rl/— doit surpasser la longueur aa, ce qui n'a pas été
fait.
110. Prisme encastré à une extrémité et sollicité à l'autre par une
Fig. 63.
er
force oblique et un couple, — Soit une pièce dont la fibre moyenne primitive coïncide avec la droite AB [/ïg. 63) et devient A'B après la déformation. En B est un appui avec encastrement;
en C, à une distance A'C = / de l'extrémité supérieure, agit une force R dont les composantes horizontale et verticale sont P et N ; devant cette force on néglige le poids propre de la pièce. -^ L'équation (i) du n" 82 devient ici
V)-hP(2^/ — ^),
iLv'
en prenant pour axes des coordonnées les lignes Bx, B^ et posant
PBISKES CIIABGËS DEBOUT. 385
ÂA'=/, ÂB = an. Pour inWgrer celte équalion, nous en cherchons d'abord une solution particulière y en Égalant le second membre à zéro, ce qui donne
l'équation (i) devient simplement d'où l'on tire immédiatement
relation où C et D désignent d<^s cun^lanles arbitruircs. Donc finalement l'intégrale générale de l'équution (i) sera
On éliminera les constantes en exprimant que pour x = o on a
•Ir ^' = °' 1û--=°' ce qui donne
et, si l'on substitue dans [ 2) les valeurs de C et de D, on trouvera
11 y a encore dans cette équation une inconnue auxiliaire/, dont la valeur est celle que prend /pour ,r = 2«; on aura donc, pour la déterminer,
et, par suite,
386 CHAPITRE SIXlfeMK.
Les équations (3) et (4) suffisent pour faire connaître la courbe A'B.
Lorsqu'on suppose que ^ et j^ ne sont pas deux quantités très-petites,
a/2 /N il est nécessaire, pour que la flèche reste petite, que — i / - soit un
petit arc. Or on a généralement
C0S2 =1 V- . . ., iâïï^z = 3 -^ - -f- . . . ;
donc, si l'on néglige la quatrième puissance de z et les puissances supérieures, on pourra écrire
^^^ '^ ~ r'~ e ~^ Yrr' " 'er\-x "^ 3"" Y
/est alors la somme des valeurs obtenues en supposant successivement p = o, N = o, ce qui n'avait pas lieu quand on faisait entrer^ et /dans l'expression du moment fléchissant, c'est-à-dire quand on tenait compta des changements que les déformations elles-mêmes apportent dans les moments des forces extérieures par rapport à un point quelconque delà fibre moyenne.
Quant à la résistance de la pièce, on voit qu'il y aura dans les diverses sections un elfort tranchant P, une force N produisant une compression simple, et un moment fléchissant variable N(/h-/— ^) -+-P(2/i — x') dont le maximum aura lieu en B et sera N(/-f-/) -+- i^a. Il n*y a d'ailleurs rien de particulier a dire sur ce cas, à part la condition que l'arc
<ya /N
- 4 / - doit être petit ; et, quand on aura, par la méthode générale expo-
sée au n*" 64, calculé les tensions maxima de toute nature dans une section quelconque, on s'assurera (n° 66) que ces maxima sont au-dessous des limites que comporte la matière employée.
§ II. — Données expérimentales.
111. Résistance à la rupture des prismes chargés debout et assez longs pour Jléchir, — On a vu plus haut (n°* 108 et 109 qu'un prisme charf^é debout ou, pour parler plus neitement,. comprimé par une force N qui agit suivant son axe, ne pourra jamais arriver à l'étal de flexion s'il n'a au moins une Ion-
/'E gueur 7:ri/^,- ou une longueur double, suivant que les
extrémités sont libres ou encastrées. Si cette lons^ueur n'est
PRISMES GBARaSS DEBOUT, 887
pas aiieinte, on finira, en augmentant progressivement la force M, par produire l'écrasemenl du prisme, et la force nécessaire à cet efTel sera (n° 10) indépendante de la longueur et proportionnelle à l'aire de la section transversale. Si, au contraire, la longueur 2a dépasse la limite suffisante pour permettre la flexion, ce phénomène peut se produire dès que
N atteint une valeur -^— - quand il n'y a pas d'encastrement,
ou une valeur quadruple quand le prisme est encastré aux deux bouts. Celte valeur doit être prise pour l'expression théorique de la force de rupture, parce qu'il suffit de la dépasser tant soit peu pour que la flèche devienne grande : la force de rupture, pour les pièces comprimées directement et pouvant fléchir, varierait donc proportionnellement au moment d'inflexibilité minimum de la section transversale et en raison inverse du carré de la longueur.
