I. 3-édit

lUi nu^iue niveau, il suffit pour J'équilibre que chaque appui fournisse une réaoïion verticale égale à la moitié de la somme dos poids qui ai^issenl sur la pièce entière. Mais, s'il ne donnait pas lieu à une autre réaction, il arriverait que la corde de Tare varierait en longueur; c'est un fait que l'on pourrait reconnaître au moyen des formules du § I de ce Chapitre, et qui est d'ailleurs évident quand on suppose un changemeî t de lempéialure. Or, si les appuis sont disposés de manière à empêcher cette variation de la corde, il est clair (lije p.^r eela môme ils doivent exercer sur la pièce des forces hoii^onlales, capables de produire une variation égale et de >on*i eoniraire à celle qui aurait eu lieu sans leur existence, (es forces ne sont pas données immédiatement; elles soni lîue consé(|uence de la forme de l'arc et des charges qui ;îi:i>»^eiit sur lui. Leur délerminalion constitue un problème vi'une nature particulière.

()n serait conduit à une conclusion analogue si l'on supposait ^généralement un arc lié d'une manière quelconque à certains corps qui rempéchent de se déformer librement sous Taelion des forces qui lui sont appliquées, comme il le feraii sans l'existence de ces obstacles. Pour annuler ou tout au moins pour modifier les déplacements qui tendent à se produire, il faut que la présence des obstacles donne lieu à certaines réactions, qui ordinairement ne peuvent pas être déterminées indépendamment de l'étude des déformations produites. C'est ainsi que, dans l'exemple précédent, on se trouverait conduit à chercher l'expression de l'allongement de la corde.

Vn autre exemple remarquable nous est fourni par les poutres droites reposant sur plus de deux appuis et soumises à des charges transversales. Les appuis exercent sur la pièce des réactions également perpendiculaires à son axe, entre lesquelles il y a seulement deux relations, fournies par la statique des systèmes invariables. 11 y a donc là encore une série de forces inconnues à trouver, et l'on n'y parvient qu'en tenant compte des déformations produites par les diverses forces extérieures.

Comme il peut y avoir un grand nombre de combinaisons diverses, soit dans la disposition des appuis et des obstacles

FORMULES DE LA DÉFORMATION; CONSÉQUENCES. SSq

de loule nature opposés au mouvemenl de la pièce, soit dans la nature de ces obstacles et leur mode d'action, le problème dont nous avons à nous occuper ici peut donner lieu à une grande variété de problèmes parliculiers, et il serait presque impossible de donner une théorie en termes tout à fait généraux. Nous croyons même qu'il serait inutile d'essayer une classification. Mais nous traiterons avec détail un certain nombre de questions qui montreront bien la marche que l'on devrait suivre dans d'autres cas, auxquels ne s'appliqueraient pas directement les calculs que nous allons développer. Nous nous bornerons d'ailleurs au cas de la déformation plane, et nous négligerons les effets de l'élasticité transversale (n" 81).

93. Premier c.vs. Pièce non sy^mélrique reposant sur deux appuis fixes, — Un cas qui se présente souvent dans la pratique est celui d'un arc soutenu à ses deux extrémités par deux appuis inébranlables, qui empêchent tout mouvemenl des points extrêmes de la fibre moyenne. En général, ces appuis consistent en forts massifs de maçonnerie sur lesquels on dispose un siège en fonte, ou embase, suivant l'expression technique. L'arc doit reposer sur l'embase par l'intermédiaire d'une lame de plomb ou de cales en fer destinées à produire une répartition sensiblement uniforme de la pression, en sorte qu'on peut admettre, sans s'écarter vraisemblablement beaucoup des faits réels, que dans les sections extrêmes le centre des tensions se trouve sur la fibre moyenne. Les supports jouent ici le même rôle que des articulations fixes placées aux extrémités de la fibre moyenne ('). Entre ces deux points et dans son plan, l'arc reçoit l'action des charges qu'il doit supporter, y compris celle de son propre poids; mais il n'est d'ailleurs contrarié dans ses mouvements par aucun obstacle, à l'exception de ceux qui l'empêchent de sortir de son plan par l'effet de causes accidentelles.

Soient \B[fi^. 57) la fibre moyenne, F l'une des forces qui la sollicitent, R, R' les réactions des supports placés en A et B. Il s'agit de déterminer ces réactions. D'abord on obser-

(*) Dans certaines construcllons, les appuis ont été disposés de manière à réaliser matériellement ces articulations avec toute l'exactitude possible.

