RAPPORT DES TRAVÉES
H. de Mondésir, appliquant ses formules à un pont métallique construit sur l'Allier» pour le passage du chemin de fer de Moulins à Montluçon, a mis en évidence les inconvénients que peut entraîner un trop faible rapport des travées de rive aux travées centrales. Le pont de rAllier a neuf travées symétriques ; les travées centrales « ont 4o mètres, et les travées de rive ont seulement 18", a 5. Le calcul démontre que, dans l'hypothèse où l'on charge les travées n* 2 , n* 4* n"" 6 et n* 8, à l'exclusion des autres, la réaction de la première culée a une valeur négative; ce qui indique que l'extrémité de la poutre, au lieu de poser sur Tappui, tendrait à se soulever, et aurait besoin, pour réaliser l'équilibre prévu, d'être liée invariablement à la culée. Dans une seconde édition du même ouvrage (1873, Gauthier- Villars) , M. de Mondésir a donné des tableaux très commodes des résultats obtenus ; il y a résumé le calcul des poutres équilibrées et des poutres à travées égales jusqu'à 1 a travées.
lui
Le rapport -^s:^, ou 4 = i.a5 parait satisfaisant à tous les égards. D'autres recommandent le rapport ^ = t/- = 1.234 7,
COMPABAISON DE DEUX POUTRES DE MÊME LONGUEUR TOTALE ET PARTAGÉES DE LA MÊME MANIÈRE EN TRAVÉES, MAIS L'uNE CONTINUE, l'aUTRE COUPÉE SUR TOUS LES APPUIS.
226. Si l'on compare deux poutres, Tune continue, l'autre coupée sur les appuis, franchissant les mêmes portées avec les mêmes surcharges, on reconnaît en général que la poutre continue, à égalité d'efforts dans le métal, a un poids moindre que la poutre à travées indépendantes, mais que les pressions exercées sur les appuis intermédiaires^ ou sur les piles, sont moindres pour la poutre à travées indépendantes que pour la poutre continue.
227. Demi-continuité. — Une poutre peut-être continue par rap« port aux surcharges, et non continue par rapport à son poids propre. Gela a lieu pour un pont métallique de plusieurs ouvertures, dont les
m ORSERVATIONS
travées, posées séparément sur les culées et les piles, ont été réu« nies ensuite par des panneaux rapportés, qui ne subissent d'efforts que sous l'action des surcharges.
Pour calculer les efforts développés par la surcharge, il faudrait donc supposer nul le poids propre, puis additionner algébriquement dans chaque section les efforts dus aux poids propres, lorsque les travées sont supposées coupées, aux efforts dus aux surcharges seules, lorsque les travées sont supposées continues. Les épures de M. Bresse, où l'on isole l'effet du poids propre et l'effet de la surcharge, se prêtent très bien à ce mode de calcul dans le cas de la demi«continuité.
On ironyer^i ddJàa les Annales des ponis et chaussées^ 1889 à 1884, plusieurs Mémoires de M. Maurice Hulewicz sur la détermination des effets produits par les charges incomplètement réparties dans les travées. Ces nouvelles hypothèses augmentent les moments fléchissants dans le second et le quatrième tronçon.
ODSERV/ITIONS DIVERSES.
228. Les efforts développés dans certaines régions des travées des poutres continues s'exercent, tantôt dans un sens, tantôt en sens contraire, et cette Inversion d'efforts n'est pas favorable à la résistance du métal. Gela n'a pas lieu dans les poutres coupées sur les appuisv
Un autre inconvénient des poutres continues résulte des changements de longueurs dues aux variations de la température. Les dilatations se cumulent pour toutes les travées quand la poutre est continue ; elles se localisent au contraire dans chaque travée coupée sur ses appuis.
Par ces divers motifs, il y a des constructeurs qui préfèrent les travées discontinues aux poutres continues sur plusieurs «ippuis. Ils partagent alors en parties égales l'ouverture totale à franchir. Ils ont, il est vrai, nn peu plus de matière dans les fermes, mais, par
SUR LES POUTRES CONTINUES. 4iîV
contre, ils produisent des efforts un peu moindres sur lespil^s, et ils sont sûrs qu'il n'y a pas de renversement dans le travail des différentes parties de la construction. Enfin les ponts à travées indépendantes subissent sans inconvénient les petits tassements auxquels les culées et les piles sont exposées.
Cette solution est appliquée principalement aux ponts qu'un intérêt militaire peut amener à couper un jour. Il importe en effet alors que les travées soient indépendantes, pour que la destruction de Tune n'entraîne pas la chute des travées voisines.
