sin*9 [9 -hsinôcosô) U
POUSSES DES A8CS CIBCtTLAIRES. 397
D'ailleursie dénominateur de \a fraction qui expriine la valeur de la poussée reste le même que dans le cas précédent : c'est la moitié du dénominateur de la formule (i). Donc on trouvera
A'-ï sin'i}>[9 + sin9 cosô)
B -f- — sin' ç ( ip + sin ç cos f )
formule dans laquelle B a la même valeur qu'au n" 115 el A' représente la quantité
A'= -B sin Û cos 0 — sin 9 cos o + B cosôcosm.
Connaissant Qi, on en déduit aisément, comme nous venons de le voir, les poussées réelles Q et Q'. Il est clair d'ailleurs que, si la force S venait à changer de sens, il en serait de même de toutes les réactions inconnues 0, Q', Q,, T, T', car on les obtiendrait en répciant des calculs identiques aux précédents, avec celte seule différence que S serait partout changé en —S. Une observation semblable s'applique aux résultais du n'IlS.
117. Poussée (lue à l'aclîon d'un couple. — En troisième lieu, considérons le cas où un couple de moment jli serait appliqué à la section normale faite en C {J!g. G^, p. 3t)3). Ce couple est situé dans le pian de l'arc, et nous supposons qu'il tend à le faire tourner dans le sens de Kx vers K^-.
On déterminera la réaction verticale T en picnunlles niomenis relaiivemenl au point A, ce qui donn'^ra
aa'f -^ u:^o.
On a d'ailleurs, pour les conditions de l'c
laiion,
Lfrî
oBAnm Rmkifi.
JeuT portiitiées Q et Q* éuni égales, chacune d'elles motL'f <ti! la puusïëe Q,, qu'on obtiendrait en ajoutani ;> smni!Uii)iie du premier [n° 106). Après celte addi- T'iKimii v(>riiL-ale T serait nulle; donc on aurait :
iJ'-i
<.'/■- tlx e ds / J \er' dx e ds j
.çril-? Jj d<-iioniinaieur est déjà connue, puisque c'est la ' '('le djtis les deux cas précédents. Quant au nunnér>>
'^■Is .- ' , / [cos» — cos9)(/«= -^-;(sin0 — ecos9;i;
B -i- - siii' 9 (9 -t- sin ip C0S9)
Si le M'iis de p cinii contraire à celui que nous avons suppUM-, il n'y aurait qu'à cliangcrson signe dans celte expression.
I iS, t'oitssi-r due à une dilatation résultant de causes indéti^H.iinlrs dis charges. — On obtiendra la poussée qui se ■n't'iliiiraii ljidé|iendainment de toute force agissant sur l'arc, ,.ii viTlii d'une dilatation de sa fibre moyenne par l'effet de la lt<iii|u'riiiui'e <<l du calage, si dans la formule (i6j du n" 9V on j^ii \ i>. ÎN' ". On trouvera
f ds •ir- dx
i dx\ ë ds)
FOUSSfiB DES ARCS GIBCtlLAIIlES. 399
OU bieD, en substituant au dénominateur la valeur calculée au
er' 2-a ■ —
B-t- -j sin'ip (0 -t- sin9 eos^)
Celle expression de Q peut encore s'écrire comme il suit, en remplaçant p par -. —
2eTsin'9 — (4) Q= ,., «■ . .
B H — ; sin' 9(9-1- sintp roso;
Dans le cas où, au lieu d'une dilatation, il existerait en réalité une contraction, ce qui peut arriver si la température est sufflsamment basse, la même formule donnera encore la réaction horizontale des appuis; seulement celle réaction serait une traction, au lieu d'être une poussée.
On remarquera en oulre que, si aucune force n'agit sur Parc en dehors des points A et U, les appuis ne pourront pas exercer de réaction dans le sens vertical, car les forces qui proviennent de ces appuis, devant se faire équilibre, sonl nécessairement dirigées suivant la ligne qui les joint.
