PIÈCE ENCASTRÉE
^"^ El ^ 8 "^ El ^8'
~" "T.| Tappui, et le coilple, la valeur du
moment fléchissant au point où
Le rapport des flèches^ est égal à ou à?; c^est-àdire que la
concentration de la charge au bout de la pièce augmente la ffèche à peu près dans le rapport de i à 3.
99. S'Cas. — Pièce encastrée à ses deux extrémités^ et chargée de poids également répartis.
Nous savons que l'encastrement équivaut à la fois à un couple et Fig. 88. à une force; 1^ force représente la
valeur de l'effort tranchant sur
^ la pièce s'engage dans son encastrement.
Soit AB la pièce droite dans son état naturel ; posons AB = a: soit j9 le poids également réparti par unité de longueur ; prenons arbitrairement un point G sur la portée ÂB , et soit x == AG l'abscisse de ce point.
Le poids total de la poutre chargée estpa\ ce poids se partage également entre les deux appuis, et y donne une réaction verticale
égale à -/7a, comme si la poutre était seulement posée. Le moment
fléchissant dans la section G se compose
1* du moment positif de la réaction verticale^ de l'appui A;
2* du moment négatif des poids répartis de A en G ;
S* du moment inconnu du couple développé dans l'encastrement ; nous en représenterons la valeur absolue par la lettre |jl ; il est facile de voir que ce moment est négatif*
Nous pouvons donc poser réquation dilTérentielIe
dans laquelle (i est une inconnue à déterminer. Intégrons une première fois, en remarquant que x^so donne
^=0, puisque Tencastrement est supposé parfait :
Si dans cette équation nous faisons x = a, nous aurons le ^
du point B; or il est aussi égal à zéro à cause du second encastrement ; de là résulte l'équation
jpa»— ^po»— ïia=0, qui donne
' Telle est la valeur absolue du moment d'encastrement, ou du moment fléchissant au point A, et par suite aussi au point B.
Introduisons cette valeur de (x dans l'équation différentielle; il viendra
Enfin, intégrant encore une fois,
Cette équation très simple montre que y est nul pour â? = o et pour x = at c'est-à-dire sur les appuis, et qu'il atteint sa valeur ab-
178 PIËCE ENCASTRÉE
solue maximum au point où a? = - , c'est-à-dire aumilieu de la portée ;
on trouve pour la flèche en ce point :
Lorsque la poutre est simplement posée sur ses appuis, la flèche (§ 90) est égale ^^X^ôT'^ double encastrement a donc
£il 5o4
pour effet de réduire la flèche au cinquième de la valeur qu'elle prend quand la pièce est seulement posée.
La courbe des moments fléchissants est représentée par l'équation
C'est une parabole dont l'axe est vertical, et dont le paramètre est égal à -; pour construire cette courbe, faisons dans l'équation x = o
puis a? = a; nous trouverons M= joa', valeur du moment fléchissant développé par l'encastrement sur les appuis. Prenons donc au-dessous de AB (fig. 89) deux ordonnées AD, BE, égales en valeur
absolue à — pa* mesuré à l'échelle arbitraire des moments. Les
points D et E appartiendront à la courbe.
Si Ton fait ensuite a; = -,on a le maximum de M: on trouve
M= -rpo^t c'est-à-dire la moitié, en valeur absolue, du moment «4
trouvé sur les appuis. On prendra donc au milieu F de la portée, et dans le sens positif, une ordonnée FG égale à la moitié de AD ; le point 6 sera un troisième point de la courbe. L'axe de la courbe sera d'ailleurs la droite 6F elle même. On achèvera cette courbe en la faisant passer par les trois points D, 6, E, ce qui suffit pour la déterminer, puisque la direction de l'axe est connue. La parabole D6E coupe l'axe AB en deux points I et K, pour lea-
À SES DEUX EXTRËMITËS.
qaelsie moment fléchissant M est égal à zéro; on a les alMsdsses de ces points en résolvant l'équation
^pa«=0, ou fl^ — a» + ^a«=0.
ce qui donne
Le signe + correspondàrabscisseAK=axO,7887...; le signe — , à l'abscifise AI = a x 0,2113...
