résultante de m» et n» n'est pas nulle (ce qui peut avoir lieu pour une pièce droite), elle se retrouvera constamment la même dans toutes les sections, et Ton pourrait en faire abstraction, puisque ce serait un mouvement d'ensemble ne déformant pas la pièce et ne déplaçant pas la fibre moyenne. La troisième équation (12), déjà démontrée au n*» 83, ferait alors connaître la rotation totale d'une section quelconque, ou, ce qui est la même chose, la variation de son angle avec un plan Cixe.

90. Formules de la déformation spéciales pour les pièces droites; vérification analogue à celle du n^ 89. — Supposons une pièce à fibre moyenne reciiligne, chargée suivant le mode défini au n°87. En choisissant la fibre moyenne pour axe des x, on aura constamment 7=0, :: -- o, szz^x, et les formules (8) prendront la forme suivante :

Aj:, — Axp-;-t(^, — Xq] -:- I -- dx,

Ifr— \n-- l^ix, — X,)

r'\ , Xsinocosv , r"^' P ,

~h I 'x^ — x) , dx — I -,— dXy

I ' ' cr^ J ke

K K ' ^ r'' ^ Xsinocos.a .

J er^

Dans le cas plus particulier de la déformation plane (n"' 88 et 89), on trouve

Axt = Axu -i- 7 {Xi— Xo] -h j ■- dx,

(1 4) \ Aj, — Ajo -+- po{x, — :ro )

-ht [xi — x) -—dx ^ I ,— dx. J ' ^ er' J^ ke

Quand on néglige les effets de f effort tranchant P, comme cela se fait habituellement (n°81), il faut faire P = o dans réquation précédente. On peut remarquer en outre que.

334 CHAPITRE CINQUifeHE.

Tordonnée j étant nulle pour tout point de la fibre moyenne primitive, Aj, n'est autre chose que7i4)our la flbre moyenne déformée; on écrirait, en conséquence, la seconde équation (i4) de cette manière:

j^^ er

puis, en différentiant deux fois par rapport à la variable or,, on aura successivement

dx\ eir\

La dernière équation ne diffère pas, au fond, de l'équation iV, démontrée directement au n° 82. Quant à la formule qui exprime Aar,, nous n'avons pas cru devoir nous en occuper spécialement, parce que ses applications sont à peu près nulles; il est suffisant de l'avoir établie comme cas particulier des formules générales.

91. Détermination des constantes qui représentent le mouvement de la section prise pour point de départ. — Les formules (5) du n°85 font connaître les composantes Ax,,A7i, As, du déplacement d'un point quelconque de la fibre moyenne, en fonction des forces extérieures et de six quantités Ax^, A/«, A^p», m», n», pé qui définissent le mouvement absolu d'une section. Dans le cas particulier de la déformation plane (n'^SS et 89), trois de ces quantités disparaissent, et il n'en subsiste que trois dans les formules, savoir A^Pe, A/», /?«.

Au premier abord, on trouvera peut-être singulier que, connaissant la pièce dans son état primitif et les forces en équilibre qui lui sont ensuite appliquées, la théorie ne donne pas la situation qu'elle prend définitivement. Cependant on voit aisément qu'il doit en être ainsi, quand on se pénètre bien des conditions du problème. La question qui consisterait à trouver le déplacement absolu serait une question de dynamiquiî, dans laquelle on devrait tenir compte non-seulement de la situation primitive du corps et des forces qui lui sont

appliquées, mais encore des masses de ses différents points et de leurs vitesses initiales. Or ce sont là des données que nous n'avons pas introduites. Nous avons simplement supposé réquilibre des forces extérieures avec les forces moléculaires et la petitesse du déplacement total. Mais avec ces deux conditions on peut évidemment imaginer une infinité de déplacements, tous très-petits et d'ailleurs arbitraires. Si l'on en a trouvé un, et qu'on fasse mouvoir très-peu la pièce à partir de cette seconde position, sans altérer la forme nouvelle qu'elle a prise, les deux conditions dont il s'agit seront encore satisfaites. En effet, nous aurons bien un déplacement total très-petit; les forces moléculaires auront les mômes grandeurs, et, comme leur situation, aussi bien que celle des forces extérieures, n'aura pas sensiblement changé, l'équilibre subsistera encore. Il y a donc une indétermination réelle dans le problème, et l'on ne peut la faire cesser qu'en introduisant de nouvelles données, comme nous allons le faire tout à l'heure.

