I. 3- édit

370 CHAPITRE SIXlfeHB.

équation dans laquelle e représente, comme d'habitude, le ressort longitudinal de la section (n°2), et cr^ son moment d'inflexibilité relativement à un axe mené par son centre ti'élasUcilé perpendiculairement au plan de la figure. On connaît Tinlograle de cette équation linéaire du second ordre, dans l'hypothèse où er^ ne varie pas; en désignant par C et D deux constantes arbitraires, on aura

Csm- 1/ - - - Dcos- \/-r y e r \ e

La constante D doit être nulle, attendu qu'on a ^==0 pour x " o; donc

j— Lsin

in - \/ r y e

Il faut, de plus, que y soit encore nul pour jr = A' B, quantité peu difl'érentc de AB ou '?.a, longueur primitive de la pièce. Il

faudra donc que — i/ - soit un multiple de la demi-circonférence, ou bien, en désignant par i un nombre entier quelconque, que Ton ait

d'où nous tirons

N = er-

La moindre force N déduite de celte équation est cr'-v— ^

correspondant à / — i; en faisant / = 2, /= 3, . . ., on aurait des valeurs de N qui seraient égales à la première multipliée par 4> 9» • • • • Donc la pièce ne pourra pas rester fléchie si N

n'atteint pas au moins la limite er^ ,- •

Quand on attribue à N la valeur générale er^ -j—i'* l'exprèssion - 4 /- est égale à — ^? et, par suite,

sm

ia

On voit alors que, pour les valeurs de x

O, — ^ï 2—:-? O— -î •••? [l II— :-J 2a,

— devient un multiple de la demi-circonférence, et, par 2a

conséquent, y devient nul. La courbe atfectée par la fibre

moyenne présente une forme analogue à celle qui est dessinée

ci-contre ( fig. 6i), pour le cas particulier de / = 3.

Celte courbe est toujours une sinusoïde. Il est

clair qu'une portion de la courbe comprise entre

deux points consécutifs où j s'annule, HK par

exemple, représente la courbe qu'on aurait, dans

l'hypothèse de i == i, avec une longueur de pièce

-r-' En effet, en chacun des points H et K, la

partie HK doit recevoir des réactions moléculaires dont les résultantes, égales et contraires entre elles, ont N pour valeur commune, car cela est nécessaire pour l'équilibre des parties A' H et KB du prisme ; donc HK se trouve dans les mêmes conditions que A' B

dans la Jig. 6o, à part cette différence que la longueur est -r-

au lieu de ia.

Le maximum de l'ordonnée j, ou la flèche, se produit quand

on a égal à Tune des valeurs -j — > — ? •••? ce qui donne

pour X les valeurs correspondantes -r> -.-3 — ^ Ce maxi*

mum est d'ailleurs égal à la constante C, qui reste encore indéterminée, bien que nous ayons employé toutes les conditions du problème.

D'après l'analyse précédente, il semble au premier abord que l'équilibre ne soit compatible qu'avec certaines valeurs de N croissantes d'une manière discontinue, de sorte que, si la

pièce était fléchie par une force N égale à er'-^» l'addition

d'une irès-petite force entraînerait la rupture. Or cela est contraire à une expérience qu'on peut à chaque instant répéter

372 CHAPITBE SlXlfcHB.

avec des règles en bois de faibles dimensions : la règle étant courbée par deux pressions en sens contraires qu'on exerce avec les mains aux extrémités, on voit la flèche varier d'une manière continue avec la force. Toutefois cette objection, que nous citons parce qu'elle se présente naturellement à l'esprit, n'est pas bien fondée, car, à la rigueur, dans la formule

on devrait regarder ia comme représentant la distance AA' des deux extrémités de la pièce déformée, quantité variable avec N; celte force pourrait donc varier, et à chaque valeur correspondrait une courbe particulière d'équilibre. Seulement il y a toujours dans cet équilibre quelque chose que nous n'avons pas pu déterminer : c'est la constante C ou la flèche maximum de la courbe. Cela tient à ce que, en établissant les formules de la déformation, et en particulier l'équation (i) du n° 82, nous avons toujours supposé les déplacements infiniment petits, et, par conséquent, nous avons confondu la forme primitive d'une pièce et sa forme définitive, en ce qui concerne l'évaluation des moments ou projections des forces et le calcul des déplacements correspondants. Ici, cela nous empêcherait de résoudre la question, car nous devrions partout supposer X = o, ce qui nous conduirait à dire que la pièce est restée droite. Aussi, en écrivant

avons-nous déjà tenu compte en partie de la différence de forme qui altère le moment de N; mais ce que nous avons fait pour ce moment, il aurait fallu le faire aussi pour les actions moléculaires qui le tiennent en équilibre.

