I. 3*édil
Les six quantités Ax,» A^t» A2,» m,. Ht, /?„ qui caractérisent la déformation en un point quelconque de lajihre mojrenne, sont des fonctions linéaires^ sans terme indépendant^ des forces extérieures et du coefficient de dilatation r provenant de causes étrangères à ces forces.
Ou bien encore, on peut remarquer que, si dans une fonclion de la forme (1) on suppose successivement que chacune des quaniilcsF, Fi.Fj, . . ., r subsiste seule, les autres s'annulanl toutes, on reproduira, Tun après l'autre, tous les termes de la fonction. Donc le théorème précédent peut encore s'énoncer en disant :
Les six éléments de la déformation en un point quelconque de la fibre moyenne s'obtiennent en faisant pour chacun d'eux la somme des valeurs qu'il prendrait si l'on faisait agir successivement, d* abord les diverses forces extérieures, puis la dilatation provenant de causes étrangères à ces forces.
Ainsi TelTel spécial du à chaque force n'est pas altéré par la présence des autres; les déformations se superposent pour donner Teifet total. Cette conséquence n'aurait pas pu être établie si les déformations n'avaient pas été supposées trèspetites et si l'on avait eu pour déterminer les six constante> des conditions d'une autre espèce que celle admise plus haut; elle serait également infirmée si le coefficient de dilatation T n'était pas indépendant des charges, par exemple si la chaleur ne dilatait pas également une barre tendue et une barre comprimée, ce que, à notre connaissance, les physiciens n'ont pas vérifié.
102. Expression des forces inconnues en fonction des forces données. Conséquence relative aux éléments de la déformation. — Distinguons les forces extérieures qui agissent sur chacune des pièces composant le système considéré en deux groupes : le premier comprendra celles qui sont des données immédiates; le second, celles qui sont inconnues a priori ei que l'on doit déterminer d'après les conditions du problème, suivant les procédés qui ont été indiqués dans le § H. Comme on l'a vu, les équations que Ton doit poser à cet effet sont de deux espèces différentes. La première espèce d'équations est
FORMULES DE LA DÉFORMATION; CONSÉQUENCES. 35f>
foarnie par la statique des systèmes invariables : on égale à zéro soit la somme des moments des forces par rappori à un axe, soit la somme de leurs projections sur une droite déterminée. Il est clair que par ce moyen on obtient loujours des équations dans lesquelles loules les forces, données ou non, entrent au premier degré, sans terme indépendant. Les équations de la seconde espèce sont celles que Ton trouve en exprimant que tout point qui glisse sur une courbe fixe se meut suivant la tangente à cette courbe, en égalant à zéro les déplacements absolus de certains points immobiles, ou les variations angulaires des encastrements fixes, ou les différences de ces quantités pour certains points avec les quantités analogues évaluées pour les mêmes points, considérés comme appartenant à une autre pièce (n" 98). De toute manière, si Ton a pris pour inconnues les composantes des forces cherchées suivant trois directions rectangulaires et leurs moments par rapport à trois axes déterminés (n°99), on pose toujours {n*101) une série d'équations dans lesquelles toutes les forces et le coefficient t entrent au premier degré, et où il n'y a pas de terme indépendant de ces quantités.
Toutes les équations qui serviront à déterminer les forces inconnues seront donc des équations du premier degré, dans lesquelles le terme indépendant des inconnues sera une fonction lii>éaire, sans terme constant, des forces données et du coefficient de dilatation. Donc, d'après ce que nous avons déjà dit (n" 100) sur les valeurs des inconnues dans un système d'équations du premier degré, on arrive à cette conclusion :
1° Les composantes des forces inconnues suivant trois directions rectangulaires et leurs moments par rapport à trois axes dé, terminés sont des fonctions linéaires des forces données et du coefficient de dilatation t, sans terme constant.
a° Les mêmes composantes et moments peuvent se déterminer en faisant la somme des valeurs quon obtiendrait si Von conservait une seule des causes qui les produisent, toutes les autres étant supprimées.
Les causes sont ici les forces données et le coefficient de dilatation.
3f)G CHAPITRE CIKQUIËUE.