119. Cas d'un are soumis à des forces discontinues quelconques et à une dilatation produite par d'autYes causes, — Nous prendrons maintenanl un arc ^;Jl^^^;li-:llU ii.nijouis iiu\ conditions du n" 113, et noussuppoaejons qu'il êpiuuve d'une part l'action d'un nombre quelconque de forces, et, en second lieu, une dilatation linéaire provenant d'autres causes, comme les changements de lempéraiure et le cnluge.
D'après ce qu'on a vu aux n°' 103 et 104, on peut d'abord remplacer chaque force par deux composantes, i'une verticale, l'autre horizontale, appliquées toutes deux au centre d'élasticité de la section sur laquelle agit la force priinilive, et par un couple, puis faire la somme des pousséfs produites sur chaque point d'appui par toutes ces composantes ei par la
4oO CHAPITRE 8BPTIÈMK.
dilataiion linéaire, considérées comme agissant successÎYement chacune à l'exclusion de toutes les autres. Or les formules (i), (2), (3) et (4) qui viennent d'être établies permeiteni de calculer les différents termes de cette somme; donc on a le moyen de connaître les poussées totales Q et Q' qui sont exercées sur les deux appuis.
Quant aux réactions verticales T, T\ leur détermination n'exige que l'emploi de la Statique ordinaire des systèmes invariables. On a vu au n** 93 comment on peut les obtenir.
120. Cas où il existe des forces réparties d*une manièrr continue. — Le cas oii il existe des forces réparties d'une manière continue peut être considéré comme la limite de celui qu'on vient d'examiner. Pour passer de l'un à l'autre, il suffit d'imaginer que les diverses forces considérées au n** 119 décroissent de plus en plus et qu'en même temps leurs points d'application se rapprochent indéfiniment les uns des autres. Quelles que soient la grandeur des forces et !a distance des points sur lesquels elles agissent, la poussée horizontale s'obtiendra toujours en faisant la somme des poussées dues aux actions séparées des diverses forces élémentaires. Par conséquent, lorsqu'il s'agira d'une répartition continue, on devra chercher l'inlégrale d'une poussée infiniment petite entre des limites déterminées.
Supposons, par exemple, qu'il y ait une charge répartie d'une manière continue entre les sections normales qui font avec la verticale les angles 0, et 0^; soit ¥dO la force qui sollicite la partie de la pièce dont la fibre élémentaire moyenne correspond à l'angle dO; soit en outre dQ la poussée infiniment petite qui serait exercée sur l'un des appuis dans le cas où la force F dû existerait seule. Celte poussée c/Qse calculera au moyen dos formules (1), (2) et (3), en faisant la somme de trois poussées dues aux deux conjposantes de Fdô suivant les axes coordonnés et au couple provenant du transport de cette force au centre d'('lasticiiéde la section sur laquelle elle agit. On trouve ainsi, en désignant par /r, m, n des fonctions connues de 6»,
r/Q„- ,/r-i m n)VdO,
POUSSEK des arcs CIBCtlLAIQES. 4<'l
d'où l'on tire, pour la poussée due à l'ensemble des forces F (/9,
)F(iO.
Un procédé approVimatiT qui sera souventsusceptible d'être appliqué avec avantage consisterait à partager la portion de pièce comprise entre les sections répondant aux angles 0, et 0, en plusieurs parties, pour lesquelles on déterminerait à part l'intensité et le point d'application de la résultante des charges. Dans le cas où l'on aurait eu soin de prendre le nombre de ces parties assez grand pour que chacune d'elles ne répondit qu'à une Taible fraction de la pièce entière, on pourrait négliger dans cette étendue les petites variations des quantités k, m, H et déterminer la poussée comme si l'on avait une série de Torccs discontinues dont chacune serait une des résultantes partielles par lesquelles on aurait remplacé la Torce totale. Par exemple, si l'arc supportait une charge d'eau, on partagerait la libre moyenne en quinze parties, ou un nombre moindre, suivant le degré d'approximation désiré; on chercherait, par les procédés connus, la pression totale répondant à chacune de ces parties, et l'on regarderait l'ensemble de ces résultantes comme pouvant être substitué à la charge primitive. De cette manière, le problème est ramené aux termes du nM19.
