LIMITE DES EFFORTS TRANCHANTS. 4G

si la charge p était répandue sur toute la portée; et comme ce qu'on cherche avant tout, ce sont les limites extrêmes des efforts subis par la matière, on voit qu'il est inutile pour cette recherche de considérer les charges incomplètement réparties dans la portée.

II n'en est pas de même des efforts tranchants ; car si la charge p est répartie sur toute la portée, l'effort tranchant A est nul au milieu de la poutre, tandis qu'il a en ce point une valeur différente de zéro lorsque la charge p n'est appliquée qu'à une longueur b moindre que a (i).

Pour prévoir tous les cas possibles de distribution des efforts tranchants, il faut faire varier 6 de o à a, et imaginer que l'on construise la série des contours polygonaux formés, pour chaque yaleur de 6, des deux droites :

A = X — px, entre A et G et

A = X — p6 — p'(x — 6), entre A et B.

Cherchons d'abord le maximum de l'effort tranchant au point I, milieu de la portée.

Lorsque la surcharge occupe le ^ 'j ■ tronçon AC, plus petit que la moitié

^ ,^ . -^ ^j j^ j^ poutre, le point I se trouve

^ î — , ^ dans le second tronçon et l'effort

tranchant en I s'obtiendra en fai-

saDta:=-dans la seconde équation. Oh aura donc, en remplaçant! par sa valeur déduite de l'équation des moments par rapport au point B,

(1) L'effort Innciiant an milieu de te portée dlminoe donc en valeur absolue quand on complète U charge répartie sur te poutre. L'égalité dans te répartition compense, et au delà, au point de vue de Teffort tranchant, reicès d'effort développé. Comparer cette remarque à celles du § 73.

ce qui se réduit à

La valeur absolue de l'effort tranchant en I est donc ip — />') — ;

elle augmente avec b^ et atteint sa plus grande valeur quand d = - ,

c'est-à-dire quand la charge occupe la moitié de la poutre.

On arrive au même résultat en supposant que le point G soit compris entre les points I et B, la surcharge occupant l'espace AC.

On a alors A > -, et le point I se trouve dans le premier tronçon,

OÙ les efforts tranchants sont donnés par la formule lL"^px\ il vient pour le moment en I

quantité dont la valeur absolue croit à mesure que b diminue, et

atteint son maximum quand 6 a sa moindre valeur, c'est-à-dire *.

Les deux hypothèses conduisent donc au même résultat, à savoir

que le maximum de l'eff'ort tranchant au milieu I de la portée a lieu

quand la moitié de la travée est couverte par la surcharge. La plus

grande valeur absolue en ce point est 5 (/> — p')a.

Examinons ensuite les variations de l'effort tranchant en un point quelconque de la portée. Pour simplifier cette recherche, nous laisserons provisoirement de côté la charge p' uniformément répartie dans toute la travée» et nous examinerons seulement l'effet de la charge jD — />'= q^ répartie sur la longueur AG. Il vient, dans cette hypothèse,

et les efforts tranchants seront donnés par les équations

A= «^6- ^ — x) de A en,C,

et

A' = - 1^ de C en B.

Le premier elBfort tranchant est seul variable, il change de signe au point x=b — =6{ i ) ; tandis que le second, A, est constant et toujours négatif. Le changement de signe a lieu en un point M situé entre les points A et C, et l'on obtient pour la ligne

p. 7j des efforts tranchants le sys -

,*i?T tème des deux droites A'C, fa C'B'. Si Ton n'a égard qu'aux F valeurs absolues, il faudra •* replier au-dessus de la droite B AB, le contour MC'B' qui correspond aux ordonnées néga- B« tives, ce qui donnera le contour A'MGF pour représenter en chaque point les valeurs absolues de l'effort tranchant.

Le lieu du point 6 est une parabole AGN, tangente en A à l'hori-

zontale AB. En effet, on a GG = ^— , relation qui définit une para-

AU

bole, GG désignant l'ordonnée, et 6 = AG l'abscisse du point G iy:=, 2— est l'équation de cette parabole.

Lorsque la charge q occupe différentes longueurs AG à partir du point A, il suffira, pour trouver la distribution des efforts tranchants correspondants, de prendre sur la parabole le point G qui correspond verticalement à l'extrémité de la surcharge, et d'achever le contour GF, GMA', dont les traits rectilignes conservent chacun son parallélisme. En faisant varier la longueur de la surcharge de manière à la limiter un peu avant ou un peu après un point C déterminé, on obtient successivement les contours ci^mfij^ et o!jnfiJ^^ dont les divers traits ont reçu les numéros i et 2 sur la figure. Or il est visible que ces contours interceptent sur l'ordonnée fixe GG des hauteurs moindres que le contour intermédiaire A'MGF, qui correspond au cas où la surcharge est terminée siu point G lui-même.