Nous avons vu au n'' 101 que les élémenls de la déCormatîon en un point quelconque de la fibre moyenne» c'est-à-dire les six quantités Ao:,, Ajj, Azi, nu, n,, pi sonl des fonctions linéaires des forces extérieures et du coefficient de dilatation T, sans terme constant. Si l'on imagine que dans leurs expressions on remplace les forces extérieures inconnues par leurs valeurs en fonction des forces données, d'après le théorème précédent il est clair que Ton aura toujours une somme de termes dont chacun sera proportionnel à Tune des forces données ou à t. Donc le théorème du n** 101 et la conséquence que nous en avons tirée peuvent être modifiés en ce sens qu'au lieu de toutes les forces extérieures on est en droit (j'y faire entrer seulement les forces extérieures données; seulement, quand on fera le calcul pour Tune des forces séparées ou pour la dilatation, on devra tenir compte des forces extérieures qui s'exerceraient dans les liaisons de chaque pièce, sous la seule action de cette force ou dilatation.
Il est bien nécessiiire de remarquer ici, pour ne pas faire d'application inexacte des théorèmes précédents, qu'ils sonl sujets à une restriction tout à fait analogue à celle qu'on a exprimée (n*» 100) lorsqu'il s'agissait des six constantes. On a vu qu'il y a deux espèces d'équations servant à déterminer les réaciions inconnues, et nous avons admis, comme fait ordinairement réalisé, que celles de la seconde espèce s'obtiennent en égalant à zéro les déplacements de certains points ou certaines rotations, etc. Or, le contraire peut encore arriver ici, de même qu'au n** 100, et nous en avons donnné un exemple au n° 2C, à l'occasion d'un théorème qui se trouve renfermé, comme cas particulier, dans ceux que nous venons de démontrer aux n°* 101 et 102.
En résumé, ces théorèmes ne devront être appliqués que dans les cas où la nature des conditions propres à détennlner les six constantes et les forces inconnues serait bien celle que nous avons admise, sans quoi l'on pourrait se tromper gravement.
103. Autre énoncé des propriétés établies au n" 102. — Les théorèmes que nous venons d'établir s'énoncent encore d'une autre manière. Puisque la variation de l'abscisse lixx est la
somme des variations que Xi éprouverait si chaque force connue et la dilatation 7 agissaient successivement à l'exclusion de toutes les autres causes, et puisque Ta^e des x est arbitraire, on peut immédiatement conclure renoncé suivant :
Quand les théorèmes du n° 102 sont applicables, le déplacement de l'un des points, par suite de la déformation, est la résultante [c'est-à-dire la ligne qui ferme le contour poljgonal] des déplacements qui se produiraient si l'on faisait agir isolément et l'une après l'autre toutes les forces extérieures connues et la cause des dilatations linéaires indépendantes des charges.
Le même théorème est vrai pour la rotation d'une section normale; il se démontrerait d'une manière toute semblable, li s'applique encore et se démontre de même quand il s'agit de trouver l'une ou l'autre des six quantités (trois sommes do prdjections et trois sommes de moments) nécessaires pour définir un système de réactions inconnues qui s'exercent dans une section donnée. II n'est même pas nécessaire qu'on cherche isolément cliacune des six quantités en question : on peut dire que le système des réactions à trouver est équivalent à l'ensemble des systèmes dont chacun comprendrait les réactions partielles dues à l'une des forces connues prise toute seule.
104.. Forces équivalentes. — Dans la Statique, on appelle systèmes de forces équivalentes ceux qui ont une même résultante de translation et un même moment résultant pour un point quelconque : l'un des deux systèmes appliqué à un corps invariable en équilibre peut être remplacé par l'autre sans que l'équilibre soit troublé. Mais ce qui peut changer beaucoup en pareil cas, ce sont les pressions et tensions des diverses parties du corps, et ses déformations, s'il n'est pas rigoureusement invariable. Par exemple, un système de deux forces égales et contraires appliquées aux deux extrémités d'une droite ne troublera pas l'équilibre, mais il est visible qu'il modifiera les actions intérieures et produira une variation de longueur.
