DU SYSTÈME D'ÉQUATIONS

Il est facile de 8*a8surer que les coefficients a^, a,, a„... a^,, a^^ ODt des valeurs absolues qui sont croissantes» à partir du premier a^ dont la valeur absolue excède le nombre s, et qu'ils sont altemativement positifs ou négatifs, à partir de a^, qui est toujours négatif.

On obtient donc H, par la formule

rindice t recevant dans cette somme toutes les valeurs entières de 1 à fi ; pour que cette expression soit générale, il faut admettre que \ est égal à l'unité ; c'est un premier coefficient constant qu'on peut mettre en tête de la suite des coefficients (a).

La même marche sert à déterminer M». On calculera une série T«9 ït' •** Yii>t*^^°^^ oncalculela série a^, ••• a^^« mais en comfflençant par l'autre bout de la poutre ; on trouvera de cette manière :

et H. sera donné par l'équation

Nous verrons plus loin qu'au moyen des deux séries (a) et (Y),on peut calculer directement un moment fléchissant quelconque. Observons d'ûUeurs que^quand la poutre est symétrique par rapport à

son milieu', les deux séries (a) et (y) sont composées respectivement des mêmes nombres.

GOIfSTRUGTION GÉOMÉTRIQUE DES MOMENTS SUR LES APPUIS.

192. Connaissant M,, on en déduira successivement M,, M^,... M,; cette recherche se fait aisément par des constructions géométriques. Lorsqu'une poutre repose sur un certain nombre d'appuis, les moments fléchissants sur les appuis intermédiaires sont tous néga- Fig. m. tifs. Sur les verticales Aa, B6, Ce pas-

sant par les appuis A, B, G, dont les numéros sont k — i, A, A+ i, prenons des longueurs Aa, Bb , Gc, égales aux valeurs absolues de M^.!, H^ M|^4.i; doublons la longueur intermédiaire en prenant B^=iBfr; joigoons ap^ c^; nous formons ainsi deux trapèzes dont la surface totale est égale à

AB X j— ^ + BC X — g — = — «jh-i g- /* ^

= - J [/»-4M»-t + 2(Zk-, + h) M» + /fcMk+i] = I P».

Le théorème des trois moments donne donc là* mesure de l'aire formée par la somme de deux trapèzes AB^a, BGc^, dont les bases sont égales aux longueurs des travées, et dont les hauteurs ont des rapports simples avec les moments fléchissants sur les appuis. On peut se servir de cette propriété pour construire géométriquement la valeur absolue de Mj^.,, au moyen des valeurs absolues de Mm et de Mj.

' Soit en valeur absolue (fig. i83)

GËOMËTRIQUE.

prenons

= B6xa.

Fig. 183.

U s'agit de construire la valeur absolue Ce de Hj^.,. Supposons

le problème résolu, et prenons les milieux, S et c, des côtés a^, ^; par ces deux points menons la droite 8e,q[ui, prolongée, rencontre en p et q les *+' verticales Aa, Ce; le trapèze hpqC est égal à la somme des trapèzes Aâf^B, B^cC, et par suite il a pour mesure

-Pv. Par le milieu I de la distance AG, menons la verticale IK, qui

coupe p^en H vie trapèze kpqC a aussi pour mesure le produit

▲GxIH.

et par conséquent

IH=r