Cependant, quoique la position définitive de la pièce reste indéterminée tant que l'on ne connaît pas les quantités Aoto, Ajo, Azo, /Ho, /ïo, /?o, on voit, par la manière même dont les formules ont été obtenues, que le mouvement de chaque section CD [Jig, 54, p. 3ii) relativement à la section initiale C«Do est parfaitement déterminé, en fonction des forces extérieures seulement : en sorte que, si l'on ne connaissait le mouvement absolu d'aucune section, il serait possible néanmoins de calculer la forme finale de la pièce, tout en laissant dans l'indécision sa situation réelle.

Maintenant nous allons donner quelques exemples de la détermination des quantités dont il s'agit, en nous bornant à ceux dont on aura le plus fréquemment besoin dans les applications. La déformation sera supposée plane, et, par suite, il suffira de trouver les valeurs de Aoto, à)\, po.

Le cas le plus simple serait celui où la pièce aurait en CoDo [Jig. 54) non-seulement un appui ii\e, mais encore un encastrement qui rendrait sa direction invariable. Alors on aurait

AoTo^o, A/o= o, /io=o.

Si l'encastrement et l'appui fixe existaient en une autre sec-

tlon qu'on ne voudrait pas prendra pour point de départ, x' et y^ étant les coordonnées de son centre d'élasticité, il faudrait exprimer que pour ce point A:c' et A/^ sont nuls ei que la section conserve sa direction première, c'est-à-dire qu'elle n'a pas de rotation. Alors les formules (n) et la troisième formule [12) du n°89 donnent les équations

AT,-p.(/-r.)+t(x'-^,)+£ (5 + ^ g^x

Xds

La dernière équation fait connaître immédiatement p»» et, par une substitution dans les deux autres, on connaîtra Ar„ A/,:

Supposons maintenant le cas très-ordinaire, presque le seul cas pratique, dans lequel les deux extrémités reposent simplement sur deux appuis fixes. Prenons l'un de ces appuis pour origine des coordonnées, la ligne qui les joint pour axe des j;; soit en outre 2a leur distance. En appliquant au second appui la formule qui donne Aj, (n° 89), on aura

équation d'où l'on lire très-aisément la valeur de/?,. D'ailleurs AoTp et Ajo sont nuls.

FORMULES DE LA DÉFORMATION; CONSÉQUENCES. 33n

Enfin nous considérerons le cas où la fibre moyenne aurait un point fixe et un élément dont la position changerait par la déformation, mais dont la direction serait déterminée a priori. C'est ce qui arrive, par exemple, lorsqu'un arc symétrique par rapport à une ligne est symétriquement chargé de chaque côté de cette ligne. Il est clair que la symétrie doit subsister après la déformation, et, par suite, la direction de l'élément situé sur l'axe de symétrie ne doit pas changer. Dans cette circonstance, on pourrait procéder ainsi qu'il suit. On prendrait pour axe des x une ligne quelconque passant par le point fixe et pour axe des r une perpendiculaire menée par le point où Ton connaît la direction de la fibre moyeime. Ce dernier point étant piis pour l'une des limites (^o» Jo) des intégrales définies, on aura d'abord, par hypothèse, /^o— o. Ensuite, si l'on appelles l'abscisse du point fixe, les formules (i i) du n° 89 appliquées à ce point donneront

/ ei^ ilx e dx J Le

Dans le cas plus particulier où l'on supposerait une symétrie complète, comme celle que nous donnions tout à l'heure pour exemple, on pourrnil prendre Taxe des x de lelle manière que l'axe des ^r fût la ligne do symétrie elle-même. Alors on aurait ^„= o, A^\,— : o, et Téquaiion (]ui donne A >'o ferait connaître la quantité dont varie la flèche de l'arc.

§ II. - Recherche des forces inconnues.

• 92. Indications succinctes sur la nature des questions ù résoudre, — Ainsi que nous l'avons dit au commencement du Cours, il peut arriver, et il arrive le plus ordinairement dans les applications, que toutes les forces qui sollicitent une pièce ne sont pas des données immédiates de la question. Par exemple, lorsqu'un arc symétrique par i apport à une verticale, et chargé de poids disposés symétriquement par rapport à cette ligne, repose à ses extrémités sur deux appuis placés