On devra donc procéder avec circonspection, dans tous les
358 GIIAPITBE CINQUIÈME.
problèmes relatifs à la déformation et à la résistance des matériaux, toutes les fois qu'il s'agira de remplacer une résultante par ses composantes, ou inversement, ou plus généralement toutes les fois qu*on voudra substituer un groupe de forces à un autre groupe équivalent. La condition pour que deux groupes de forces soient réellement équivalents, au point de vue qui nous occupe, c'est que les valeurs fournies par les deux groupes pour les quatre quantités N, P, X, V soient constamment les mêmes dans toutes les sections, car on a vu, par toutes les formules établies jusqu'à présent, que les deux groupes entraîneraient alors les mêmes déformations et les mêmes tensions intérieures. Ainsi l'on pourra, par exemple, remplacer une résultante par ses composantes; mais il faudra que les points d'application des unes et des autres restent dans la même section : c'est là une condition indispensable. En effet, supposons une force R appliquée au point H de la section normale CD (^g-, 58); nous pouvons parfaitement, sans ^ . changer N, P, X et V en aucun point
^ ' de la pièce, remplacer R par deux
1 composantes S, Q concourantes en
"t^ 7 ^ H. Mais nous n'avons pas la liberté
i\X^^ .^ de transporter R, S ou Q en une autre ^' v^ B section que CD. En effet, si Ton doit considérer les forces qui agissent depuis une certaine section jusqu'à l'extrémité B, il faut cesser de compter R ou ses deux composantes dès l'instant qu'on a dépassé la section CD. Or c'est ce qui n'aurait pas lieu si Ton appliquait R en K ou bien S en I, par exemple. Il est clair que de cette manière on introduirait dans les expressions de N, P, X, V, entre L et K ou entre L et I, une force qui ne devrait pas y figurer.
105. Propriété des arcs symétriques, mais non symétriquement chargés, — Lorsqu'un système de pièces est symétrique par rapport à un plan, sans que les forces extérieures soient distribuées symétriquement, et qu'on suppose applicables les théorèmes des n*'* 101 et 102, il existe entre les circonstances de la déformation pour les points symétriques une relation dont on pourra quelquefois tirer parti.
Prenons pour axe des x une perpendiculaire au plan de symélrie, ei supposons les axes des y ei des z situés dans ce plan; soient :r,j,z,:r', r, -s' les coordonnées de deux points symétriques; A:r, Aj, Az, /w, /i, /?, A^r', Aj^, A2', m', n',// les six quantités qui caractérisent la déformation en chacun de ces points. Imaginons qu'on rende symétrique le système des forces données (F) en doublant par des forces symétriques celles qui en seraient dépourvues; alors on aura pour le point Xyj-y z) les six éléments de la déformation A^,, Aj,, Az,, m,, Wi,/i„ et pour le point symétrique on aura — A^,, A/,, Az,, m,, — Hi, — pi. De même, si au lieu de doubler toute force non symétrique on la supprime complètement, on aura pour le point [x^ yy z] les éléments de la déformation Aar„ A/„ A2,, m,, 712, /?!. En désignant par (F,) et (F,) les systèmes de forces symétriques auxquels répondent A^, et Aa:,, on voit qu'en passant de (F,) à (F) il y a, dans les éléments de la déformation pour le point [Xy y^ s], des variations représentées par
\ ^x — Axa, Ar— A}*3, As — Az;,
I m — /??„ n — lit, p — P2,
et ces variations seraient les éléments de déformation qui se produiraient au point dont il s*agit par la seule action des forces du système (F) dépourvues de symétriques (n®* 101 et 102), car ce sont ces forces qu'il a fallu ajouter pour passer
lie (F,) à (F).
De même on reconnaît que, dans le passage de (F) à (F,), il y a dans les éléments de la déformation pour le point [x^y^z'] des changements représentés par
( —lx, — lx', A;',~A/, Aw,-A3', ^ ' I rrii— m\ — n,— n' , — p, — //,
et ces quantités seraient les éléments de déformation dus à la seule action des forces par lesquelles diffèrent les systèmes (F) et (F,), lesquelles sont symétriques de celles qui constituent la différence de (F) et (F,).
Celte dernière remarque montre que les quantités (2) doivent être symétriques des quantités (3), et, par suite.
36o CHAPITRE CINQUIÈME.
on aura
Ax — Axz-- A.t'i n- Ax' ,
A/ — Ar^ — Ar. — A> .,
m — /;/3=r //?, — m', /i — //, :^ rt, -h /i', .
relations très-simples dont on pourra souvent tirer parti, car la condition de symétrie dans les forces est de nature à faciliter les calculs, en sorte qu'on aurait plus commodément Ax, et Axj, par exemple, que A:r et Ax'.
