DANS UNE POUTRE DROITE ENCASTRÉS
96. Quand une poutre est simplement posée sur tm appui^ sa liaison avec l'appui est telle, que la poutre, en se déformant, peut prendre une inclinaison quelconque sur sa direction primitive.
On dit qu'une poutre est encastrée sur un appui j lorsque sa liaison avec l'appui tend à réduire en ce point la déviation de la fibre neutre. L'encastrement est parfait quand la déviation de la fibre neutre sur l'appui est rigoureusement nulle. Il y a encastrement hcomplet, si la déviation de la fibre neutre, sans être nulle, est gênée par la liaison et limitée à une valeur inférieure à celle qu'elle prendrait si la poutre était posée sur l'appui*
Nous ne nous occuperons dans ce paragraphe que des encastrements parfaits.
Ou a une image de l'encastrement en considérant une tige soli-
ng. 83.
un " In h
dément pincée dans les mâchoires d'un étau, ou bien une poutre engagée par son extrémité dans un massif de maçonnerie suffisamment résistant. Un appui A, sur lequel la poutre MN serait simplement posée, ne fournirait qu'une réaction unique P. Un encastrement B, complet ou incomplet, développe au contraire à la fois deux forces Q, R, dans deux directions opposées, et équivaut par conséquent à une force R — Q et à un couple (Q, — Q); il résulte de là qu'une poutre chargée de poids peut être en équilibre en n'ayant qu'un appui unique, pourvu qu'il y ait encastrement sur
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cet appui, tandis qu'elle aursdt besoin de deux appuis au moins, si elle était simplement posée.
C'est en cherchant les conditions de l'équilibre intérieur des solides encastrés que Galilée a créé, il y a deux nècles, la science de la résistance des matériaux. L'hypothèse qu'il proposait était, il est vrai, inadmissible; car il plaçait la fibre neutre au point le plus bas de la section, et il supposait c[ue les tensions développées dans tous les points de la section se composaient en une seule force appliquée au centre de gravité. L'hypothèse qu'on emploie aujourd'hui satisfait aux équations de la statique, et paraît d'ailleurs beaucoup plus voisine de la vraie loi des déformations.
Nous allons résoudre quelques problèmes sur l'équilibre intérieur des pièces encastrées.
97. 1" CAS. — La pièce BA est encastrée au point B dans k Fig. 84. mur CD; F extrémité A est libre et porte un
poids P donné.
La longueur libre BA de la pièce est donnée et égale à a.
Prenons un point M de la fibre neutre , et
considérons le tronçon MA. Soit 0 l'origine des
j « abscisses comptées le long de OA , et soit
OM = X. On aura MA = a — x. Le moment
fléchissant au point M sera égal à — V{a — x), avec le signe —
parce que la force P tend à donner à la pièce une courbure négative.
L'effort tranchant au point M sera égal à P; il est constant pour
tous les points de la portée.
Les forces dont l'encastrement tient lieu sont donc
1* Une force verûcale égale à P,
s"^ Un couple, dont le moment est égal à Va.
Les moments fléchissants seront représentés par les ordonnées d'une droite AE menée par le point A, et coupant la verticale en un point E, pour lequel l'ordonnée OE est égale à Pa, pris à une échelle arbitraire; les efforts tranchants, par les ordonnées constantes d'une horizontale FK , menée à la distance OF = P de l'axe des abscisses.
ËUUILIBRË DES PIÈCES ENGASTUËES.
Cherchons la forme de la fibre neatre après la défonnatioû. Pour cela, prenons l'équation
El ^ = — P(a— x) = -Pa + Px.
Int^rons cette première équaUon, qui nous donne
dx
Paz + 5 Px" ;
nous n'ajoutons pas de constante, parce que, l'encastrement étant supposé parfait, il n'y a aucune déviation de la fibre neutre au point
0 ; donc x=o doit donner ^ = o.
dx
Intégrons de nouveau :
Ely = - I Paor» + 1 Px»,
sans constante, parce que pour a; = o, y est égal à o.
Si nous faisons x = a, nous aurons l'ordonnée du bout de la pièce, ou, en valeur absolue, la flèche qu'elle prend sous la charge P. On trouve
La flèche de l'extrémité A est donc égale à
|Pa« El •
Le cas d'une pièce encastrée par un bout et libre à l'autre,
peut se ramener au cas d'une pièce posée sur deux appuis : nous pouvons con* sidérer notre poutre en« castrée comme la moitié, O'A', d'une poutre A'A" de ^ longueur égale à aa, posée
sur deux appuis en A' et en A", et chargée en son milieu 0 d'un
poids égal à sP«
Fig. 85.
EU-
En effet la charge sP se partagera également entre les deux appui et y donnera une réaction égale à P. Le moment fléchissant au point (y sera égal à P x A'O = Pa ; enfin la poutre A' A" conserve aprfe la déformation, en vertu de la symétrie, une tangente horizontale au point 0'. Donc chacune des demi-poutres (/A', D'A" est dans te mêmes conditions qu'une pièce qui serait encastrée au point 0', qoi serait libre à son autre extrémité, et qui serait sollicitée en ce point par une force égale à P, agissant de bas en haut. Le moment d encastremeiit est, dans le cas considéré, égal à P&
Ce moment est produit en général par rarc-bootement, aux points B et H, du prolongement de h poutreaudedansdelacavité NSRB, qu'on ménage dans lemurCDpourrecevoirl'about de la pièce. On aura donc pour l'équilibre Va = Q6, en ap pelant Q les forces du couple développées par les points B et H, et h la distance de ces forces, ou approximativement la longueur BI engagée dans le mur. Cette relation nous apprend que Q est d'autant plus grand que b est plus petit : que, par conséquent, la difficulté de réaliser l'encastremeot parfait est d'autant plus grande que cet encastrement doit s'opérer sur une moindre longueur de poutre. Outre la force Q, le point B subit, comme on l'a vu, la réaction verticale de l'appui, égale à F. Les forces Q et P + Q étant développées par la maçonnerie du mur, il faudra vérifier dans chaque cas particulier que ces forces n'excèdent pas la résistance du massif, et n'en compromettent pas b stabilité.
98. 2« CAS. — Poutre encastrée à une extrémité^ libre à tautrt, et uniformément chargée de poids.
Soit a la longueur libre, OA, de la poutre, et p le poids qu'elle porte par unité de longueur. Soit x = OM l'abscisse d'une section quelconque. L'équation de la courbe des moments sera
Fig. 87.
