SI28 GLISSEMENT LONGITUDINAL DES FIBRES

H étant une constante arbitraire par rapport à v^ c'est-à-dîre one fonction de x seul.

A et I peuvent sortir du signe $, puisqu'ils sont indépendants de v; posons

\ uodo = ®(t?);

la fonction f est déterminée par la forme même de la section ; c'est une fonction continue quelle que soit cette forme, et elle s'annule pour t; = o, c'est-à-dire pour la fibre moyenne ; elle exprime la somme des moments des éléments de sections par rapport à la ligne neutre. On a en définitive :

Si l'on fait t> = o, et qu'on appelle u^ la valeur correspondante det«, ou la largeur de la pièce dans le plan de la fibre moyenne, il vient H = t^oSo* Le produit uS est la mesure de la résistance totale au glissement des fibres, rapportée à l'unité de longueur de la poutre, pour une fibre définie par la quantité v; H est cette même mesure pour le plan de la fibre neutre.

Pour trouver la valeur de H, faisons v = v\ valeur extrême de v ; nous devrons trouver S = o , puisqu'il n'y a plus de cohésion sur la fibre extrême de la pièce. Donc

H = — Y ç (©'), et par conséquent «S = y [?(v) — çCt^Ol-

119. La considération du glissement longitudinal conduit à la répartition de l'eiTort tranchant total  entre les dilTérents points de la section PQ.

Appelons T la résistance à Terfort tranchant rapportée à l'unité de ^* *<>• surface, telle qu elle existe dans la fibre mfu

l\ La résistance totale développée en mn sera

^ y Tiidv. Dans la section m!n\ nous aurons de même une résistance TWt?, et T ne différera de T que d'une quantité infiniment

qT' petite, égale à la différentielle partielle de ** T par rapport à x.

De même les résistances au glissement étant S et S' par unité de surface, les résistances totales sont &udx, et SVrfx, S' et t/ différant respectivement de S et de w, de quantités infiniment petites, égales à leurs diflêrentielles partielles par rapport à v.

La fibre est encore sollicitée par des forces, Rt/cfo, RWv, qui s'exercent dans le sens de la longueur et suivant la ligne moyenne de la fibre, et par une force /, qu'on peut supposer appliquée en un point 0 de cette ligne moyenne, et qui représente la part des forces extérieures appliquée directement à cette fibre.

Prenons par rapport au point 0 le moment de toutes ces forces qui se font équilibre. Les moments des forces R, R' et / seront imls, puisque ces forces passent par le centre des moments. Restent donc les moments des forces S, S', T, T, qui sur la figure tendent toutes à faire tourner dans le même sens leurs points d'application. Ces forces, différant infiniment peu deux à deux, se réduisent à la limite i deux couples, et la somme des moments de ces couples doit être ^ale à zéro : on a donc

Sudx xdv + Tudv x dx= 0, etparsuite S + T==0, ou T = — S,

d'où résulte le théorème suivant : En un point gnekonque^ la résistance au glissement longitudinal des fibres est égale^ en valeur aln sohiey à la résistance locale à r effort tranchant^ rapportée à f unité de surface (i).