Nous aurons encore la même chose à dire au sujet des forces inconnues, et la démonstration serait absolument identique. Les axes des coordonnées (x, y\ z] étant toujours déûals comme nous venons de le faire, appelons A, B, C les trois composantes parallèlement à ces axes du système de forces inconnues qui provient d'une des liaisons; soient aussi H, K,L la somme des moments de ce système par rapport aux mêmes axes, A', B', C, H', k', V les quantités analogues pour le point symétrique; A,, B„ C,, H,, K,, L,, A„ Ba, C., Ha, Kj, Lj.ce que deviennent A, B, C, H, K, L quand on remplace le système des forces données (F) successivement par (F,) et par (Fj).
On aura
B - B, rr-, B, - B',
ij • — Li.' — -- \*\ ' \.é ,
lI-lLr:r:H,~-H',
En résumé, lorsqu'un système de pièces est symétrique par rapport à un plan, mais non symétriquement chargé, si on le ramène à la symétrie de deux manières, i° en ajoutant pour chaque force extérieure privée de sa symétrique une force égale en intensité et située symétriquement, a** en supprimant les forces dont les symétriques manqueraient, et si dans ces deux hypothèses on. détermine l'un des six éléments de la
FORMULES DE LA DT^FOnUATION ; CONSÉQUENCES. 36 1
déformation en un poinl de la fîbre moyenne: alors la somme des deux quantités ainsi déterminées sera égale à la somme ou à la différence des quantités analogues, calculées pour le poinl considéré et pour son symétrique, avec le système primitif de forces. La même propriété est vraie pour les composantes d'une réaction inconnue, parallèlement aux trois axes coordonnés, et pour ses moments par rapport aux mêmes axes. On doit, dans Tapplication de ce théorème, prendre deux des axes coordonnés dans le plan de symétrie et le troisième perpendiculaire à ce plan. On doit de plus prendre la différence des quantités analogues pour deux points symétriques, lorsque la symétrie leur donne des directions opposées. C'est ce qui arrive, par exemple, pour les déplacements ou forces en projection sur la perpendiculaire au plan de symétrie; r*esi ce qui arrive aussi pour les rotations et moments autour de lignes contenues dans ce plan.
106. application du théorème général démontré au n° 105. — Nous allons montrer, par un exemple très-simple, Tusagc qu'on peut faire du théorème qui vient d'être démontré. Supposons une pièce symétrique par rapport à une verticale et reposant sur deux appuis de niveau : celte pièce étant chargée de forces d'une manière quelconque, on demande de déterminer les poussées horizontales qu'elle exerce contre ses deux appuis. Soient F Tune des forces données qui agissent sur la pièce, et ? son angle avec une horizontale prise pour axe des j;; Q, Q' les poussées demandées estimées suivant les x positifs avec un signe convenable; Oi et — Q, ce que deviendraient ces forces en complétant la symétrie du système proposé par l'addition de nouvelles forces comme il est dit au n*»105; Qa, — Q. les valeurs qu'elles prendraient en supprimant les forces ajoutées et leurs symétriques en même temps.
On«ura (n« 105]
De plus, en vertu de l'équilibre des forces extérieures, il faut
que l'on ait
Q-r-Q' -hl¥cos'Ç = o.
Si l'on savait calculer la poussée dans le cas de forces symé-
36!» CnAPlTKB CmQUlfcME.
triques, on pourrait avoir celle qui correspond au cas où la symétrie n'existe plus, au moyen de deux équations du pre* mier degré extrêmement simples. *
Lorsque 2F cosC est égal à zéro, comme par exemple lorsque Tare ne supporte que des poids ou des forces symétriques en intensité et en direction, sans l'être nécessairement en position, on a
les deux poussées sont égales et de sens contraires, et la première relation devient
c'est-à-dire que la poussée est la moyenne arithmétique entre les poussées Q, et Qa.
v§ IV. — Des mouvements vibratoires dans les pièces élastiqnes.
107. Principes généraux servant à la mise en équation des mouvements vibratoires. — Les formules données au § I de ce Chapitre, qui font connaître les diverses circonstances de la déformation d'une pièce élastique, ont été établies en exprimant qu'il se produisait entre deux sections consécutives de la pièce un déplacement relatif développant des actioas moléculaires capables de faire équilibre à un certain système de forces extérieures* Lorsque la pièce vibre, naturellemeni cet équilibre n'existe plus; mais, en. vertu du principe de d'Alembert, on sait que les équations qui sont la conséquence de l'équilibre d'un système matériel doivent être encore satisfaites dans l'état de mouvement, pourvu qu'aux forces réelles on joigne les forces d'inertie des diverses moléeuies. Poar avoir les équations du mouvement Ttbratoire/totit se réduirait donc à introduire dans les formules du § 1 lesdites forces d'inertie, qu'on devrait y faire figurer en évaluant les quatre fonctions des forces désignées par N, P, X, V. Ces forces d'inertie seraient d'ailleurs exprimées au moyen des déplacements des divers points, considérés comme fonctions du tçmps.
