V .' ^''"* d'i' ' C ds I

V ' cr ^ (ix . / c (is r, )

Ces deux équations du premier degré ne contiennent plus que les inconnues 0 et S, qui sont par conséquent déterminées.

Si pour plus de rigueur on voulait tenir compte du poids du tirant, cela ne compliquerait pas notablement la question. Les mêmes équations symboliques subsisteraient. Seulement, U étant la moitié du poids en question, on devrait, dans le calcul de T, X', N', comprendre les termes qui seraient produits par le poids il appliqué au point L.

II arrive quelquefois que les tirants sont formés de deux tiges en prolongement l'une de l'autre, réunies dans un même écrou à une de leurs extrémités. Ces deux extrémités, qui sont réunies dans l'écrou, portent des vis filetées en sens contraire, de telle sorte qu'en faisant tourner l'écrou on produit un serrage, c'est-à-dire une diminution de la longueur totale du tirant. Si ce cas se présentait, au lieu d'égaler la variation Sj.\

du point Là-, on devrait l'égaler à la même quantité diminuée du

raccourcissement dû au serrage. On peut concevoir que le serrage soit réglé pendant la construction môme, de manière à rendre Q sensiblement nul; la première des deux équations précédentes suffirait alors pour calculer S, après y avoir fait Q = o; la seconde, modifiée en supprimant de môme lo terme qui contient Q et introduisant le serrage, servirait, au besoin, à déterminer théoriquement cette quantité.

98. Analyse sommaire diui cas plus gr/wrnl, — Supposons un réseau de pièces dont les fibres moyennes sont dans un mémo plan contenant aussi les forces extérieures, et dont les sections ont une forme telle, que la déformation se produit aussi dans ce plan (n* 88). Ce réseau est formé par une pièce principale sur laquelle viennent s'embrancher, par arlicukition ou encastrement, des pièces secondaires, indépendantes les unes des autres. On suppose que la pièce principale ait / points assujettis à glisser sur des courbes fixes sans frottement , j points fixes, parmi lesquelsy' sont des appuis simples et j" des encastrements, /• groupes de deux points reliés par des tirants articulés à leurs extrémités, / points reliés à des points fixes par autant de pièces; parmi ces / pièces, il y en a /' articulées à leurs deux extrémités, /" encastrées à leur extrémité fixe et articulées à leur point de croisement avec l'arc principal, /"' encastrées, au contraire, à ce dernier point et articulées à l'autre, /"" encastrées à leurs deux extrémités. Étant données la définition géométrique du système et les forces qui le sollicitent, on demande les réactions des points fixes et les actions mutuelles des diverses pièces les unes sur les autres.

A chaque point assujetti à demeurer sur une courbe sans frottement répondra une réaction dont il n'y aura que l'intensité à rechercher, car sa direction sera celle de la normale à la courbe; à chaque articulation correspondront des forces inconnues qui sont les composantes de la réaction totale suivant deux axes coordonnés; pour chaque encastrement il y

aura, outre ces deux forces, une inconnue de plus, qui sera le moment du couple engendré par le transport en un point déterminé, de la réaction totale, dont on ne connaît plus d'avance le point d'application. On sait, en etTet, que dans un assemblage articulé la réaction totale exercée sur une pièce par Tarticulation passe au centre autour duquel la rotation peut s'effectuer; mais il n'en est plus de môme, évidemment, dans le cas d'un assemblage rigide, qui est capable d'empêcher une rotation autour de son centre. Ainsi donc il v aura un nombre total d'inconnues égal à

Faisons maintenant le dénombrement des équations que nous pouvons écrire pour les déterminer. '

En premier lieu, la Statique des systèmes invariables nous donnera trois équations d'équilibre pour chaque pièce, soit en tout 3(X- — /-f- 1).

