Cette solution peut être généralisée

fis, 82.

JL ^6

SoîentP,, P,,..... P., n poids distribués sur la portée AB = /, à des

Mi^i M» M distances invariables les

uns des autres.

jii p« .Hi Mj(

lit 1 t

Soient a^, a,,..... a„« ces distances, comptées à partir du premier P^ de ces poids.

La position de l'ensemble sur la poutre est définie par la distance X = AMj du premier poids à Tappui A; cette quantité est posiUve et moindre que / — a», sans quoi un des poids au moins sortirait de la travée.

Le centre de gravité G du poids P sera défini, par rapport à leur ensemble, à Taide de l'équation des moments. Appelant v la distance M,G, on aura

(Pi + Pi + - + Pnïv = P,a, + P,a, + ... + P«a».

La réaction X de l'appui A sera donnée par l'équation des moments par rapport au point B :

\l = Pi(/-i) -hP,(/— a,— a;) + P,(/-a,-x) +. • + P»(/— a^—x) = (Pi + Pt+-. + P.i)MPi+ P,+...+ Pii)aî-(PA+ P»«>+- +P-«J

= (Pi + Pt + - + PJ ('— * - ^)'

ou bien

en appelant Q le poids total, P, + P, + + P«, engagé sur la

travée.

Le maximum de la portion du moment fléchissant dû aux surcharges a lieu en un des points d'application des forces, au point d'application du poids Pt, par exemple. Le caractère auquel on reconnaîtra

ce point est que l'effort tranchant, ^=^y change de signe d'un

côté à Tautie de la force P»; il faut donc que la différence

X — (Pj + P, +... + P*-i) soit positive,

et qae la différence

X — (Pi + P, + .... Pk-i + Pk) soit négative.

Or la force X est comprise entre deux limites qui correspondent» Tune k x = o, l'autre à a: = i—a^. Substituant ces deux limites dans les différences précédentes, on saura, à l'inspection des signes, en quels points d'application des forces le moment fléchissant peut acquérir la plus grande valeur.

Pour déterminer ensuite le maximum de ce moment fléchissant, il faut faire varier x de manière à rendre le moment M le plus grand possible. Soit k le numéro du point d'application où le moment fléchissant est le plus grand de tous. On aura en ce point

M = X(x + a») — Pia»— P,(at — a^) — P, (a» — oj .... - P»-» (a* — a*-»),

fonction dont le premier terme varie seul avec x. Il suffit donc de chercher le maximum du produit

X(x+ a») = Q ^4-ÎL±î^ (X -h a») = ^(/-»-x)(x + a*).

La somme des deux facteurs variables étant constante, le maximum

répond à l'égalité des facteurs, c'est-à-dire kx = -^ -. Si cette

valeur de x tombe entre o et / — a« , elle donne bien le maximum cherché, et l'on peut vérifier que le milieu de la distance du poids P^^ au centre de gravité G coïncide avec le miUeu de la portée. Si au contraire la valeur de x ne tombe pas entre les limites o et / — a„, le produit X(a: + ^h) varie toujours dans le même sens pour x croissant entre ces limites, et le maximum a lieu soit pour â? =; o, soit pour x = l — a^.

ENCASTREMENT. i 71