Un autre procédé» qu'il sera ordinairement plus coroniode
FOnnULES DE LA DÉFORMATION; CONSÉQUENCES. 363
d'employer, consisterait à faire Tapplication du principe de d'Alembert, non plus à la portion de pièce comprise entre une section normale et rextrémiié, mais à l'élément prismatique infiniment petit compris entre deux sections normales infiniment voisines. Nous allons faire usage de cette méthode pour mettre en équation le mouvement vibratoire d'une pièce homogène, à fibre moyenne plane, à section constante et symétrique par rapport au plan de la fibre moyenne. Les forces extérieures agissant sur la pièce entre deux sections normales quelconques sont supposées réductibles à des forces contenues dans ce plan, parallèlement auquel sont dirigées les vitesses des mouvements que les sections possèdent à l'instant pris pour origine du temps. D'après ces conditions, il est clair qu'on se trouvera dans le cas de la déformation plane, r'est-à-dire qu'à une époque quelconque du mouvement tous les points auront des vitesses parallèles au plan de la fibre moyenne.
Celaposé, soient AB la pièce donnée [Jfg'^9); CD, CD' deux
ds
sections normales infiniment voisines, dont G et G' sont les centres d'élasticité. Appelons
û l'aire constante de la section transversale;
r le rayon de gyralion de cette surface relativement à l'axe autour duquel s'opère la flexion;
5 la longueur, comptée dans l'étal primitif de la pièce, entre le point G et un autre point A de la fibre moyenne, pris pour origine;
0 le rayon de courbure primitif de la fibre moyenne en G;
364 CHAPITRE GINQUIÈUE.
1/, if les déplacements du point G à un instant quelconque» parallèlement à la direction Gu de\a tangente et à la direction GC de la normale, prises toutes deux dans l'état primitif;
6 la variation de l'angle que fait GC avec une ligne fixe, celle roiation 6 étant comptée positivement dans le sens des aiguilles d'une montre, pour fixer les idées;
R, T les sommes algébriques des projections des forces directement appliquées à Télcment CDC'D', les projections étant respectivement faites sur les lignes G m et GC, et les forces étant divisées par la masse de l'élément en question;
M la somme des moments des mêmes forces rapportées à l'unité de masse, relativement au centre de gravité dp CDC'D', le sens posiiif étant le même que pour 9;
g l'accélération des corps pesants dans le vide;
n le poids par mètre cube de la malière qui constitue la pièce;
E son coefficient d'élasiicité longitudinale;
/ E son coefficient d'élasticité transversale.
La forme de la fibre moyenne dans son état primitif élaul donnée, la position primitive d'une seclion sera suffisamment définie par la valeur de s qui lui correspond. A l'instant pris pour origine du temps, celte seclion ayant reçu des déplacements et des vitesses connus, et les choses étant de même pour les autres sections, il s'agit de déterminer le mouvement de la pièce. Il est clair qu'on y parviendra si l'on peut exprimer en fonction de s et du temps / les trois quantités u, i', S. C'est ce que nous ferons à l'aide du principe de d'Alemberl; mais auparavant il faut chercher comment on exprime les forces d'inertie de la niasse comprise dans Télément CDC'D', ainsi que les actions moléculaires exercées sur cette masse par la matière voisine, au moyen des déplacements u, v, 0 et de leurs dérivées en s et t.
