OU

et plus généralement encore, le nombre

«nT*

«ii»T»'

est positif OU négatif, suivant que la somme n+A+n'+A'+ ... des indices des facteurs du numérateur et du dénominateur est paire ou impaire.

Propriétés particulières quand les travées sont égcdes.

200. Supposons que toutes les travées soient égales et qu'elles soient en nombre indéfini. Les deux séries (a) et (y) se réduiront k une seule et même série, savoir :

DES NOMBRES (a) ET (y).

Chaque terme se forme du précédent en multipliant celui-ci par le nombre négatif — 4* ^^ ^^ retranchant du produit le terme antéprécédent ; en d'autres termes, la série (gt) est une série récurrente dont técheUe de relation est ( — 4> — 0* H est facile d'en déduire la forme générale du terme a^.

On a généralement, quel que soit A,

et par suite

Avec les nombres

au + 4afc j + a»., = 0.

formons le polynôme indéfini

a, 4- a|X + a,** + a^ + ai«* -f- ......

et multiplions-le par le trinôme

Il viendra pour le produit

Les coefficients des termes en a?%a;',...a?*, étant tous nuls, le produit se réduit à ses deux premiers termes

«• + («1 fW«.

a66 TERME GÉNÉRAL

6t après la substitution pour a^ et a, de leui*s valeurs numériijues, 1 et — 4) on obtient pour résultat final l'unité. La série

s'obtient donc en divisant l'unité par le trinôme

Pour avoir le terme général de la série, décomposons en fractions simples la fraction rationnelle

1 4- Ax + x*'

Pour cela, égalons à zéro le trinôme ; nous aurons pour ses racines

«=— 2db v/3,

et nous poserons

M et N étant des nombres à déterminer. On en déduit.

Cette équation, devant avoir lieu pour toute valeur de x, donne

et

Donc

Dfi LA SËttlE (a) 267

et Ton a identiquement

Chacune des fractions simples se développe, par la division, en una progression géométrique, et par suite

Les termes des deux séries sont alternativement positifs et négatifs, et le signe du coefficient de x^ est donné par Texpression ( — i)*. Le coefficient de x* est donc égal à

oa bien à

et l'on a par conséquent d'une manière générale

nombre qui est nécessairement rationnel et entier.

On obtiendrait des résultats analogues si les longueurs des tracées successives, /|f /,» /, « au lieu d'être égales, formaient les

termes d'une progression géométrique.

201. On démontre en arithmétique (i) que, si x=:p^j/^= çr,for-

(I) V. Legf'ndre, Théorie des nombres, première parUe, §VI. L'équation x*— Ay*= 1 est toujours résoluble en nombres entiers, quand A est un entier non carré; ceitn proposition, connue de Fermât, a été démontrée pour la première fols par Lagraoge (Mém. de Berlin, 1767).

368 PROPRÏKTKS

ment la moindre solution en nombres entiers de l'équation indéterminée x^ — Ay' = 1, A étant un entier donné non carré (la solution X = 1 , y = o étant écartée), on obtient toutes les autres solutions au moyen des iormules générales

^ Wï •

Si l'on fait A = 3, la moindre solution en nombres entiers de l'équation x* — 3y* := 1 est jD == 2, ^ = 1 , et substituant ces valeurs dans l'expression précédente de y^ il vient

Comparons ce résultat à la valeur générale des termes de la série (a) ; nous voyons qu'on a en valeur absolue

donc les valeurs successives de a sont respectivement égales aux valeurs successives de y, et par suite i + 3a'^^ est toujours un carré. Exemples :

202. Lorsque toutes les travées sont égales, si n est leur nombre, la série (a) se termine au terme a^^ ; et la série (y) comprend les nombres a eux-mêmes, de telle sorte que

Donc le produit

DES NOMBRES (a). 369

devient dans ce cas ^gal à

«tjaissant de côté le facteur Ij^ qui est constant, on voit quoipour une valeur donnée de n, le produit

est le même, quelle que soit la valeur de k.

En d'autres termes, si on écrit sur une ligne horizontale tant de termes successifs qu'on voudra de la série (a) , puis au-dessous les mêmes termes dans l'ordre rétrograde, les déterminants des groupes de quatre termes voisins pris dans les deux lignes sont constants, quel que soit le groupe considéré. Exemple :

On peut supposer que dans la série (a) l'unité soit précédée du terme o (i) ; si on prolongeait la série d'un terme, on ti*ouverait donc 4- 291 1 ; car le déterminant du groupe

doit être égal au déterminant constant des autres groupes de 4 termes ; or il se réduit au terme — (a) . Donc (a) = 991 1 ; ce qui est vérifié par le calcul direct

On peut tirer de là une conclusion intéressante pour les termes a^ dans lesquels l'indice k est pair; prenons les séries

0, i, —4, +45, afc , «fc, afc j, «j,

Oi, afc«4, afc,, a*.,, ai, *i-i *» 0.

(l) L'équation générale a»+4ak j+a|^=sO permet, en elTet^de prolonger la série dans le lena rétrograde; «4=— 4, et «4|=t font «^^,=0.

370 PROPRIÉTÉS DES NOMBRES (a).

liC déterminant du premier groupe est égal à — a^^; et le déterminant du groupe central

est égal à

Donc on a l'égalité

c'est-à-dire tout terme oi| d'indice pair (ou tout terme impair) est égal à la difiérence des carrés de deux termes consécatt& de la même série.

Nous avions déjà trouTé

2911=5? — Ï5*; on aurait de mfime

203* Nous terminerons par la remarque suivante* On a en même temps les deux équations

et

Multiplions la première par a^^^ , la seconde par a,. , et retranchons; il viendra

c'est-à-dire que l'excès du carré d'un terme de la suite (a) sur le produit du terme précédent et du terme suivant, est constant pour tous les termes ; et^en faisant le calcul pour le terme a^ = — 4« on voit que cet excès est partout ^al à l'unité. On a en effet ;

4*— Ix 15= 16— 15 = 1, I5«— 4X 56= 226— 224 = 1, 56* — 15 X 209 = 3135 — 3135 = 1, etc.