TRAVAIL DE LA FLEXION

116. Nous avons vu (§ i4) que, lorsqu'une tige de longueur L et de section u> subit un allongement ou un raccourcissement égal à X , le

travail des actions moléculaires a pour valeur — = — .

Considérons (fig. 66, p. i^i) la fibre mm\ dont la longueur, primitivement égale à IG = 6tr , est devenue égale à mni' par suite de la flexion du prisme ; le travail correspondant subi par la fibre est donc

Remplaçons nini^ par sa valeur 16 x -j^^ et faisons la somme des

expressions semblables pour tous les éléments de la section AB; il viendra pour le travail total de la déformation de l'élément prismatique ABA'B',

Tel est le travail moléculaire dû à la déformation pour une longueur infiniment petite dx de prisme.

L'intégrale de cette expression, prise entre deux limites, donnera le travail moléculaire accompli entre les deux sections correspondantes. Ce travail diffère de la somme des travaux des forces extérieures appliquées dans le même intervalle ; la différence est la demiforce vive acquise par la masse de la poutre quand elle passe de sa position naturelle à sa position d'équilibre après la déformation.

Cherchons à calculer ce travail total.

Soit M le moment fléchissant des forces appliquées sur la poutre

m TRAVAIL D£ LA FLEXION.

entre le point â;= o et le point dont l'abscisse est x. Nous aurons l'équation

ou bien

et par suite

Donc

~Er

Intégrons par partie la différentielle Wdx. U vient

C M*(i2=:M C M(2x — CdM Clldx.

Or \ Mdx est égal au produit de El par la variation de Tin-

clinaison -^ de la fibre neutre déforméet entre les deux extrémités ax

du tronçon que Ton considère ; nous pouvons donc poser

Par suite

.eiJa*-ei(|),ii.

Donc enfin

J;i.^ = EII.[*-(|)J-E,J> + EI.(|).

=En^

— ElC'Ady.

Si Ton prend la poutre entière, posée ou encastrée sur ses appuis