Nous allons donner quelques exemples de la détermination des poussées horizontales par une intégration.
121. pREHiEH EiEMFLE. Poussée produite par le poids de l'arc ou par un poids uniformément n'-purli sur unn certaine portion de sa longueur. — L'exemple qui se présente nuiurcllt!ment le premier consiste dans ki ri'cherclie d'une poussiîc horizontale dont nous avions fait abstr:iciion lout à riicurc : nous voulons parler de celle qui est duc au poids propre de Parc. Cette question est un cas paiii'.'ulier de celle qui a pour objet de trouver la poussée horizontale produite par un poids réparti uniforménicnl,suiv3ntla longueur de la fibre moyenne, entre deux points quelconques de l'arc : c'est ce problème plus général que nous allons résoudre d'abord.
Soient/» le poids qui agit sur runilé de longueur de la libre I. ï* édil. j'I
4o2 CHAPITRE SEPTIEME.
moyenne, 9, et 0^ les angles limites entre lesquels agît la charge totale exprimée par/7p({52— 0,).Nous supposons que le poids élémentaire ppdO, qui correspond à une portion d'arc comprise entre les angles S ei 0 -î-dQ, est appliqué à la fibre moyenne. C'est ce qui arrive, par exemple, si Ton ne considère que le poids propre d'un arc homogène; mais cela ne serait pas rigoureusement vrai si Ton y ajoutait une surcharge uniforme reposant directement sur les points les plus élevés de la pièce. Chaque clément de cette surcharge, agissant au point supérieur d'une section inclinée, devrait être reporté sur la fibre moyenne en un point n'appartenant pas à sa propre verticale, ce qui donnerait lieu en môme temps à l'introduction d'un couple. Toutefois, en pratique, on conçoit bien que, eu égard aux incertitudes de la théorie, il ne convient pas de s'arrêter à d'aussi minutieux détails.
Cela posé, la poussée infiniment petite cfQ, produite par le poids ppdO qui charge Téléinent pdO de la fibre moyenne, aura pour valeur, d'après la formule (i) du n° 115,
\ sin^o siii^;? — sin'^]
dQ=: ^ ppdS.
B H — - sin' o o -7- sin o cos o ]
Chassant le dénominateur et intégrant, après avoir divisé les deux membres par pp, on trouvera
-^ B sin-ot o -f- SI no coso
pp I a' ' ' ' ' J
^j ' AdO^ f-r^ sur o\ [0,-0,] shVo-- I s\n'Odo\
Le calcul du second membre s'effectue au moyen des intégrales que nous connaissons déjà et de la suivante:
/ OsinOdO--^ — OcosO -h / cos^rf^ = — OcosO -f- sinO;
il donne, pour déterminer la poussée totale cherchée, la re-
I B 4- — siii'9(o -t-sinipcoso)
■sinoco^v — T ) l'^j— 0,]
cos9{0,cosO,— 0,cosO,]
— -sin=o [0-— 0,] f sin'tp — ^1
+ -5iii5,cos^; sin^iCOsO, ■
Celle formule fait connaîtra la poussée horizontale due au
poids propre de l'arc; pour cela il faut mettre au lieu de p le
poids d'un prisme droit ayant même seciion transversale et
[■"de hauteur, et faire en même temps S, — o, ^, — — 9. Si l'on
pose
^ 1 5 . . o sino
C=;-7 cos-a — Qsin&coso -j- ^coso- — ^i
r. ' / . . ' ' sîino'i D= - sm'y H-Cûso ■ U
on obtient la formule suivante, applicable d'ailleurs à loiîs les cas où l'arc entier supporterait une cbarf^e uniformément répartie sur sa longueur :
122. Deuxiëhe exemple. Poussée produite par une charge itniformémenl répartie suivant l'horlzontaie. — Lorsque la charge sera réparlie uniformément suivant l'iinrizoniale, en appelant p' celle qui répond à l'unili; de longueur mesurée sur la projection horizontale, l'élémcnl de libre moyenne prf5, qui a pour longueur projetée pcosOdO, su]iporlera le poids
4o4 CHAPITRE SEPTIÈME.
