FO

qui correspond à une traction égale à P ; nous aurons P =p -:— ; donc

Kû P . ^., .

— - = -j» ce qui nous permet d écru*e

ou bien, en supprimant le facteur P,

Soit BO = /; nous pouvons transporter l'origine des X au point 0, ce qui revient à changer x en x + L Opérant cette transformation, il vient l'équation plus simple

dt

où X est compté, non plus à partir du point B,

I mais à partir du point 0 défini par sa distance B0«

Voia comment on peut intégrer cette équation. Posons

de

V sera la vitesse du point mobile à un instant quelconque. Il en résulte

d^x et/ dv vdv

dt^

dt

dt " dx*

Donc

et, en intégrant.

vdv^^ixdx,

Cette équation n*est autre chose que l'application pure et simple du théorème des forces vives. La constante v^ est la vitesse du mo* bile à son passage au point 0. Pour déterminer, ou plutôt pour éli-

miner cette constante, faisons x=^ — /, ce qui place le mobile au point K En ce point il a la vitesse due à la hauteur GB = A, c'est-àdire >J'^gh ; nous aurons donc à la fois, en supprimant le facteur —,

Retranchant, il vient

Cette équation, qui ne renferme plus rien d'arbitraire, nous permet de déterminer la limite de l'excursion du point mobile ; il suffit d'y faire « = o, d'où résulte pour x les deux valeurs suivantes :

La somme /+ A est la distance CO. Sur.CO comme diamètre, décrivons une demi-circonférence, puis du point C comme centre avec CB = A pour rayon, décrivons un arc de cercle qui coupera la demi-circonférence au point D. La corde OD sera égale k ^{l+hy — A*, et par suite, si l'on décrit une circonférence du point 0 comme centre avec OD pour rayon, elle coupera la droite AX en deux points E et F, qui correspondront aux valeurs-limites de x données par l'équation précédente.

L'un de ces points, le point £, qui' correspond à l'abscisse positive,

donne à la tige un allongement total égal à /+ \/(/+ A)* — A*; la tension correspondante est égale à

EQ [/ -f v/(/ H- /t)* - h^

de sorte qu'elle surpasse de toute la quantité ^^ ^ ^

la tension statique que produirait le poids P, suspendu sans vitesse à la tigQ.

D^UNE TIGE ELASTIQUE. 85

L'autre point K', qui correspond à Fabscisse négative, peut être inadmissible; en effet, si le poids P est seulement posé sur V obstacle fixé à rextrémité inférieure de la tige, il est impossible qu'il exerce j amais sur cette tige la compression nécessaire pour y produire un raccourcissement égal à B£', et comme on ne suppose pas que la tige ait une masse appréciable, la vitesse acquise par ses molécules ne peut contribuer à faire dépasser le point B à son extrémité libre, quand elle y revient dans le sens ascendant. Dans ce cas, le poids mobile, arrivé au point B, s'y trouvant animé de bas en haut d'une vitesse v égale à ^^gh^ abandonnera l'extrémité de la tige pour remonter jusqu'au point G comme un corps libre; puis il retombera sur l'obstacle B, pour faire faire à la tige une seconde excursion jusqu'au point E, avec retour au point B, et ainsi de suite.

Si le corps P est saisi par l'obstacle B de manière à ne pouvoir s'en séparer, son mouvement rétrograde pourra développer une compression dans la tige, et le travail résultant empêchera le poids de remonter jusqu'au point G; dans ce second cas, il s^arrêtera en £\

Entre les points B et F, l'action élastique de la tige sera alors dirigée de haut en bas et s'ajoutera à l'action ^e la pesanteur.

L'équation posée plus haut sera donc vraie dans ce second cas pour toutes les valeurs de or, tandis que dans le premier elle ne con«

vient qu'aux valeurs de x comprises entre — /et ^{l+h)* — A*.

17. Nous supposerons le second cas, celui où l'équation est vrai6 d'une manière absolue, et nous allons achever la solution.

L'équation

1^- igh = 2 (/t—x»)

donne

w = =t\/2jf/i + 2(^-.x«).

Le signe + correspond au mouvement descendant, le signe — au mouvement ascendant du poids P. Pour déduire de là l'équation

déBnitive du mouvement, posons t) s= -^ ; il deviendra, en résolvant par rapport k dU

dt=z±

^^gh+fil^-'X^)

Prenons le signe supérieur pour étudier ce qpi se passe quand le mobile va du point E' au point E. On intégrera cette équation en posant

^'«- ^- a; = — V'(/ + AJ« — A» 008 9,

ff étant un angle auxiliaire. Cet angle f est donné sur la figure par F angle E'ON, N étant sur la circonférence E'NE le point qui se projette en M sur le diamètre EE', et qui a pour abscisse x = — OM. On déduit de cette relation

dx = v^(^ + AJ' — A* sin çd^

et

Donc t = \/-f 9 sans constante, si l'on compte le temps à partir

du moment où le mobile quitte le point E' pour s'avancer verp le point E.

L'équation du mouvement est en définitive

= — V^(/ + A)« - h' cos 1/2 u

(Test l'équation du mouvement de la projection d'un point N qui parcourndt d'un mouvement uniforme la circonférence E'NE,

DTNE TIGK ELASTIQUE. 27

Pour avoir la dorée d'une excursion complète de E' en E, il faut faire d'abord 7=0, puisf =ir, ce qui correspond aux deux points extrêmes; la différence des deux valeurs correspondante.^ de t donne ;a valeur

de la durée d'une oscillation.

18. On retrouve ainsi la formule de la durée des petites oscilla^» lions du pendule simple de longueur /. (1 est facile de se rendre compte de cette coïncidence. L'équation du mouvement oscillatoire du poids P est, comme nou^ l'avons vu,

c>st-à-dire que la résultante des forces qui agissent sur ce poids

^^^ ^- mobile est une attraction proportionnelle h, la distance au

l point fixe 0. Le pendule simple S est sollicité, lorsque

l'angle d'écart est a, par une force tangentieUe égale

par unité de masse à g sin a, et cette force tend à rapprocher le mobile du point R. L'équation du mouvement est donc dans ce cas

TS = — ff 8in CL

s étant l'arc compté à partir du point R dans le sens RS. Mais s = /a, di appelant / la longueur PR. L'équation prend la forme

et si les limites de l'angle a sont très petites, on peut confondre sin a avec a, et po^er