En ces points le moment fléchissant est nul ; par suite le ^ est
aussi nul ; ce sont donc les points d'inflexion de la fibre neutre, suivant la définition géométrique de l'inflexion ; ce sont aussi les points de nonr flexion de la fibre neutre, c'est-à-dire les points où le moment fléchissant est nul, et où la fibre neutre ne reçoit aucune courbure par reflet des forces. La pièce entre les points I et K se comporte comme une pièce simplement posée en ces points sur des appuis. La distance Al est égale à peu près au cinquième de la portée. Si la pièce était posée sur les appuis A et B, au lieu d'y être en» castrée, la parabole des moments aurait toujours la même forme,
car elle aurait - pour paramètre ; mais elle serût déplacée parallèlement à elle-même, de manière à passer par les appuis A et B, et elle occuperait la position ponctuée AG'B. Comme les dimensioM nécessaires des pièces sont réglées sur les valeurs absolues des AQh
ments OéchissaDts, rencastrement, à égalité de résistance, conduit à une économie de matière ; car la plus grande ordonnée, en valeur absolue, du contour DGE est égale à AD, ou à — pa*; tandis que la
plus grande ordonnée de la courbe AG'B est égale à G'F ou à -^pd^*
Mais il ne faut se fier à cette économie qu'autant que l'encastrement de la pièce aux deux bouts est complètement assuré. Autrement la suppression brusque de Tencastrement pourrait produire dans la pièce une variation subite du moment fléchissant, qui entraînerait la rupture.
Pour les efforts tranchants, ils sont les mêmes dans les deux cas, et on les représentera, à une échelle arbitraire, par les ordonnées d* une droite HL, passant par le point F, milieu de la portée.
100, Comparaison avec la poutre posée sur ses appuis. — La
Fig. 90. courbe des moments fléchissants de
^, -r- - .^ la poutre posée est la parabole
,' ^9.!. \ AG'B, dont l'ordonnée maximum
La courbe des moments fléchissants de la poutre doublement encastrée est la même parabole déplacée verticalement de la quantité
GG'=AD = BE== — pa^; ce qui réduit la nouvelle ordonnée du
milieu, FG, au tiers de FG'.
On peut mesurer la quantité de matière nécessaire pour construire la poutre par l'aire comprise entre la droite AB et la courbe des moments. En admettant cette règle approximative, qui sera justifiée plus tard, le mérite relatif de l'encastrement est mesuré par le rapport des surfaces ADI + IG£ + KBE et AG'B.
SoitEGD (fig. 91) une parabole ayant pour sommet le point 6, pour axe la droite GX ; menons les ordonnées FK, FE, et soit GFs=GFx3* Dans la parabole les ordonnées sont proportion*
DBS PIÈGES ENCASTRÉES.
nelles aux racines carrées des abscisses ; on aura donc EF= FK x v/3 - L'aire 6FK est les deux tiers du rectangle 6FKL ; l'aire GEM est le tiers du rectangle 6FEM.
Pîff. 91. Faisons GF=/>, FK = y;
on aura
Surf. GFK = ^ pq,
Surf. GLK = jpg, «
Surf. GME = I (p X 3) X (g V^) = pg ^, Surf. MLRB=:px {g ^^—g) = pq ^ — pq.
Or
Surf. GME = GLK + surf. MLKB + BRE.
11 en résulte
Surf. BKE = pq ^^—-^pq — W^ + pg = |pg= Surf. GFK.
Revenons à la question principale. La somme des surfaces ADI+IGK+KBE sera égale au double de la surface IGK,c'est-A-direà
^X IK X F6, et le rapport cherché sera égal à
|lKxFG |aBxFG