Considérons en particulier des sections homogènes rectangulaires ou circulaires. Soit E le coefficient d'élasticité longitudinale. La grande dimension du rectangle étant désignée par / et la petite par h, on aura
r=-h 1/'--— o,2(>A, er- = -' E/A'i
pour un cercle de diamètre d, on aurait
On en conclut, en faisant, comme an n' 108.1c nombre
égal à 38, qu'une barre de fonte non enciisiiéo ne poui chir avec une longueur inférieure à :
Dans le cas du rectangle 1 1 A
Dans le cas du cercle u , 5 </.
On s'est peu préoccupé de déterminer par l'expérience celle limite inférieure. Seulement M. Hodgkinson a énoncé ce fait : tant que la longueur d'une barre carrée ou circulaire ne dépasse pas cinq fois le diamètre, la rupture se fait par écrasc;ment simple; quand la longueur est de cinq à vingt-cinq luis
388 CHAPITRE SIXlftHB.
le diamètre, il y a rupture mixte, à la fois par écrasement et par flexion; au delà de vingt-cinq fois le diamètre, la flexion devient irrésistible. En général, on ne doit guère s'attendre à trouver Texpérience d'accord avec la théorie quand on veul continuer l'application des formules théoriques jusqu'aux environs de la rupture (n® 5) ; ici néanmoins la discordance n'est pas très-marquée, puisque les rapports ii et 9,5 tombent dans l'intervalle de 5 à aS, qui donne lieu à un mode de rupture assez vaguement déflni.
La longueur étant supposée suffisante pour permettre la flexion, les expressions théoriques de la force de rupture sont, quand il n'y a pas encastrement :
Dans le cas d'une section rectangulaire — tt^E ^^^ i
Dans le cas d'une section circulaire ttt ^^E - 1
12 4fl'
Lorsque les extrémités sont encastrées de manière à empêcher rigoureusement toute rotation des sections extrêmes, nous avons vu (n® 109) que cette force devient quatre fois plus grande. Or ce dernier cas se rapproche peut-être plus que le premier des circonstances pratiques les plus ordinaires, car les poteaux et colonnes sont toujours terminés par des surfaces plaies s'appuyant sur des plans, de sorte que l'étendue même de ces surfaces d'appui s'oppose plus ou moins complètement à leur rotation et constitue tout au moins un encastrement |>artiel. L'expérience confirme cette manière de voir. M. llodgkinson a trouvé, en cfl'et, que les colonnes de fonte à extrémités arrondies résistaient trois fois moins à la rupture par compression que celles dont les extrémités présentaient une section plane. Ainsi donc, en admettant la substitution de ce multiplicateur 3 au multiplicateur théorique 4* pour tenir compte par aperçu de l'imperfection de Tencastremeni, on aurait, dans le cas <ies bases niâtes :
Pour la seclion circulaire, pleine et ho- ) ., i .^ Ih^ mogene \ 4 4 «
Pour la section rectangulaire, également | . ^ A-ap ^* pleine et homogène S 64 4«*
PUISMES Cn&BflfiS DEBOUT. 389
A la vérité, comme nous l'avons déjà Tait observer, on ne doit pas compter sur l'exactitude des forniules théoriques lorsqu'il s'agit de calculer les (orces de rupture; néanmoins M. Hodgkinson a reconnu que la cliarge capable de rompre un poteau en chêne de bonne qualité, à section rectangulaire et à bases plates, était représentée par la formule empirique
N = 2565xio'~-
le kilogramme et le mètre étant pris pour unités. On voit que N varie proportionnellement à / ei au cube de h, et en raison inverse du carré de la longueur ■?, a, comme l'indique la théorie; déplus, en comparant la valeur de la conslantc 25G5xio'avec
s'accordanl à peu près avec les nombres admis. Nous devons dire que les expériences du physicien anglais n'ont pas été très-nombreuses ei se ra|iporiaieni à de petits échantillons.