p'pcosQdd. La poussée produite par ce poids sera (n" 115)
JQz=p'pcos9de
A jSin'o(sin'9 — sW6
B-i — ; sin'c?'o -h sino coso)
Pour avoir la poussée totale due à la somme des charges p'pcosOdO répartie d'une manière continue sur la portion d'arc comprise entre les angles 0, et 0,, on intègre cette expression entre les limites 0, et O^- Cela conduit à la recherche d'une seule intégrale que nous n'avons pas déjà employée : c'est/0 sinO cosOf/9. Or l'intégration par parties donne
fo sinOcosOdO = -0 sln'O — - isiu'OdO
— - 6* sin^ 0 — - 9 -+- - sin 9 cos 0. 2 4 4
On trouve donc facilement la poussée demandée, qui est
dQ; elle sera fournie par l'équation
B H sin'o o -h sin'j C0S9, ->-
= (-sin'9 — cos'j — 9 si n 9 coso | sin6, — sin^,)
— -vi sin'0:~sin-'^,''-H -7 1 '^j— 9i COS9 0 4
-+- - OjSÏn'Oj— OiS\n'Oi\ coso
-h -,sin(},cos';,— sin0,cos6, JCOS9
siir'v (sin9>— sinÊ/,)sin-3 — -îsin'(5.— sin'9.) I*
Lorsque l'nrc entier se trouve chargé d'un poids réparti uniformément suivant une parallèle à la corde, il faut faire
roUSSEE DES ARCS CinCIJLAInES. 4°3
- 9, 5; =: 9; en remplaçani p par -;; — et posant
C' = — 7 H- —sin's + 7eoso ç sin<îC0S(i>,
4 12 ' 4 ' sino 2 '
on obiieni ta valeur suivante de la poussée :
^ tl — Détails Eur la détermination de la poussée produite par des poids et par une dilatation indépendante des charges.
123. Rfititirques préliminaires an sujet de la formule [i] du n" 115. — Celle formule a une importance particulière, parce <)u'elle donne la poussée horizontale produite par un poids isolé agissant sur un arc circulaire à section constante el dont la déformation est plane ; il en résulic, en eilet, comme on l'a vu au n'IlO, qu'elle donne aussi la poussée ducà un ensemble de poids distribués d'une manière quelconque, ce qui est incontestablemenl le ras le plus frnqucni dans la pratique. Aussi nous allons d'abord étudier celte formule avec tous les (Iciails nécessaires pour en rendre l'application facile.
Si nous posons, pour abréger,
. sin''j.siii=y — sin=0' -, sin-^ s 4-»iinçiC0stii
la formule (1) pourra s'écrire ainsi :
Or le rapport - est toujours Irès-pelit. En cirei, r désigne
le rayon de gjraiion de la section transversale par rapport à l'horizontale passant au centre d'éliisiitiié; ce rajon de gyra-
4o6 CnAPITHE SEPTIÈME.
tion est inférieur ou, au plus, égal à la moitié de la hauteur A (Je la section, mesurée perpendiculairement à cette horizontale, c'est-à-dire dans le sens parallèle au rayon de la fibre moyenne ( n° 51 ) ; on a donc
et, par suite, — < — •
Ainsi le rapport — est inférieur au carré du rapport de la hauteur h à l'ouverture de Tare, et, comme il est fort rare que le rapport — atteigne o,o5 dans les constructions de quelque
importance au point de vue des dimensions, on peut regarder
r* le nombre o,oo25 comme étant la limite supérieure de—- A
l'appui de cetto conclusion, nous donnerons ici la valeur du rapport dont il s'agit dans les arcs de divers ponts existants ou projetés, en faisant observer toutefois que quelques-uns des nombres indiqués dans la dernière colonne du Tableau suivant n'ont pu, faute de données suffisantes, être calculés que par approximation.
lI.VUTKrR
NOMS DF.S rOMS.
«•LSERTURE.
de la .section il un arc.
Viaduc dt» 1"ar.»s<()ii, sur U> Rhône. . . .