3{o CHAPITRE CINQUifelB.

vora qu'oUos doîveiu êirc dans le plan de la figure, car, pniîîquo loulos les aulres forces extérieures sont dans ce

plan, Tcquilibre n'exislerait pas

*^' ' * sans cela ; donc on pourra rempla-

• » T cer R par deux forces T, Q, Tune

'^ V, I perpendiculaire à AB, l'autre diri-

^)^v gée suivant AB; de même R' sera

^ remplacé par le système T', Q'.

Cela posé, en appelant Ç et 9 les

angles faits par la force F avec les

,;\v^s roordonnés \x, Aj, 2r/ la distance Alî, d le bras de IvMior lii* F relativement au point A, les conditions générales vloquilibrc entre les forces extérieures d'un système donne-

IV ni

O'-I^Fcosi;- Q: o,

T T-f :îlFcos(}-:o,

iMîuations dont les deux premières expriment l'équilibre de iranslation, et la iroisième l'équilibre des moments autourdu |)oiiit A. Cela ne fait encore que trois équations entre quaire inconnues. La quatrième nous sera fournie en exprimant que, innlf;ré l'aciion de toutes les forces, la dislance des deux oxlrémilés A et R de la fibre moyenne reste invariable. SI nous prenons pour axes des coordonnées la ligne AB et la per- |)ondiculaire A}*, nous devrons avoir, pour le point B, Ax, ::=o. Appliquons donc à ce point les formules du n**89, en prenant h» point A pour origine des intégrations. Il faudra faire à in fois, dans l'expression de A:r,,

Ax, — o, Ajîo -^>, ;'i--<», ;;'o— o,

P dr

ce qui donnera, en supprimant d'ailleurs le terme y:- -t- [n^81)

r"f\r ds N\ .

équation dans laquelle il n'entre en réalité d'autre inconnue que la force Q. Pour la mettre en évidence, nous poserons,

FORMULES DE LA DÉFORBIATION ; CONSÉQUEI^GES. 34l

en ayant égard aux conventions sur les signes algébriques deNetdeX(n°83),

Alors X' sera la somme des moments, par rapport à un point quelconque de la fibre moyenne, de toutes les forces qui agissent depuis ce point jusqu'au point B, moins la force Q; de même N' sera la somme des projections de ces forces sur la langente au point considéré, la force Q étant encore laissée de côté. X' et N' seront donc des fonctions de x immédiatement calculables, car X et N ne conliennent que les inconnues T etQ, dont la première est déterminée par la troisième des équations données ci-dessus. Substituant ces valeurs deX et de N, on aura

2T« -I- / '■ • - , dx — Q / dx

J et' ax J er- dx

~ I - dx - - Q I - ■ dx - o, .' e J e ds

d'où Ton lire

r^'X'r ds , /•■"'iN' ,

/ • , ax -- I dx -^ 7.za

J er' dx J e

ri5) Q~. - -- "

/ • ; , t/jC-f- / - - dx

,1 er- dx ./ <? ds

Après avoir ainsi déterminé T et Q, on en conclura sans peine T' et Q' au moyen des deux équations qui expriment l'équilibre de translation de la pièce.

Dans le cas où l'on trouverait pour l'une des inconnues une valeur négative, cela indiquerait simplement que la force qu'elle représente est de sens contraire à celui qu'on lui a supposé sur la figure.

Les forces Q etQ' considérées en sens contraire, ou, autrement, les actions horizontales exercées par l'arc sur ses appuis, sont ce qu'on appelle les poussées de cet arc, lorsqu'elles tendent à renverser les appuis en dehors. Généralement elles peuvent être inégales; mais elles prennent la même valeur

:>■[> CBAFIT» CINQOIftIIE.

ijUstiul It'cos) esl nul, ce qui arrive notamment quand l'arc n'osl v'tijrï;o que tle poids ei que sa corde est horizontale.

'.'t. I*ï!,\iîiï i\s. Pièce symétrique et symélriquemtni

^■\.-'^-r-f. S',ip|H'sons que l'arc représenié [Jig-5']] soitpIaci5 J-T'i ■.■■i .•.'iivtiiions qui ont été déPinies au n° 93, à part celle ,! v,^... ,^, ,j„j. la c,[,r(j moyenne sera symétrique relaiivemenl j 'je î'-r;- luliculaire D/, menée au milieu de AB, et qu'il en ■..-r .,■ in,''me des forces qui agissent à droite et à gauclie de .■■..-■ li^no. En vertu de cette sjniélrie, il est clair que le •■ , u'di'vra, par l'effet de la déformation, se déplacer suivant f\,' \\i\ etque les réactions It, R', nécessairement contenues ,:;;- !(• plan de la fibre moyenne, seront de plus égales. Api i-lons encore T et Q les composantes de l'une d'elles, F une -!i"s liuccs qui agissent entre C et B, Ç et (( les mêmes angles ,;uo tout à l'iieure; on aura

T -:-iFcos5: - G,

10 qui détermine l'inconnue T.

