V \.X^KK EXERCEE PAR UN ARC REPOSANT SUB DEUX APPUIS

.>^ .«iS^vS L.\ SECTION EST CONSTANTE ET QUE LA FIBRE MOYENNE, ., . ..Hrt^r CIRCULAIRE, SE DÉFORME EN RESTANT DANS UN MÂlfE

fvussée produite par des forces quelconques et par une dilatation linéaire indépendante des charges.

t. Pf*s questions qui doivent être traitées dans ce Cha- Dans les coiisiruclions, il arrive assez souvent que les .,;.vv\ courbes employées ont une seciion constanie, ei que i X». libre moyenne esi un arc de cercle situé dans un plan .*NUcal. La pièce est svmôlrique par rapport à ce plan et toutes i\x l\»iTcs qui agissent sur elle y sont contenues, de telle sorte {uo l« condition du n° 88, nécessaire pour que la déformation wU plane, se trouve naturellement satisfaite.

Les arcs sont ordinairement supportés à leurs extrémités |.><ir deux appuis placés dans un même plan horizontal, et dis- ^H>sésde manière à rendre invariable la distance des deux points de l'arc avec lesquels ils sont en contact; mais ces appuis ne doivent pas, en général, être regardés comme produisant un encastrement.

Nous nous proposons, dans le cours de ce Chapitre, d'établir des formules qui permettent de calculer, seulement par des opérations algébriques, les réactions des appuis d'un arc placé dans de telles conditions, les forces étant supposées quelconques, et, en second lieu, de réduire ces opérations aux calculs numériques les plus simples, pour le cas usuel où les forces ne seraient autre chose que des poids.

114. Notations principales de ce Chapitre. — Soit donné Tare AEB [Jîg, 64), reposant sur les deux appuis A etB et sup-

FiB. 6.5-

poussSb des arcs circulaires. 393

ponani une force isolée, appliquée dans la section qui renconire la fibre moyenne en C. Nous prendrons pour axe des x h corde AB, pour axe des / la verticale 0/ passant par le centre 0 du cen le dont l'arc AEB fait partie. Nous désignerons par

la la corde AB;

/lanècheËK;

0 le rayon du cercle;

j l'angle fut par le rayon correspondant à un point D quelconque pris sur AEB avec l'axe des y,

? l'angle BOE de la verticale avec les rayons des naissances;

S I.i valeur particulière de a qui répond au point C;

T, Q, T', Q' les composantes des réactions en B et A suivant l'horizontale et la verticale, et dans le sens indiqué par la Ggure.

Nous conservons de plus aux lettres e, r, X, N, t, s le sens qui leur est attribué dans les Tormules générales du Chapitre V. Enfin nous appelons X' et N', comme aux n"' 93 et suivants, les valeurs que prennent X et N lorsqu'on n'y fait pas entrer la composante horizontale de la réaction des appuis.

115. Poussée produite par un poids isolé. — Supposons <l'abord l'arc AEB soumis à un poids unique II agissant en C et faisons abstraction de son poids propre, suul à voir pjr la suite comment on en tiendra compte. Nous avons les éiiualions d'équilibre entre les forces extérieures du sy-tùme

np(sinip-t-5in(S) = aTpsin?,

dont les deux premières expriment la nullité de la résultante de translation et la troisième la nullité de la >somme des mo-

394 CHAFITRB SBPTIÈKK.

ments par rapport au poinl A. On en lire

1 \ sin9/

T el T' élani connus, il reste à connaître Q. Nous pourrions y parvenir par Tapplicaiion pure et simple de la formule {i5] donnée au n** 93; mais il est plus commode de ramener le problème au cas d'une pièce symétrique el symétriquemeni chargée. Pour cela, nous ajouterons un autre poids II en un point G symétrique de C. Soit alors Q, la réaction horizontale de Tappui B. Si l'on se reporte aux considérations du n* 106 et si Ton remarque, en outre, que la réaction horizontale s'annule en supprimant les deux poids, on voit qu'entre Q el Qi

existera la relation

Nous déterminerons l'inconnue auxiliaire Qi au moyen de la formule (i6) du n° 94, dans laquelle il faudra faire t— - o :

/ Vr (Is j . / iN' , 1 — -: - ax -t~ I -~ax J er- ax J e

/ fv^ ax I

I dx ,

e its

En calculant les valeurs deX' etdeN', on devra observer que. après l'addition du second poids II, les réactions verticales des appuis sont égales et contraires à II. Donc, si Ton exprime toutes les variables en fonction de a, on aura

. . . ,, . ( X'--np(sin9~sin0),

depuis 5£ - o jusqu a a (?, j ,^

depuis OL - (? jusqu'à a r- <p,

X':--r np[sin(p — sina), N — -Hsina,

j=r p [cosa — COS9), x-psina, ds=^ p dûc, dx ^r p cosa doc,

POUSSfiB DIS ARCS CIBCIIUIRES. 3g5

par suite, e et r' étant ici des consumes et p pouvant être

X'r di N'\ .

er' ax e j

^P (sin9-sînO] J (rosK - cos<p] rfa:

-( ;: / (sinç — sina) (cosa — cosy)

- sin'çsinacoscc rfst,

= ds I dj:\ , ■' <lx e tis j

^Xï"

Toutes les intégrales qui se présentent ici sont bien connues. On effectuera le calcul; puis, doublant le dénominateur de Q., on aura la valeur cherchée; elle peut se mettre sous la forme

A— ■ sin's>(sin'ç — siii'0)

B H — ^ sin'9 (9 -I- sino C0S9)

en représentant par A et B les expressions

116. Poussée produite par une foi-ce liorîzonlale. -- Nous supposerons, en second lieu, la force liorizonluie S placée en C, comme l'indique la fig. 64, et en nicine temps nous supprimerons toute autre force. Il s'agit encore de calculer les réactions des appuis T, Q, T', Q'.

Les équations d'équilibre des forces extérieures deviennent,

^K)(\ CHAPITRB SEPTifeMB.

S; cosi/ — coso] r=r 2Tpsina),

%i o>, Von peu déduire immédialemenl T et T',

r.*,.,' ^rrivorà connaîlre Q eiQ', nous emploierons le même tr^^ ;V^(^ t^ue clans le cas précédent. Nous ajouterons au pointG , .-,*^ .<>rco —S symétrique de la première; alors, Q, élant la ,/,,vv^t> on B, on aura (n° io5)

,-«. puisque Q - Q' =: S,

Uosle à déterminer Q,, ce que Ton fera au moyen de la formule (i6) du n°9^, dans laquelle on supprimera za. Or, après l'addition de la seconde force S, T el T' sont nuls, et, par suite, on a

i X'=:Sp(cosa — cos^), depuis ^ — o jusqu'à x^=9, I ,,

^ "^ ' ( N' = Scosa,

depuis X --O jusqu'à a = 9, X' = o, N' = o. Donc

/ V ei" dx e !

- '. / [v^*os:z — cosO 'cosa — COS9) H — ;.sin'<p cos'a] rfiX

— - ^ \0 — sinOcosO — 2sin9 coso + 20cosôcos9 iti" \ *