Les variations Ax, \r des deux coordonnées de tout point glissant sur une courbe fixe ont entre elles une relation obligée. Soit, en effet, y = f[x] l'équation de la courbe ; à cause de la petitesse de Ax et A,>', on aura

Av.-/'(.r)A.r.

En mettiint pour x la valeur qui résulte de la figure donnée du système, pour Aj et A.r leurs expressions en fonction des forces, cela fera donc une équation pour chaque point se trouvant dans la condition dont il s'agit, soit en tout /.

Les coordonnées de chaque point appartenant à deux pièces différentes doivent varier de la même quantité, ([uelle que soit celle des deux à laquelle on l'attribue ; comme il y a 2/ -î- / points dans ce cas, en exprimant ce fait, on posera 2 ('2/ h- /) équations, ci 2(aX- -r /).

La variation angulaire p doit être la même pour deux sections faites au point où deux pièces viennent s'encastrer Tune dans l'autre. On aura, pour exprimer cette condition, un nombre d'équations qui sera /'"-+- /*'.

Les variations des coordonnées sont nulles pour chaque point fixe; si donc on égale ces variations à zéro, on trouvera de cette manière des équations dont le nombre sera a(y -+-/).

Enfin les variations d'inclinaison des sections normales faites aux points fixes d'encastrement sont nulles, ce qui donne encore lieu ày-f- 1" ^ /'* équations, ci j" -^ /'-h /".

En récapilulant, on voit qu'il y a en tout

/ - ij-^'j"-^ 7X - 7/ -T- r-i- /'"-r-2/^^-^ 3 équations. Nous avons vu que le nombre des inconnues est de

or on a, d'après la définition môme des lettres,

par suite, le nombre des inconnues est encore exprimé par

Donc le nombre des équations posées ci-dessus dépasse de 3/-t- 3/-i- 3 celui dos inconnues. Mais il est à remarquer que dans ces équations entreront nécessairement, comme on l'a vu au n° 91, des constantes représentant pour chaque pièce le mouvement delà section initiale. Ces constantes seront au nombre de trois pour chaque pièce, et, puisqu'il y a A-hl-hi pièces, en comptant la pièce principale, les tirants et les pièces secondaires, on aura donc en définitive 3(/H-/-r-i) inconnues auxiliaires, et, par conséquent, il y aura juste autant d'équations que d'inconnues.

Cet exemple pourrait, sans beaucoup de difficulté, recevoir une î:énéralité plus grande, en écartant les hypothèses de la déformation plane de Tindépendance des pièces secondaires, etc. Mais, quand en essaye d'exécuter des calculs de cotte espèce, même pour dos systèmes composés d'un petit nombre de pièces, on est frappé do leur immense complication ('). La généralisation dont il s'agit aurait donc peu d'intérêt pratique.

§ m. — Remarques et théorèmes concernant la manière dont les forces extérieures entrent dans les formules qui font connaître la déformation d'une pièce. Conséquences.

99. Expression, en fonction des forces extérieures, des facteurs contenant ces forces et entrant dans les formules générales de la déformation. — Quand on examine les formules démontrées aux n°* 85 et 86, pour calculer la déformation d'une pièce dans le cas le plus général (qui comprend par

(*) Foir dans nos Recherches analj tiques sur la Jlexion et la résistance des pièces courbes, Chap. III, § VI, le calcul des actions mutuelles et des réactions des appuis pour un pont du système Yergniais.

35o GHAPITBE GINQUIÈHB.

suite tous les autres], on y voit figurer d'abord un certain nombre de quantités dépendant de la forme et des dimensions de la pièce, puis d'autres quantités qui, direclemeni ou indirectement, dépendent des forces extérieures; ces dernières quantités sont désignées par

Plus exactement on trouve les huit fonctions des forces extérieures

N, V, Pcosa, Pcost, Pcosc,

Xsinoro^) Xs'»n<5cosa Xsin^rosv /- /■' r'

or ces huit fondions jouissent d'une piopriété, sinon remarquable, du moins irès-utile, que nous allons démontrer : ce sont des fonctions linéaires des forces extérieures, sans terme indépendant, ou, en d'autres termes, chacune d'elles ebl égale à la somme des valeurs parliculières qu'elle prendrait si l'on faisait agir les diverses forces extérieures successivement et isolément, chaque force étant prise à part et en excluant les autres.