La masse totale du prisme CDC'D' est —Hds; l'accélération
de son centre de gravite a pour composantes-— et -j-\ la résultante de translation des forces d'inertie de celte masse aura donc pour composantes, parallèlement à u et à v, les
FOBMULKS DE LA DËFOUHATIOU ; CONSËQL'ENCES. 3&'i
forces — —lias ■
g "'■ s "'■ lojrne autour de son centre de gravité avec une vitesse angu-
, . dO ... . , . <l^0
laire -7- et une accélération angulaire -^i a ou résulte un
couple d'inertie ayant pour inlensilé le produit du moment
„. . (/'ù , . ^. n,. . ,ii-o
il inertie par ^-^ c est-a-dire Udi.r'-;— ■
Quant aux actions moliiculaires exercées dans CD, par exemple, on observera en premier lieu qu'elles dépendent uniquemeot du mouvement relatif des deux sections Cl), CD'. Le mouvement absolu de CD consiste en une translalioni'u, fjel une rotation 0 autour de G, qu'on peut remplacer par une rotation égale autour de G', jointe à une translation — 0. GG' ou — Ods, parallèle et de sens coniraire avec Gi';pour avoir le mouvement relatif, on prendra ce^ mouvements u, v, — 'jds et 0 en sens contraire, et on les composera avec le mouvemeni de CD', lequel consiste en une translation
( l une rotation 0 -i- -r " as
relative ou flexion sera exprimée par -j- ds; reste à exprimer
lu translation relative, ou plutôt ses composuntes parallèlenieotà u et v, qui constituent respectivement l'extension et le glissement simples, entre les section!) dont il s'agit. Kn projetant d'abord sur G«, la translation — n se projette en
vraie grandeur, et il en est de mCme de u ^ -- ds, auv infini-
meni petits du second ordre prôs; v -!- - ds, faisant avec Gh
un angle complémentaire de l*angle GOG' des deux sections
ou de —1 donne — en projection, sauf une erreur inTmiment
petite du second ordre; entin v et hds sont perpendiculaires à l'axe de projection. Donc enfin la composante parallèle à G»
366 CHAPITRE CINQUIÈHK.
de la translation cherchée est
du , vch
-ras -\ •
as 0
On reconnaît de même que la composante suivant Gv a pour expression
-r ds -^ 0 as •
as 0
Dans le calcul de la translation relative, nous avons négligé les variations de Tangle GOG' pendant le mouvement; eu égard à la peiilesse des déformations, cela ne peut entraîner qu'une petite erreur. 11 y a encore une erreur du même ordre
quand on considère ( — -h - )^s et ( y -+- ^ ]ds comme
les valeurs de Texiension et du glissement simples; on devrait en effet projeter le mouvement, non sur la position primitive de la tangente ou de la normale, mais sur ces lignes prises dans la position qu'elles occupent à Tinstant considéré.
A l'extension simple rfsl - -\- - ) répond dans la section CD
de l'élément CDC'D', suivant le sens opposé à Gi/, la force Ei2(-,-H--J; de même, au glissement répondra la force
/rEi2(-y- -i- G Y dans le sens opposé àGt'; enfin la flexiou
(Vj cVj
—rds donnera lieu au couple Eil/* ,-> estimé en sens con-
as ' as
traire des rotations 0. Dans la section CD' il y aura des actions moléculaires analogues, qui seront égales aux précédentes augmentées de leur différentielle par rapport à 5 et agiront dans le sens des déplacements. On composera entre elles toutes ces forces moléculaires exercées dans CD et C'D\ comme nous avons composé tout à l'heure les mouvemenis de ces deux sections, et l'on trouvera l'action résultante supportée gar la matière de GDC'D', savoir:
Force parallèle àG«,
FOBIULBS DE LA DftPORHATIOfl ; COKSËQUBNCES, SG-}
Force parallèle à Gc,
Momeni total par rapport au centre de gravhé de rélémenl, iivalué dans le sens de la rotation B,
Eildi
}ls' \(/s
Par suite, on trouvera, pour les équations du mouvement (le l'élément prismatique considéré,
; d'n „ V.^rdldn v\ /.-/ih- ^ «\1 ■' \ rfC "^ H L *** ,-.,' ?\''' ?/J
Quand on néglige le glissement transversal, il faut, dans les
équations ci-dessus, considérer la quanlilé /<Eti|-y- + 'j }
comme l'expression de l'eirorl irancliant P dans la section CD, force qui n'est pas nulle en général, bien qu'on suppose nulle la déformation partielle répondant à son nclion. Les équations tlu mouvement deviennent alors
!</'« P£ '^}S ±(<!ji 'A
de ~ llii.r'" a ds\ds'^ l)' ' ' 77^ ^ ^' "'" '■' if ~,ls' ~ ïîfi ' et il faudrait y joindre b relation
dv , H
ce qui ferait quatre équations entre les incunnues », i', 'j, V. Ces équations aux différences partielles siimihanées déler-