Aliu d'avoir Q, prenons !'>■ et \ix pour axes des coordonnées, et exprimons que A-r, est nul au point B, Nous appliquerons la formule qui donne iar, (n° 89) en prenant le point C

pour ori?;;ine des intégrations cl faisant, en conséquence,

\x, - o, Ir, o. />. - o.

valeurs qui, joinU'S à la condition P; o (n" 81), fournissent l'équation

Si nous remplaçons, comme dans le premier cas, X jwf ^ Q,>'' ''' pf"" ^' '" y j ' "ous aurons

FOnMULBS HT. LA UtFOBHATION 1 CONSEQUENCES. 343

Cl, par suite,

J^^ ei" (Ix ,f^ e Ils

ce qui résout le problème.

95. TRoisiËnE CAS. Pîècn soiilentie pnr un plan sans obstacle direci ù l'allongement de In corde. -- Supjiosons que la pièce déiînie au n" 93 soii soutenue à ses extrémités par un plan sans froilemcnt, qui empéclie les points A et B de pénétrer à son iiuoricur, mais qui n'oppose aucun ol)slacle à leur écariemenl. Alors il est visible que les composantes des deux réactions en A et B, suivant la ligne AG, sont nulles; il ne reste donc que los composantes normiiles T et T', que l'on calculera comme au n" 93.

Si le frottement du plan n'était pas nul et avait un coefficient ôgal à /, on calculerait les poussées Q et Q' suivant la marche du n° 93, dans l'Iiypoilicse de la fixité complète des extrémités de l'arc. En supposant que ce calcul donnât Q^; /T et Q'<^/T' en valeur absolue, il est clair qu'aucun gli.ssement n'aurait lieu et que les clioscs >e passeraienl comme si la fixité supposée existait réellement. Mais, si ces deux inégalités n'étaient jias satisfaites, la corde Aii vaiierailjusqu'â ce que Q elQ' fussent réduites respcctivemenl à /T et /T'. Les réactions totales seraient donc T\'i -, /'", T'v'i ■:,/'; elles feraient avec la normale un angle C(;al à l'angle du frotiemcnt.

Cet exemple, comparé à celui du n°93. montre bien clairement que lu poussée d'un arc ne peut être obtenue qu'en exprimant l'invariabilité de la corde. Toute méthode qui serait fondée sur un autre principe pécberaii par la base; les résultats qu'on en déduirait pourraient 6lrc approximatifs avec certaines données particulières, mais ils seniieni souvent trèsloin de l'exaciilude.

96. QuATBiiiME CAS. Pirce encusirée h sri ih-iix fJ-tri'miièx. — Ce cas ayant peu d'importance pratique, nous reslrcînilrons la qui'Slion, en supposant qu'il s'a^ijse d'un arc symétrique et sjmélriqiipnn'nt cliurgé,

344 CHAriTII CINQUltm.

commp relui dont noHs venons de nous occuper bu n'04. Nous ajouterons simplement celle condition, que, au lieu de eimpleB appuis en A et B {fig. 5-\ il y a lies encoslremenls, c'est-à-dire que la direction de ta t;inç('nli' est m^inlenue invariable en ces points. Alors les réaclions dans les seciion* cMn^mes de\ronl bien toujours être contenues dans le plan .!c 1,1 TiItc m.^yenno: mais, comme on l'a di5jà dll dans une autre occas\n n' it'> . oi!cs ne passeront plus ni^cessairemenl par les points A et B. ?i ^i■nl' n.'.;s ie* ir.msjiorlons en ces points, il faudra en même temps ir.t-.V.-iri' lia couple inconnu, dont nous représenterons le moment }-.:,r ^, e: Vcn ,iura ainsi, au lieu de T et de Qi 'rois inconnues, T, Qet?,

l j ;>r.m;on' sera donnée, comme au deuxième cas, par Téqualion

T-,- ïFcosI --= o,

.;i:. u'.i .lucuiie modillralion à subir. Les deux autres s'obtiendront en cviTLiiuiit que/', et ir, sont nuls pour le point B. A cet cirel, on se s*Tur4 des équations [11) et (lî) du n° 89. Prenant le pointe pour oneue dt'S inlégralioiis, apj)olant toujours a la distance BO, et faisanl i> v-o in-Slj.on trouvera