Reprenons donc la question à son origine, en nous bornant toutefois au cas de la déformation plane, comme nous l'avons fait dans l'analyse ci-dessus. La pièce AB ayant pris la forme A'B [Jig» 60) sous l'action de la force N, exprimons l'équilibre entre cette force et les actions moléculaires développées .dans une section quelconque faite en H. Nous appellerons (/s la longueur primitive d'un élément de fibre moyenne qui part

PRISMES CHARGÉS DEROUT. 3')3

de H, 9 rinclinaison de la section qui passe en ce point par rapport à sa direction primitive. La section infiniment voisine de celle-là, et qui en était primitivement à la distance ds, fait maintenant avec elle un angle ddy tandis que le parallélisme

dQ

existait d'abord entre les deux sections. Donc -j- représente l'angle de flexion rapporté à l'unité de longueur, c'est-à-dire la quantité nommée j au n** 64; par suite, la somme des moments des actions moléculaires relativement à l'axe projeté

de

en H aura pour valeur ^'•' t-' et, puisqu'il y a équilibre entre ces actions et la force N, on posera

L'élément qui avait primitivement une longueur ds a pris une longueur différente ds\ à cause de la compression due à la force N. En vertu des formules relatives à l'extension et à la compression simples, on aura très-approximativement

en négligeant la faible inclinaison de N sur la normale à la section. Enfin, puisque la composante de N parallèlement à la section est aussi très-petite, il est permis de négliger le glissement transversal et de regarder une section primitivement normale comme l'étant encore après la déformation (n® 81). On écrit, en conséquence, l'équation

(3) — ds^ s\n 9 ^^ dj\

Des équations (2) et (3) on tire

dr , J N\

valeur qui, substituée dans l'équation (i), après avoir différentié celle-ci par rapport à 5, donne

er^-r. ——Ni ) sin 0 ;

ds' \ e

374 CHAPITRE SIXifeMB.

multipliant par 2c/d et intégrant, on aura

(dey ^. / N\

^rM — J = 2N ( I — - 1 cose? -+- consi.

La constante peut s'exprimer en fonction de la valeur 0i que prend 0 au point A', car en ce point r = o, et, par suite, en

vertu de (i), . - o. Donc on pourra poser

(4) er^ (^)'= ^^ (' — ?) «^^^^ " cosQ,],

soit, sous une autre forme,

dO

-'VK-II-

^2(C0S^ — cos(>o)

L'intégrale du second membre de celte équation entre les

limites s o et j - 2^ est -^ i/— ( i — — ) ; l'intégrale du

premier entre les mômes limites est connue par la théorie du pendule simple. Si 0 s'annule i fois entre B et A', cette intégrale sera le temps de i oscillations d'un pendule simple ayant pour longueur le nombre g^ accélération des corps pesants dans le vide; on aura donc approximativement pour sa

valeur i::! i -f- - -" ji en négligeant dans l'expression différentielle les puissances de 0^ supérieures à la quatrième; par suite, on posera

(5 ita n--;p ----- v/-' » — •

Or les équations (i) et ^4^ appliquées aux points tels que D, pour lesquels d s'annule, en même temps que y prend une valeur maximum/, donnent

d'où Ton lire

\ (l — COS0,.)'

ou bien, à cause de la petitesse de do»

En éliminant d« entre les équations (5) et (6), on aura défini tivementy pour déterminer la flèche,

er"^ I

N La quantité — représente le rapport du raccourcissement de

la pièce à sa longueur primitive quand on suppose que la compression se fait sans entraîner de flexion (n°2); ce rapport est nécessairement petit, car l'expérience prouve qu'il ne saurait acquérir une valeur notable, même en se rapprochant de la valeur de N qui produirait l'écrasement (•). On pourrait donc, sans avoir à craindre une erreur notable sur/, poser l'équation

Voyons les conséquences qui résultent de cette expression. D'abord, pour que/soit réel, il faut que l'on ail

OU bien

(') Par exemple, une pression de ih^^ par iniiiimùtre carré produit la rupture par écrasement d'un prisme en fer, et cependant le raccourcissement correspondant n'est guère que 0,002 de la longueur primilivc. Pour la fonte et le bois, ce dernier nombre serait un peu plus grand, mais il atteindrait rarement une valeur maximum supérieure ou même égrde à 0,01.

