DES MOMENTS SUR LKS APPUIS

La droite cp est définie de position par les ordonnées Ka = Mj^^ et B^ == allt On déduit donc la droite a^ de la droite ab^ qui, comme on vient de le voir, pivote autour d'un point fixe 0^^.^ en doublant l'ordonnée M^ = B^; donc, en vertu de la première remarque et en supposant 0= i, op pivote autour d*un point fixe I^^. De même la droite ^ pivote autour d'un point fixe J*. Il existe ainsi dans chaque travée deux pivots I et J, le premier qui correspond à la droite joignant le point M» au point Mi^t^ lé second, à celle qui joint le point sHk au point M^^^. On voit de plus que les droites AJ, BI se coupent mutuellement au point D, pivot de la di*oite Mi^Mj^^. Cette dernière remarque est due à M. Sacheri, de Tuiûn.

Lorsqu'on fait varier M,, les autres variables M,, ••• Mn+i varient-, mais les droites a^, ^ de la construction graphique passent con* stamment Tune par le point Ij^,, l'autre par le point J^^. En même temps la droite 8e passe constamment par le point fixe H, dont la position ne dépend que des surcharges et des longueurs des travées. Le triangle variable 8^ a ses trois sommets assujettis à parcourir trois droites parallèles DIV, BB, EE", et ses trois côtés pivotent autour de trois pomts fixes, I^^j, H, Jf^. Donc, en vertu du théorème dt Dtsargues (i), /es trois points I^,, VLet iusont en ligne droite.

La recherche des moments inconnus consiste, en définitive, à construire les verticales des pivots I et J dans chaque travée; puis à construire les points H relatifs à deux travées consécutives; à appliquer ensuite la construction du § i64 en partant d'une valeur arbitndre de M,, ce qui achève de déterminer les pivots, et ce qui conduit à un moment M^^^ sur le dernier appui; enfin à refaire cette même construction dans l'ordre inverse, en réduisant à zéro le moment M,^, et en s'aidant des pivots. Les propriétés des points I, J, D dans chaque travée donnent de nombreuses vérifications.

(1) Lorsque deux triangles ont leurs sommets respectifs situés deux à deux sur trois droites cùncourantes ou parallèles^ les points de rencontre des côtés correspondants sont en ligne droite. Ce ihéoréme est évident s'il s'agit d'une flgore dans l'espace ; quant A là figure plane, on peat la regarder comme la perspective d'un tétraèdre on d*un prisme triangulaire coupé par nn plan» ce qui démontre la proposition. — La réciproque est rraie. Voir plus haut, § 146.

On trouvera dans le mémoire de M. Fouret les développements de cette méthode, et Tapplication qu'il en a faite à un projet de pont métallique de quatre travées.

On peut consulter aussi sur le même sujet une note insérée par M. Maurice Lévy dans les Comptes rendus de V Académie des sciences, t. LXIII, p. 749 ; et une note de M. Gunq dans le cahier de février 1879 des Annaks des Ponts et Chatissées»

PARABOUS DES MOMENTS

196. Supposons que tous les moments fléchissants sur les appuis soient déterminés, et proposons -nous d^en déduire le moment fléchissant dans une section quelconque de la poutre.

La section donnée est située dans une travée AB, comprise entre le (A — !)"• et le Af« appui; elle est définie dans cette travée par son abscisse AN = x.

Nous aurons en ce point» en appelant M le moment fléchissant va- Kg. 180. fiable avec a:.

A est l'eflbrt tranchant en A dans la. trav'ée AB; faisant xss Z^^^, M devient égal à M^, et par suite

Entre ces deux équations éliminons A, nous obtiendrons Téquation finale

ou bien

Le moment M en un point quelconque de AB se compose donc der deux parties; l'une,

DBS MOMENTS DANS LES TRAYÉES.

est la valeur qu'aurait, le moment fléctûssant au point défini par Tabscisse a;, si la travée ÂB était coupée sur ses deux appuis; cette portion est représentée par les ordonnées d'une parabole AGB, dont Taxe coïncide avec la droite élevée perpendiculairement au milieu de AB (fig. i69). L'autre partie,

est représentée par les ordonnées d'une droite, passant par le point

et par le point

s = 0, M^Mjk^,

s^/i-^, M = Mft;

en d'autrestermes, parles ordonnées d'une droiteofr (fig. 187) joignant

les extrémitrs des longueurs Aa, B^, proportionnelles aux moments fléchissants en A et en B; M»i, M»

sont des nombres négatifs, et Taddition des deux portions de la valeur de M revient à soustraire de la première partie la seconde partie prise positivement. Prenons donc sur les verticales Aa, BÂ, passant par les appuis, des quantités Aa, B^ égales aux valeurs absolues de Mi^.i, Mi^, et joignons ab ; nous aurons le nouvel axe par rapport auquel il faut prendre les ordonnées de la parabole AGB pour avoir la valeur complète de M. Ainsi, au point A, M est égal à — Aa; M est nul en D', projection du point D où la droite ab coupe la parabole; M est maximum au point (/, projection du point G où la tangente à la parabole AGB est parallèle à ad; il se retrouve nul en E', projection du point E ; enfin , en B il est égal à — Bb ; la courbe des moments a'D'GEb' s'obtient ainsi (§ i5o) en prenant pour ordonnées la différence des ordonnées des deux contours ACB et ab. G'est la parabole AGB elle-même, déplacée de manière que son axe reste toujours vertical et qu'elle passe par les deux points donnés a' et b'. On peut remarquer que, des deux lignes ACB, ad, qui concourent