POUTRE D ÉGALE RËSISTANCE POSÉE SUR DEUX APPUIS

152. — I. Une poatre AB est posée sur deux appuis A et B« et chargée de poids également répartis, à raison dep unités de poids par unité de longueur. La distance AB = / est donnée. La poutre doit avoir une section rectangulaire dont la di* mension horizontale est représentée par a, et la dimension verticale par b. On demande de déterminer ceâ dimensions en tous points de la portée, de telle manière que les points les plus chargés subissent uoe pression ou une tension constante, égale à R unités de poids par unité de surface.

Nous emploierons la formule

Flg. IM

frf ,

1 pi

H est ici égal à

pi \ ,

Pour a\oir la pression aux points les plus chargés, il faut faire

0= -; oBa de plus

d*où résulte Téquation

Rxia6t = Çrc-|px\

Cette équation lie les deux indéterminées a et 6 à Fabscisse x. Toute section rectangulaire variable dont les dimensions satisferont à cette équation, assurera au solide l'égale résistance, telle que nous l'entendons icL

Le problème est indéterminé. Pour en achever la solution, on peut s'imposer une condition nouvelle •

1* Soit d'abord a constant; l'équation nous donnera entre b^i x une équation à laquelle le profil longitudinal de la pièce doit satis* faire.

par exemp)e,€iii veut que ledessoas de la pièce soit une droite **« *"• horizontale, b sera Tordonnée de la

T ""^^^--.^ courbe formant le profil de la face supé-

i^< — ,-! ^B rieitre ; ce profil est une ellipse qui a

pour grand axe AB, ou /, et dont le

demi petit axe est égal à la valeur de b pour x = -*

2 Y aR

Si l'on veut au contraire que la droite AB âoit Taxe neutre luimême, il faudra prendre ±-A pour

B ordonnées du profil; appelant v la

L— TZT-IZ JimlT-J moitié de 6 , on aura Téquation du

profil, en remplaçant b par au dans l'équation générale, ce qui donne

Cette équation représente une ellipse, dont le grand axe est égal à AB ,

et dont le demi petit axe est égal à la valeur de v pour a; == - ,

c'est-à-dire à

Cette eliîpse (fig. i5s) a pour ordonnées les moitiés des ordonnées de l'ellipse précédente (fig. i5i).

Proposons-nous de chercher la flèche prise par la poutre d'égale résistance sovs Taelion de la charge qu'elle supporte.

Pour la trouver, nous remarquerons que Ton a

£] ^ FAdhj RI

DE LA FLÈCOE.

Donc

d«y R dix»"* Et?'

et si Ton attribue à 9 sa plus grande valeur - , R sera la limite de

charge donnée ; on trouvera donc les valeurs de y en intégrant Yér quation

dans laquelle b doit être remplacé par une fonction connue de x. L*équatIon du profil nous donne

et l'équation différentielle de la fibre neutre déformée est par conséquent

di* " E ^ V 3p ^ v^7î=ïî-

Pour intégrer cette équation, mettons le polynôme sur lequel porte le radical sous la forme

i^'-ik-'ï:

nous aurons à intégrer la différentielle

vw-iH' v(5)'-a-')"

v/Kî)

= o arc CO8 — - — = d arc ces

Donc enfin, en appelant G une constante,

Pour déterminer la constante, faisons j; == -. Nous devrons avoir

donc

C = — . arc ces 0 = -— -.

Il reste à intégrer Téquation

dij 2R 4 /ôR /. 2x\ 2R 4 /aR ^ k

ou bien

^^y=irV/^'arc cos(l - y) <^-Ç y ^x j^^-

Posons

d'où Von déduit

• d« = — - dtt,

et

arc CCS (i r- ) dx = — = arc cosudti.

L'intégration pai* parties donne

\ arc cos udu = u arc ces m — \ w x -~ -.

s= tt arc cos ti — \ — -

= u arc cos u — \U — n- .

1)K LA FLKCIIE. 293

Remplaçons u par sa valeur ; mais observons qoe x = o fait y=o;oràj;=:o correspond t/ = i , ce qui annule l'intégrale que nous venons de former ; il n*y a donc pas de nouvelle constante à ajouter, et l'équation de la fibre neutre déformée est

Faisons j; = -; la valeur de y, égale à la flèche prise négativement, est

, 2R 4 /ÔR / R 4 /5R / R 4 /5r l ,^ ,

La flèche est donc

Si on avait donné à la poutre une section constante, égale à la section maximum que nous avons trouvée pour le milieu de la portée, la flèche /' serdt (g 90)

-^ "" 384 El •

Dans cette formule

*" 12''^ --12"^oR VaR^S'

et par suite

5x12x8 R 4 /ÔR ,__5^R i /?R ,

42 R V aR 8

La poutre d'égale résistance prend donc une plus grande flèche qu'une poutre dont la section serait constante et égale à la section

294 PIÈCE D ÉGALE RÉSISTANXE

maximum de la première. Le rapport est à peu près égal à ^. La

poutre d'égale i ésistance est, en d*autres termeSf beaucoup moins raide que l'autre poutre.

2"" Si l'on veut que b soit constant, l'équation

donne la dimension variable a par les ordonnées d'une parabole pas- ''•i?- <"^3. ^ sant aux points A et B. Les moitiés de ces or-

données seront les ordonnées du contour latéral de la poutre, en projection horizontale.

8* Enfin, si Ton voulait que la section ab fût partout constante, et égale à ù quantité donnée, b serait exprimé par les ordonnées d'une parabole, et une fois b connu, on en déduirait a par l'équation ab := û. Cette distribution de la matière serait très défectueuse, car sur la culée on aurait 6 = o et a devrait eue infini.

163. — IL Cherchons encore la forme d'égale résistance pour un*

solide encastré par une extrémité B, et portant un poids P à son extrémité A.

L'cquaiion sera

Fig. tu.

en appelant x la distance d*un point M à l'extrémité A, Si la section est rectangulaire, on fera

et supposant a constant, on devra déterminer b par Inéquation

qui représente une parabole.

Pour donner à la pièce une forme symétrique par rapport à ra.\e-