Comme la quantité — ; -\ — a pour maximum j^ quelque

valeur qu'on attribue à —? il est clair que l'inégalité (8) de-

viendra impossible à satisfaire si le terme -7 — excède cette valeur, et de là résulte une condition

(9) 2fl>>2/7:r

imposant à la longueur 2a une limite en dessous de laquelle la flexion serait impossible, alors même que la résistance à récrasement serait illimitée et qu'on aurait toute latitude dans le choix de la force N. Cette condition étant supposée remplie, le trinôme

N s'annulera pour deux valeurs réelles de — ? et il faudra

N prendre — entre ces deux valeurs, sans quoi le signe du tri-

nôme serait le même que pour — == ±: 00 et l'inégalité (8) ne se vérifierait pas. On déduit de là

Les inégalités (9), (10) et (i 1) ont été démontrées sans rien

N supposer à l'égard de — ^ mais, dans la réalité physique, ce

rapport ne peut pas être quelconque et doit rester très-petit,

comme on l'a déjà fait observer, car autrement le prisme ne

pourrait manquer de se rompre par écrasement. D'un autre

N côté, —5 tout en étant très-petit, ne doit pas descendre jus-

qu'à la limite inférieure exprimée par le second membre de l'inégalité (10); il faut donc que cette limite soit elle-même

Irès-pelite, et, par suite, on peul en dire autant du rapport — ^-« Dès lors le radical 1/ i — —-— se remplace 1res-

approximalivemenl par i — i et Tinégalilé (lo) se

change en

résultat conforme à celui de notre première analyse. Quant à la limite supérieure fixée par l'inégalité (i i), il n'y a évidemment pas à s'en occuper, car elle est voisine de i et en tout

cas supérieure à -*, elle ne sera certainement pas atteinte par

N des valeurs de — physiquement réalisables.

Afin de préciser davantage les conséquences de la petitesse

N nécessaire du rapport — ^ supposons la matière homogène et

nommons

E son coefficient d'élasticité longitudinale;

R' la plus grande pression par unité de surface qu'on puisse lui faire supporter avec sécurité (n® 11);

R', la pression par unité de surface capable de produire l'écrasement sans (lexion ;

û la section transversale du prisme.

La force capable de produire l'écrasement sans flexion étant égale à R'j £2, il est clair que cette force doit surpasser la limite inférieure de N tirée de l'inégalité (12), sans quoi l'on arriverait à écraser le prisme avant de le fléchir. D'ailleurs on a, dans l'hypothèse de l'homogénéité, ez= Ei2; on devra donc poser encore l'inégalité

d'où résulte une limite inférieure de la longueur

'■'^'Vif;

qui se réduit, dans Thypoibèse /= i, à

(i3) ial>zri/-^~'

A égalité du nombre i, elle est beaucoup plus grande que la limite trouvée plus haut sans avoir égard à la résistance limitée

de la matière. Voici, en effel, les valeurs de tt y tt'* pour

quelques matériaux de construction, pris avec leurs qualités pbysiques moyennes :

Fer 89

Fonle 38

Bois de chêne ou de sapin 49

Ces valeurs sont, comme on le voit, bien supérieures à air.

