DÉFORMATION DE LÀ POUTRE

Cette courbe étant tracée, si l'on veut avoir le polygone représentatif des efforts tranchants pour une surcharge s'étendant du point A à un point G quelconque, on prendra sur la courbe le point 6 dont Tabscisse est AG, puis par ce point on mènera une parallèle GL à IF, et une parallèle GM à EL La première représentera par ses (ordonnées les valeurs de l'efifon tranchant en chaque point du tronçon le plus chargé, AG ; la seconde, les efforts tranchants dans le tronçon le moins chargé, GB.

La plus grande valeur possible pour Teffort tranchant au point A est donnée par l'ordonnée AN, que Ton obtient en prolongeant la droite FI; elle correspond au cas où la surcharge s'étend sur toute la portée.

La courbe EF a été tracée en supposant que la plus grande charge s'étende à partir du point A. Si la surcharge partait du point B, il faudrait renverser la figure, ce qui donnerait une courbe FFE', symétrique de la première par rapport à la verticale IR. Enfin, si Ton cherche seulement les valeurs absolues [de l'effort tranchant, ce qui suffit pour l'évaluation des limites des efforts développés dans la matière, on pourra replier autour de AR l'une des portions de l'épure située d'un même côté de cette droite, de manière à la rabattre sur l'autre portion. Faisant cette opération pour la portion située audessus de AB, nous ramènerons la courbe PE en P£', la courbe FF en PT^. Mais ces arcs restent en deçà des arcs EU, FH ; la portion utile de l'épure se réduit donc aux arcs E'H et FH, et par suite les ordonnées de ces arcs, prises en valeur absolue, donnent j[>our chaque section le maximum de la valeur que l'effort tranchant puisse atteindre. *

Pour trouver la forme de la fibre neutre après la déformation, poar une valeur donnée de la longueur b sur laquelle s'étend la sur* charge, on appliquera de A en G l'équation

^ de G en B l'équation

La double intégration introduira 4 constantes arbitraires ; ma s on a 4 équations de condition, savoir

y s 0 pour X s 0, y = 0 pour y = a;|

enfin pour â: = 6, les équations de chaque tronçon doivent donner le

même y et le même -r > pour que les deux tronçons se raccordent

tangentiellement. De là, quatre équations du premier degré qui suffisent pour déterminer les arbitraires.

94. Une locomotive à quatre essieux 0, 0', 0', 0^" est placée sur une

Fig.gj. poutre AB, posée sur

deux appuis de niveau A, 6, dont la distance est a. Onconnatt les

poids F,, F,,?,, F„ qui portent sur chacune des roues, les distances mutuelles des essieux, et la position 6 du centre de gravité de la machine, où s'applique le poids total Q = P, + P'i + P, + F,. On demande quelle position il faut donner à la machine sur le tablier du pont pour rendre le plus grand possible le moment fléchissant maximum. Nous empruntons la solution de ce problème à un travail de H. Barré, ingénieur civil.

Les moments fléchissants sont représentés pour chaque position particulière de la charge, par des ordonnées d'un contour polygonal kmmWm'^Bf dont les sommets sont dtués à Taplomb des points d'application des forces P^ , F^ , etc. Il en résulte que le moment fléchissant maximum correspondant à une position donnée de la charge a lieu en Tun de ces points d'application, sauf le cas où le polygone des moments aurait un côté horizontal ; alors le maximum du moment fléchissant aurait lieu pour tout l'intervalle compris entre les points d'application de deux forces consécutives, et il n'y aurait

par conséquent aucune erreur à admettre qu'il a lieu pour un des sommets qui terminent ce côté.

Nous chercherons donc le maximum' du moment fléchissant aux points de contact des roues avec la poutre ; comme il y a quatre roues, il y a quatre points à essayer.

Soit G un de ces quatre points. Cherchons le moment fléchissant de la poutre en ce point.

Soit I le milieu de la poutre ; 6' la projection sur la poutre du centre de gravité 6 de la machine ; nous définirons la position de la locomotive par la distance, positive ou négative, IG' = z de son centre de gravité projeté au milieu de la portée. La distance C6'= b^ du même point au point G que nous essayons, est une donnée de la question.

Le poids total Q appliqué en G' donne sur Tappui une près-

sion X = ". Le moment fléchissant M au point G est égal

au moment de la réaction X, diminué de la somme (a des moments des forces P^ et V\ comprises entre l'appui A et le point G. Nous aurons donc

U s'agit de Uouver la valeur de js qui rend M maximum ; or |jl est indépendant de z^ car le déplacement de la locomotive laisse constantes les forces P, t P'i t et leurs distances au point G. Donc le maximum de M correspond au maximum du premier terme de sa valeur,

c esl-à-dire au maximum d'un produit de deux facteurs - + js* * + 6 — Zy dont la somme a -I- 6 est constante ; le maximum cher-

ché correspond donc à l'égalité des deux facteurs, ou à z = - 6.

On devra par conséquent amener la locomotive dans la position où le point I, milieu de la poutre, divise en deux parties égales la dis*

tance horizontale G6' du centre de gravité au point de contact G de la roue.

Après avoir opéré ainsi pour l'une des roues, on opérera de même pour les trois autres ; on calculera les moments fléchissants correspondants pour chacune, et l'on retiendra seulement le plus grand des quatre moments fléchissants ainsi calculés.

La même méthode est applicable au cas où Ton voudrait tenir compte du poids propre pa de la poutre, supposé réparti uniformément. Alors on aurait

|x ne varie pas avec z ; le maximum de M s'obtiendra en égalant à o la dérivée du second membre, ce qui donne •

w=?(^H-i(^')-f-Kl^'-')=»-

ou bien

et

équation qui se réduit &

Qz pa a "^ 2 1 — pz ■{- pb ,

tfi

^u Q + pa

• 2Q + pa*

On voit que le rapport ^ est toujours compris entre -et l'unité,

et qu'il est voisin de la première ou de la seconde limite, suivant que le poids propre pa est très petit ou très grand par rapport à la surcharge Q.