Or, X' et X' conservant la mfme signification que précédemment [sauf que !* ne Sera pas compris dans le moment X'), on pourra poser

valeurs qui, substituées diins Ici deux dernières équations, donneronl pour ri'MiInlâ

forsiclës de l* déporhatiok; conséquences. 345

ou bien

Ju '"'' '^^ J!. '■'■ ''-^ ..'u '■'■ ''■'"

Les deux inconnues f^ et Q sont en évidence dans ces deu^ âqualions du premier degré. Il sera donc facile de les obtenir lorsque préalablement on aura calculé les diverses intégrales définies, en qu'on pourra toujours faire, au moins par approximation. On coimatt déjà T : le problème est donc résolu, car les réactions sont symétriques eri A et B.

Si la symétrie n'existait {>us comme nous l'avons supposé, il y aurait six inconnue.^, T, Q, j*, et les quantités analogues, T', Q', u', se rapportant au point A. On écrirait d'abord les trois équations d'équilibre des forces extérieures; puis, prenant le point A pour origine des intégrations et les lignes kx, ky pour axes des coordonnées, on appliquerait au point B les è<|uaticns (i ij et (11) du n° 89, au moyen desquelles on exprimerait quii Ar,, A)-j et/j, s'annulent on ce point. On ferait dans ces équations ir„ 4'.. /',i J>. .î„ ■'il 'eus nuls, ^, = sn, P— o (n° 81); on aurait alors les trois équations nécessaires pour acliever do déterminer les inconnues.

07, CiNQUiÈME c.\s. Pièrc iimnic d'un liniiii paml/àk- A tu miiIc ri reposant iimplemeia mr deux appuis. — Re[irenons la pièce considérée au n* 94 et supposons qu'elle soit munie d'un tirant parallèle à la corde. Ce tirant sera une pièce droite articulée à ses deux extrémités; il devra joindre deux points qui, sans son action, tendraient à s'écarter l'un de Taulre. Cette condition est de rigueur si l'on no vcvil cmpluM'r comme tirant qu'une simple lige, en fer par exemple, (\\\\ jnii^^e liL'i^-liit'n résister à une tension, mais flécliissant avec facililé sous um; compression. Il est clair que, si les points d'articulation tendaient à tu rapprorher, le tirant serait à peu près inutile, à moins que ce ne fai une pièce rigide et de forte section. Au reste, les calculs que nous allons faire seraient encore applicables à ce cas. Nous supposerons, en outre, qu'aucune cliargo ne porle directement sur le tirant et qu'on puisse faire abstraction de son poids comme relativement petit. Il s'agit de déterminer sa tension et la réaction exercée par l'un des appuis sur l'arc.

Soient IIL [fig. 57, p. Z.\o) la fibre moyenne du tirant, a /sa longueur, S sa tension, li son ressort longitudinal (n'^], £1 la distance l)K entre la libre moyenne HL et la corde .AB de l'arc. Conservons les autres notations du n"lH et prenons pour axes coordonnés les lignes Dj, Dv. A cause de la symétrie complète par rapport à la ligne Dj, il est évident que le point C

no pont 80 (l(^ï)lacer que suivant cette ligne même et que l'élément su|>ério\ir (io l'nrc n'est pas dévié par l'effet de la déformation; d'un autre

côliS rallongement de la pièce KL, soumise à la tension S, a pour expres-

S/ HÎon * ,\f* 1 et 2^; enfin, B étant un appui fixe, les coordonnées de

Vv\ln^\W\U^ do l'arc sont invariables. Il résulte de là, d'une part, que/?,

Minnulo pour lo point C; d'autre part, que Ax, est nul en C et B et égal

S/ i\ ' au point do jonction L du tirant avec la pièce principale. Donc, si

Ton applii^uo la première des équations (11) du n° 89 aux points L et B, ot îii Ton place au point C l'origine dos intégrales définies, on aura, en ivntuMianl toujours à supposer P— o (n" 81),

rXrrh . r"N, I t'T" (Ij: ! C'

Or on peut poser :

Entre x ~- o et ,v

Entre x l et .r - n.

• X-X'-^Qr-S(,r-/0.

/ X X' Qj,

' fis

Li valeur de la réaction T pnrallî'le au\\>- étant la môme qu'au n" 94. X' et N' sont immédiatement calculables pour chaque point en fonction (le .r, r et des forces connues. Substituant ces valeurs de X et de N dans les deux équations précédentes, on trouve

-i S ( / • -- -Ar-i- / - ~ (h

\ J„ ^' dx J^^ c Us

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J et" (ix J c