Lorsqu'on renverse le sens de Tinégalité (i3) en écrivani que le premier membre est inférieur à Fautre, on exprime la condition pour que la flexion ne commence sous Faction d'aucune force inférieure à celle qui écraserait le prisme. On pourrait touiaussi bien trouver la condition pour que la flexion ne puisse pas avoir lieu sous Faction d'une force ne produisant que la pression R' par unité de surface sur la section transversale; cette condition s'exprimerait par l'inégalité

ou bien

'?.a.::j7:rsj^,

Si, d'après la manière dont la question est posée, le nombre entier i reste indéterminé, il faut vérifier cette inégalité dans le cas le plus défavorable, c'est-à-dire en supposant 1 = i; la condition devient alors

formule sur l'emploi de laquelle nous aurons bientôt à revenir. La réalisation de la flexion exige, comme on Fa vu, que le

PRISMES GHÀRGfiS DEBOUT. 879

second membre de l'équation (7) soii positif ; que, par con-

N séquent, la quantité très-petite - dépasse une limite infé-

N Heure — donnée exactement par le second membre de Tiné-

er-r-K

galîté (10) et approximativement égale à - .- 5 en supposant

N une courbe avec 1 tangentes verticales; mais — doit dépasser

très-peu cette limite, pour laquelle la flèche / serait encore nulle. En efTet, si le contraire avait lieu, d'après réquation(7)

la valeur de — — atteindrait une grandeur notable, et, comme

er'

- est toujours très-petit, il en résulterait que la flèche serait

grande, ce qui ne manquerait pas d'amener la rupture. Les pièces comprimées par des forces agissant suivant leur axe doivent donc être considérées, quand elles viennent à fléchir, comme dans un état d'équilibre instable, parce qu'un faible supplément de compression les met en danger de se rompre. Il faut par conséquent, dans la pratique des constructions, s'arranger pour rendre impossible la flexion de ces pièces, en même temps qu'on fixe la limite de la pression par unité de surface sur la section transversale, en ayant égard à ce qu'on a dit lorsqu'il s'agissait de la compression simple ( n*" 11 ) ; on aura donc à remplir la condition exprimée par l'inégalité (t4) en même temps que la condition

Dans la dernière, on peut s'approcher de l'égalité autant qu'on le veut, la pression R' ayant été choisie dans ce but; pour l'Inégalité (i4), il serait à désirer qu'on indiquât le rapport supérieur à i, en dessous duquel il ne serait pas prudent de

faire descendre — V/v/i niais cela n'a pas été fait jusqu'à

ia y i{'

présent.

Eu égard à ce que N dépasse très-peu la limite inférieure No, à partir de laquelle la flexion devient possible, on peut encore donner une autre forme à l'équation (7). On a, d'après la défi-

38o CHàPITRB SlXlfeHB.

nilion de N-,

~~ ir.r y e\ e / '

réquation (7) devient donc

^■=l;[\/?F"!)-\/?Ff)J-

La quaniiié enlre crochets est l'accroissement de la fonction

, /N7 N\ ^ , „ . N-N. . , W — I I 1 correspondant a I accroissement de la

N variable — -, on met approximativement à sa place le produit

de î* par la dérivée —^=^11=; ? qui elle-même

diffère peu de • De plus — s'écarte peu de / , > et

N il en est de même pour — dans le premier membre de l'équation. Par suite, on a

Î't:^ ^ S-irt N — No la

4 a^ lûr e 2 « tt r

ou, en résolvant par rapport à/el simplifiant,

Sj7,a' . /N — Nn

Ainsi donc, pour que la poutre fléchisse, il faut que la force N atteigne une certaine limite No, pour laquelle la flèche est encore nulle, mais sur le point de se produire; quand N dépasse N„, la flèche produite est proportionnelle au carré de la longueur primitive et à la racine carrée du supplément de force ; elle est en raison inverse de la racine carrée du moment d'inflexibilité.

109, Prisme chargé suivant son axe et encastré à ses deux extrémités. — On peul d'abord appliquer à ce cas la méthode approximative indiquée au commencement du n° 108; en nommant |x le moment du couple produit par Tencastrement et se servant de Téquation (i) du n°82, on aura

soity sous une autre forme,

^\^~^) N / ,^ dx' ^ er' Y N

L'intégrale de cette dernière équation est connue; si Ton nomme G et D deux constantes, on peul écrire immédiatement

r— ~ -1- Lsin- 1/ hDcos- t/— •

ADn de déterminer G et D, on exprimera que/ et -—- doivent s'annuler pour j: z= o et ^ =^ 2a, ce qui donne

gH-D=o.

Ç: + G sin — \/ - -f- D cos — i / — =z o, N r y e r \ e

C =o, Dsin — 1/ - - o.