Pont (lu (Carrousel, à Paris
Pont (1(* Brest : f)r(>jot de M. Trilsilili-r).
io:),8.î
Viaduc de Mtnois (chemin de Ter de
Lvon ^
I , iJ
Viaduc ih' I. )rtij()nl ;clieu)iii de Ter di-
Bordeaux )
lii , 00
o,5o 0, JJ
Vont de Fr.'nuir '^ Maini'-el-Loiro) ....
Pont sur le canal de la Marne au PJiin
(route nalionalc n" 7'], Meurliii';.. , .
iG,G(i
Viaduc de (îhàteaubrianl, sur l'Krdre
r Loire-Inlerieure V
BAPPOftT
o,ooo33^ o,oooi<)<j 0 ,0002%
o,ooo3j6 0,00079')
o , O0O36.J o,ooo3(»?>
La petitesse du rapport — » qui dans aucun des exemples
FOUSSËE DES ARCS CIECULAIUES. ^O-J
variés du Tableau ci-dessus n'approche du chiffre limiieo,oo25,
Tait comprendre que l'expression Q := Il tt serait déjà, dans la
plupart des cas, une valeur approximative de la poussée due au poids n : c'est pour celte raison que nous la regardons comme la partie principale de cotte poussée. Les deux quan-
tilés I — À— » i-i-J.'— sont considérées comme des coefficients de correction dont nous apprécierons plus loin l'influence.
124. Tables faisant connaître la partie principale de la poussée due à un poids isolé. — Le coefficient^ dépend seulement de deux varial)les9 eiO, qui cnlrenidans son expression d'une manière assez compliquée. On simplifiera beaucoup le calcul de ce coefficient si l'on en construit une Table à double entrée, dont les arguments seront ç et &. Pour y arriver le plus simplement possible, voici comment on procédera.
Soit m le rapport - ; le numcraieur A ne sera plus fonction
que de m et de 9, et Von obtiendra sans peine son développemenl au moven des séries connues du sinus et du cosinus. On trouvera ainsi
Le dénominateur B est uniquement fonclion de 9 et a pour développement
bt
4o8 CflAl'ITRE SEPIlftMK.
on tire de là, par une division,
ïp- :- =z(5 — m»),r (1434-278/74'— 77/n*)-~77
-- (635 -f- ?.i83m^ — 4207^2*4- 1197WÎ'')
Dans celle série muliipliée par 1 — //i*, on substiluera pour/71 diverses valeurs, lelles que
et Ton aura vingt séries correspondantes, dans lesquelles on
raeltra des valeurs de 9 croissantes depuis o jusqu'à -• On
aura formé ainsi la Table qu'il s'agissait de construire.
Celle Table, sur le calcul de laquelle nous croyons inutile de
nous appesaniir davantage (' ), se trouve à la fin de ce Volume.
2 o L'angle 9 est défini par son rapport -^ à l'angle droit et 9 par
le rapport m. Quand 9 et 0 sont donnés, on calcule d'abord ces deux rapports et l'on cherche le premier dans la première colonne verticale à gauche de chaque page; on cherche de même le second dans Ten-iêie des colonnes ; on suit la ligne horiwnlale jusqu'à ce qu'on arrive dans la colonne verticale surmontée du nombre m donné, et on lit alors le coefficient cherche.
Exemple : pour ^ — 0,48, m r=z 0,10, on aurait rr r= 0,94^- Si les arguments n'étaient pas exactement dans la Table, on
(*) Pour plus de détails sur ce sujet, et en (;ênéral sur ceux qui compos^'nl ce para^^jraphc, nous reiivoyous encore le lecteur à nos Recherches €maljrtiqaes, <lejà rilces paj^o 'i\\\.
POUSSÉE DIB ARCS CIRCULitmES. 4^9
procéderail par inierpolaiions; nous en donnerons plus loin un exemple détaillé.
Lorsqu'on a trouvé tti il suTIlt de multiplier ce nombre
par n pour avoir ce que nous appelons la pariic principale de la poussée produite par le poids II.
