BK=BI — IK
Par le point 6, milieu de Parba- N létrier, menons 6N parallèle à AI ; nous aurons
BGN = a,
et
BN = GN tanga = g tango.
Il reste donc à montrer que NK est égal à
|tangp.
NK est la projection sur Bl de la droite GE, laquelle est égale à
AGtangp.
Donc
NK = AGtangp x cosa = AG cos a x tangP = ^tangP,
et réalité est ainsi entièrement vérifiée.
La coïnpressioD de l'arbalétrier est due aux composantes longitodU nales des forces. Au point A, elle est égale à la force pa sin a + T, cos P; au point B elle est égale à la force X cos a -f T, cos p. La différeoce entre ces deux forces est égale à la somme pi cos a sin a, ou pa sin a, des composantes de la charge parallèles à l'arbalétrier. On doit donc
avoir
ou bien
pasina+Tj co8p = |>asina + Xcosa+T|COsp»
(Tj — TJ cosp = Xcos«,
équation déjà vérifiée*
1&5. Cherchons à construire les courbes qui représentent les valeurs de la compression, des moments fléchissants et des efforts tranchants aux différents points de l'arbalétrier.
Du point A au point G, la valeur du moment fléchissant est donnée par Féquation
M= YjX— 5 p C08*ax* = jg p/c08*ax— - pcos'ax*,
les abscisses x étant mesurées sur la droite A6 à partir du point A dans
le sens AB.
Si l'on fait
Fig.137.
Au il vient
M=-^p/»cos««=-.^pa«.
Prenons sur 6E, au-dessous de AB, une longueur
la parabole des moments passera par le point M. Elle passe d'ailleurs par le point A ; on poiu'ra donc tracer cette courbe APM, puisqu'on en connaît deux points , qu'elle a un paramètre connu et qu'enfin son axe est normal à A6.
POLONCEâU. 273
nie se répétera symétriquement en MQB dans la seconde moitié de l'arbalétrier.
L'effort tranchant sera égal à Y^ au point À, et à — T^ au point B ; il a deux valeurs au point 6, et la différence de ces deux valeurs est ^le à Y, ; en résumé, il est représenté par les ordonnées de la double droite, Y^HR, STU, qui coupe l'axe AB aux points H et T, projections des points P et Q où la courbe des moments a sa tangente parallèle à AB.
La compression au point A est jemz sin a -f T^ cos^; en un point quelconque, dont la distance au point A est a:, elle sera donnée par la formule
-^ . . 13 cosacos?
p =pa Sm a + ttPû : — TT^ — px SID a COS a,
équation qui représente une ligne droite NV.
La charge la plus grande de la matière sera ensuite calculée par la formule
^P Mr K-û + T
qu'on peut construire, comme nous l'avons déjà fait (S 129), au moyen de deux arcs paraboliques, l'un correspondant à la face supérieure, l'autre à la face inférieure de l'arbalétrier.
Il est à remarquer que la plus grande valeur du moment fléchis^ saut a lieu au point G, appui central de l'arbalétrier, et qu'elle est
égale en ce point à ^ pa*, quantité qui dépend de la portée horizontale de la ferme et du poids également réparti suivant l'horizontale, mais qui ne dépend pas de l'angle a. Au contraire, la plus grande compression dans l'arbalétrier 9 lieu au point A, et elle a pour valeur
(, 43 ces a ces p\
elle dépend donc de l'angle a,ou de l'inclinaison du comble. Les dimensions de l'arbalétrier peuvent être calculées d*après la
plus grande valeur du moment fléchissant ^ jDa% ou d'après la plus grande valeur de la compression, qui est
/ . 43 COSaCOSBX
Cette dernière expression seule est fonction de Tangle a. Sap< posons, pour plus de simplicité, que ^ = a, ce qui n'est jamais bien loin de la vérité. Pour choisir l'angle a qui convient à Tai-balétrier le plus léger, on observera que la section de cette pièce doit être
proportionnelle à ( sin * + -^ cotg a cos a j, et que sa longueur es égale à ^ le volume est donc proportionnel au produit
(8ma+ -- COtgaCOSal
COSa\ 16 ^ /
OU à
tg«+jgCOtga.
On aura par suite à égaler à zéro la dérivée de cette fonction par rapport à a, ce qui donnera
cos" a 16 SI n'a
\/i3 équation d'où l'on tire tga = ^L— et a = 4«^ environ.
Supposons qu'au lieu d'avoir ^ s= a, on ait ^ = - a. La fonction dont il faudra chercher le minimum est alors
^(8in. + l|cotgPco8«) = tg« + î|cotgp.
La dérivée prise par rapport à a est
! îi J^ — j 13 4 __
C08*a 16 8in«p(i« cos«« 32 8in*p
POLOxNCEAU. 875
Or de la relation a = 2^ od déduit
cosa = 4 — 2sîn*^
ce qui donne
. ,û I — cos«
Il vient donc, pour trouver le meilleur angle a dans l'hypothèse de a = s^. l'équation
COs'a 32 4 — COS« COS'a 46 4 — cosa *
qui revient à
--COS'a = 4 — COSa,
ou bien à
+ 73 COSa — -- = 0.
Où en déduit
COS. = -l3:ty/(A)Vi| = 0.654.
en prenant le radical avec le signe + pour rendre positif le cosinus de l'angle a nécessairement aigu.
La valeur de a correspondante est a = 49*" 9'*
En général, on n'a pas à résoudre ce dernier problème, car les inclinidsons des toits ne sont pas entièrement arbitraires : les habitudes locales et le caractère de l'architecture n^ permettent pas de s'écarter notablement de certains angles consacrés.
Solution géométrique du même problème.
116. Les forces extérieures appliquées à la demi-ferme sont : La poussée au sommet, BX; la tension du lien EK; le poids pa de la demi-ferme, appliqué dans la verticale du milieu G de l'arba*