En faisant G = o dans la seconde équation et remplaçant ^ par -— D, on trouve

la ^ /N

...... 2rt /n

équation qui, jointe a sm — i/~i=o, montre que lare — \/"~ ^o>^ ^^''G ^^ multiple de la circonférence entière;

382 CHAPITRE 8IXIÈHB.

n désignant un nombre entier quelconque, on posera donc

OU bien

er'^n^T.-

a La valeur de j prend alors la forme

/ nzx

j — — D ( I — ces I •

Ainsi la moindre valeur de la force N, nécessaire pour produire la flexion dans ce cas, répond à n = i et s'exprime par

— ' -, elle est donc quatre fois plus grande que dans le cas

prccédeni. La courbe affectée parla fibre moyenne est encore une sinusoïde; mais elle est tout entière d'un même côté de Taxe des ^. La flèche maximum, égale à — 2D, se produit pour X égal à

tandis quMI y aurait des ordonnées nulles pour les abscisses

2 a f[a n II

La flèche reste encore indéterminée, et, par conséquent, il y a aussi danger de rupture quand la flexion commence.

La considération suivante met bien en évidenceTeffelderencastrement. Prenons unepièceABnon encastrée (yîg. 62), maintenue à Tctai de flexion par deux forces N égales et contraires, appliquées à ses extrémités suivant son axe primitif. La courbe produite par la flexion sera, par exemple, AGCHD. . .B, coupant un nombre pair de fois la ligne AB entre les points A etB, de telle sorte que le nombre des portions telles que AGC, comprises entre deux ordonnées nulles consécutives, sera au contraire impair. Nous le désignerons par 2/1 -h i, n étant un nombre entier positif. L'équilibre existant, il est clair que,

iM

IH

dans la section normale faite en G, la pièce GCH. . . supporte l'action d'une force verticale N dirigée suivant AN, qu'on peut remplacer par la même force appliquée en G et

parle couple dont le moment serait N.GE. De même, la portion de pièce qui est supérieure à la section faite en K reçoit dans cette section des actions égales et de sens contraires. Donc, si Ton imagine que les portions AG et KB soient supprimées, mais qu*on fasse agir en G et K les

forces N et les couples N.GE, l'équilibre existera toujours; il existera encore si les couples sont remplacés par des encastrements qui assujettissent la pièce à conserver sa direction verticale en G et K, et les encastrements donneront

lieu précisément au moment N.GE, car, s'il en était différemment, la direction de la pièce changerait en ces points. Alors la partie GCH...K représentera une poutre chargée debout par une force N et encastrée à ses deux extrémités; GK serait la position de la fibre moyenne de la poutre dans l'état primitif. La longueur GK

de cette pièce étant désignée par aa, AB sera éeal à 2^ '-^

Donc on peut conclure que, si la pièce GK doit présenter dans sa longueur an — i points où la tangente serait verticale, non compris G et K, après la déformation elle sera identique avec la courbe ayant in ordonnées nulles entre les extrémités, qui se produirait sous l'action de la même force en supprimant l'encastrement et prolongeant la pièce de manière à multiplier la

seulement il faut observer qu'après

longueur par — ^„ — ,

cette modification la flèche maximum sera réduite à moitié, puisqu'elle deviendra GE au lieu de LU.

On pourra donc appliquer au calcul de la flèche la formule (7) du n** 108, en y remplaçant 1 par 2/1 + 1, aa par

!2« j / par -/; on trouve de cette manière

er^ L ^^'^ V ^ \ ^/ J

CBAPITRB SIIIÈHB.

On obliendrail, par un calcul tout semblable à celui du n"108, la condition nécessaire pour que la flexion puisse ayoir lieu avant récrasemeni du prisme; ce serait, en conservant le même sens aux notations R', et £,

2rt>2/i7:r W jrrî

soit au minimum, dans l'hypothèse n=i,

1 a ^> 2 TT /•

Si Ton voulait, au contraire, que la flexion fût impossible sous Taciion d'une force N répondant à une pression donnée R' par unité de surface de la section, on arriverait de même à l'ioégalité

ia

'^Vr

Si R' désigne la pression que la matière peut supporter in«léflniment sans danger, dans le cas de la compression simple (n® 11), celte dernière condition, jointe à N<R'i2, devrait être considérée comme exprimant la stabilité du prisme; seulement il y aurait encore lieu de fixer dans quelle mesure