Afin de facililor le lani^age, nommons

j^- J^C, 11U1111I1UII.> I

12 une section transversale quelconque;

G son centre d'élasticité;

F, F', F", ... les forces extérieures qui agissent sur la pièce

entre la section 12 et la section finale; R la résultante de translation de ces forces; M l'axe représentatif de leur moment résultant par rappoit

au point G.

Les deux premières fonctions N et V sont la somme des projections des forces F, F', F", . . . sur la normale en G au plan 12 et la somme des moments des mêmes forces relativement à la môme droite; il est visible qu'elles satisfont à l'énoncé de notre proposition.

La fonction Pcosa, projection de l'effort tranchant sur Taxe des x^ s'obtient en projetant la résultante R sur le plan 2 et projetant ensuite cette projection sur Taxe des x\ or la force 11 ferme le contour polygonal construit sur F, F', F", .. ,

FORMULES DE LA DÉFORMATION; CONSÉQUENCES. 35l

ei, par suite, la même circonstance se maintient après la double projection dont on vient de parler : donc la projection finale Pcosrt sera la somme des projections finales des différentes forces F, F', F'', . . ., chacune d'elles devant d'abord être projetée sur le plan Q et de là sur l'axe des x. Chaque force est ainsi multipliée par deux cosinus, et il est clair que la somme des produits renferme F, F', F'', ... au premier degré, sans avoir d'ailleurs de terme indépendant. Donc la proposition est encore vraie pour Pcos«; la même démonstration prouve qu'elle Test aussi pour Pcos^ et Pcosc.

Il reste encore à montrer qu'elle s'applique également aux trois dernières fonctions, qui dépendent du moment fléchissant X. Ce moment a pour axe représentatif la projection orthogonale de M sur le plan iî, et cetle projection, d'après la théorie des moments donnée en Mécanique rationnelle, serait elle-même la résultante des projections analogues obtenues en prenant isolément chaque force F, F\ F", .... De là il suit que la flexion produite par X est (n°C5) la résultante de celles que produiraient les couples fléchissants dus à chacune des forces F, F', F , , . ., ou, ce qui revient au même, que la projection de la flexion résultante sur un axe est égale à la somme algébrique des flexions partielles projetées. Si l'on écrit cetle équation de projection pour les trois axes coordonnés des n" 85 et 8G, et qu'on supprime dans tous les

termes le fadeur comnnm '% on obtiendra trois relations

d'après lesquelles les quantités

Xsin^cosA Xsin^rosa Xsinâcosv

sont respectivement les sommes algébriques des quantités semblables calculées séparément pour chacune des forces

F, F', F", Maintenant il ne reste plus qu'à mettre en

évidence, dans chaque moment fléchissant produit par une force isolée, le facteur qui représente l'intensité de la force, et alors les trois produits ci-dessus se trouveront exprimés d'une manière conforme à l'énoncé de la proposition dont il s'agit.