Pour des poteaux en sapin rouge, le mèmcexpérimenialeur a indiqué la formule
SI les bois, au lieu d'èlre choisis, étaient de qualité m diocre, les coefficients numériques diminueraient envir
M. Hodgkinson a aussi proposé, pour di'ii'rmincr la charge de rupture des colonnes pleines en fotiln à Ljscs plates, la formule
ei, dans le cas de colonnes creuses, c éianl le diamètre du vide supposé concentiique au plein,
N=-329oX.o--J'";f,','-.
La théorie aurait donné au lieu de l'exposant 3, G l'expo-
390 GHAPITBB SIXIÊHB.
sant 4> 2 au lieu de 1,7, au lieu de 3290X10* la quantité tt-tTt^E, soit, en faisant E^gx 10* (valeur moyenne pour la
fonte), le nombre i3o8ox 10*. Mais ces discordances paraissent toutes naturelles si Ton veut bien se reporter aux considérations du n** 5, et nous ne saurions trop répéter qu'on risque beaucoup de s'engager dans une fausse voie quand on veut calculer les charges de rupture à l'aide des formules fondées sur les théories de la Résistance des Matériaux, puisque les hypothèses premières qui leur servent de base, suffisamment vraies pour le cas de faibles efforts moléculaires, deviennent radicalement inexactes si la rupture est sur le point de se produire.
En résumé, pour les solides pouvant fléchir, la résistance à la rupture par compression directe est, à section égale, décroissante avec la longueur et croissante avec la petite dimension de l'cquarrissage; on voit aussi qu'il est difficile de la représenter par une formule qui convienne à tous les cas. M. Hodgkinson a observé en outre les deux faits suivants : I*» A égalité de matière employée, le renflement vers le milieu augmente peu la résistance; il ne l'augmente que
de - ou ^ seulement.
2* Sous la même condition d'une égale dépense de matière, les colonnes creuses résistent mieux que les colonnes pleines; elles sont également préférables à celles dont la section transversale est en forme de croix. Cependant leur emploi exige des précautions; le moule peut se déranger pendant le coulage et le vide ne plus être bien concentrique avec la circonférence extérieure, ce qui produirait une diminution notable de résistance. Quant à l'explication théorique de ce deuxième fait, elle consisterait à dire que la charge de rupture est proportionnelle au moment d'inflexibilité, lequel est plus grand, à égalité d'aire, pour une section annulaire que pour une section ayant la forme d'un cercle plein ou d'une croix.
M. Love, ingénieur civil, a donné, dans un Mémoire sur la résistance du fer et de la fonte, des formules plus simples que celles de M. Hodgkinson pour calculer la charge de rupture des colonnes pleines en fer ou en fonte. Ces formules, qui
ratSMIS CBABG&S DEBODT. Z^l
concordent surfisammeni avec les expériences du physicien anglais, sont les suivantes :
PourlaTaDte N-- i
,,4i*o,«.33,(îf')
pQur le fer N == - ..i
en nommant N' la charge de rupture calculée d'après la section de la colonne, comme si celle-ci était incapable de fléchir. Il est visible que ces formules ne sont pas applicables
quand le rapport - - devient trop petit, car pour une irès-
peiiie longueur on devrait avoir N = N', tandis que les formules donnent toujours N < N'. Il faut supposer que la longueur est au moins égale à vingt fois le diamètre.
On voit, par l'examen des deui formules précédentes, que la résistance des colonnes de fonte diminue plus rapidement que celle des colonnes de fer quand la longueur augmente. C'est ce qui explique ce fait d'observation, que, si le rapport —j- vient à dépasser une certaine limite (3o environ), les colonnes pleines en fer résisleni mieux que celles de fonte.
112. Condition pratique de la staliililé des prismes chargés debout. — Nous avons indiqué (n"' 108 cl 109) les conditions qui nous semblent être l'expression théorii|uc de la siaLiilid'^. Dans la pratique, l'usage ordinaire consiste à déierminer d'abord la chiirge de rupture d'après les formules empiriques ci-dessus données; puis on limite la charge réelle à une certaine fraction de la charge de rupture. Celle fraction est halii-
tueltement -r pour le fer et la fonle et puur le bois ; mais, dans ce dernier cas, on va quelquefois jusqu'à
ftriTBB SVPTIÈMB.