Les huit fonctions énumérées plus haut jouissent donc bien

de la propriété d'être linéaires cl sans terme indépendant, par rapport aux lettres qui expriment l'intensité des forces extérieures; les divers termes de ces fonctions linéaires contiennent en outre comme facteurs les cosinus des angles que chaque force fait avec les axes coordonnés, et aussi les coordonnées des points d'application, sans parler de ce qui est nécessaire pour définir la section à laquelle se rapportent N, P, X, V. Au reste, il est facile de s'arranger pour que tout ce qui concerne les forces ne figure plus qu'au premier degré dans les huit expressions. Prenant une force F, par exemple, on la transportera parallèlement à elle-même au centre d'élasticité do la section transversale qui contient son point d'application (il ne s'agit plus ici de la section 12}, en lui adjoignant simultanément un couple convenablement choisi; puis on décomposera la force dans sa position nouvelle, en trois forces parallèles aux axes coordonnés, et le couple en trois couples perpendiculaires à ces axes. Il est clair qu'on n'aura ainsi rien changé à N, P, X, V pour une section quelconque, et que par conséquent la déformation et les tensions moléculaires seront restées les mêmes, puisque la force F est remplacée par un système équivalent et appliqué à la même section. Or, après celte transformation, il reste seulement des forces do directions constantes, appli(juées sur la fibre moyenne, et des couples dont les plans ont toujours les mêmes orientations. La somme des projections sur un axe et la somme des moments relativement à un axe ne contiendront donc plus, comme éléments destinés à définir les forces, que les intensités des forces et couples qu'on leur a substitués; le surplus proviendra de l'axe ou des dimensions de la pièce. Enfin ces forces et couples substitués n'entreront qu'au premier degré, en vertu même de la proposition démontrée plus haut; on aura donc bien atteint le but qu'on s'était proposé.

100. Expressioriy en fonction des forces et du coefficient r, des six constantes AjTo, ùi)\, A-o, /"o, n^y pc, qui déterminent le mouvement de la section initiale. — Les six constantes qui déterminent le mouvement de la section initiale pourraient être données d'une manière absolument indépendante des

PORMUIricS DE LA DÊFOBSIATION ; CONSÉQUENCES. 353

forces; mais dans les applications pratiques il n'en sera presque jamais ainsi. Les conditions qui ont servi précédemment à en irouver la valeur (n**91) reviennent toutes à égaler à zéro les variations de coordonnées d'un point ou la rotation d'une section; nous admettrons, comme un fait, qu'il en est toujours de même; toutefois, comme le contraire peut avoir lieu, ce sera une restriction apportée à l'entière généralité de nos déductions, et il conviendra de ne pas l'oublier. On conclut facilement de notre hypothèse que les six constantes sopt des fonctions linéaires, sans terme indépendant, des forces extérieures et du coefficient de dilatation r, c'est-à-dire que, en appelant K, K,, K„ . . . , K, des coefficients qui dépendent seulement des dimensions de la pièce et de la situation des forces extérieures, on aura, pour exprimer une quelconque de ces constantes, des valeurs de la forme

1} KF4-K.F,-+-K,F.-r...îv,T.

En effet, après qu'on aura remplacé dans Aj;,, Aj,, Az,, m,, «„/?, (n°'85 et 86) les huit quantités ci-dessus considérées in" 99) par leurs valeurs en fonction des forces, on aura des fonctions linéaires^ sans terme indépendant, des quantités Ax«, Ajo» Azo, mo, /lo, /?o, T, F, F,, F,, Donc les six équations d'où l'on devra tirer les inconnues A^o, A j», A Zo, /?/„, n^, pt seront du premier degré, et les termes indépendants des inconnues (qui sont les seuls dans lesquels entrent?, F, F„ Fj, ...) auront la forme (i); donc enfin ces inconnues auront aussi des valeurs de la forme (i), car, pour calculer chacune d'elles, il faudrait multiplier les termes indépendants par divers coefficients des inconnues, et faire des sommes de produits pareils.

101. Expression, en fonction des forces et du coefficient t, des six quantités Ao:,, Aj,, Az,, m,, /ii, /?,, qui déterminent le mous^ement d'une section quelconque, — En reprenant les formules des n" 85 et 8C, et remplaçant N, P, X, V, ainsi que Aj:„ A^'., Azç, nu, Tio, poy par leurs valeurs, qui sont de la forme (i) avec ou sans le dernier terme, on trouve encore des valeurs qui ont la forme (i). Donc on peut énoncer ce théorème, dont la vérité subit toujours la restriction du n^'lOO :