220. On trouve des exemples de ponts métalliques de plusieurs travées coupés sur certains appuis sans l'être sur tous. Parmi les plus remarquables nous citerons le pont de Dirschau, sur la Yistule (i), comprenant six travées de 1 32*,3 1 , coupées sur les appuis de numéro impair; le pont de Varsovie, sur le môme fleuve, comprenant six travées de 80 mètres de portée, coupées sur les appuis de deux en deux (2); et le pont Victoria (3) , sur le Saint-Laurent, à Montréal, composé de vingt-cinq travées, dont la travée centrale, longue de 100", 58» est indépendante, et les vlngt-qualIte autres, longues chacune de 70^,07, sont coupées sur les appuis de deux en deux, et forment douze poutres continues de deux travées, réparties symétriquement de chaque côté de la travée centrale. Cette solution mixte paraît peu recommaùdable, en ce qu'elle réunit les inconvénients des travées continues et des travées discontinues sans avantage spécial ; elle conduit à une grande inégalité dans les efforts sur les piles ; elle n'économise pas beaucoup de métal dans la construction des travées ; enfin elle donne lieu à des renversements d'efforts dans certaines régions des poutres, quand la surcharge se déplace.
(!) Chemin de fer de l'Est prasslen.
(2) Ce pont n'est pas destiné Jusqu'ici à porter un chemin de fer.
(3) Grand trunk Canada railway.
SUPPLEMENT AU LIYBE lY.
330. H. de Aliola, ingénieur espagnol, a publié en 1869, à Madrid, un mémoire aor la théorie des poutres droites (1). Nous exlrayons ce qui suit de cet Important trayall.
I. Méthode directe de calcul des réactions des appuis quand les travée» sont toutes
égales.
Considérons un appui intermédiaire, portant le n« k. Nous aurons pour la réaction totale, Fk, de cet appui (§ 206},
Supposons égales les deux travées A; et A — 1 , en sorte qu'on ait /ic.i=/k. Il viendra, en appelant l la longueur commune aui deux travées.
Le théorème des trois moments, appliqué aux trois appuis Ip — I, k, A + ], donne d*autTe part, en divisant par /,
€ette équation permet d'éliminer la somme Mi^-i + Ma+i, et de ramener Vk à la forme
F*= 5 (pit-t +p»<)^- [j (Pk-i + Pk)i + ^y\
on
Cette équation ne s'applique qu'au cas où les deux travées ib— l et ik sont égales, elle suppose de plus que ft est au moins égal à 2, et au plus égal au nombre n des travées de la poutre.
De l'équation (1) M. de Alzola tire une relation linéaire entre les réactions sur trois appuis consécutifs, dans le cas particulier où les deux travées intermédiaires, et les deux travées contiguês à ces deux-là, ont la même longueur.
Soient ft— 2, Ip— 1, Ip, A+ 1^ les numéros des quatre travées consécutives de lon-
(1) Teoria M edlculo de las tigas rtctas, por dota Piblo ds Aliols, ingeniero de cuuinos, canales y pnertos (afio iM9),
EXTRAITS DU MËMOiRE DE M. ALZOLÂ.
gueur /> non* aarons, ea appliquant la formule (i) anx appuis ^^1, ^ et k-^-l^
F*=j(pjfc-.i+Pft)^ J-;
F*-i=7(P*+Pa+iV —
équations qui supposent ^ > 2 et < it. Multiplions réquatlondu milieu par 4, ^Joutons, et rcinplaçoiis M* i h4lffc I'4M;.hi
par sa valeur — -• (pi^i +Pft)^* H Tiendra
Ffc-4 + 4F*+F*+i = (jP*-i+jPft-i+jPifc+jPA-iV + j(P*-i+PAV
= 1 jP*-s+ •j-PJb-i + ■j-P]k+ jPa+i ]«•
Cette équation n'est applicable ni & A =2, ni à k=n. Pour traiter ces cas parties liera, observons que l'équation (l) peut s'appliquer à la première pile et à la sRconde^ (\ qui donne
F.= ;(Pi+pJ/-5f\
F,= 7(Pi + PsV-^^*
j(Pi + P8K--7^,
et le théorème des trois moments, appliqué aux appuis 1, 2 et 8, donne entre M^ et M| la relation
Multipliant donc la première équation par 4, et ajouUnt à la seeonde, 11 viendra
W 4F,+P,= (p4 + jPf + Jpt)'+J(Pi+Pf)^=(7Pi + jPt + 5ps)'.
De même, considérant les appuis n" n >- 1, n, n + 1> on aurait i'éqaatlos cyniîtrlqjo
(4) Vn^i+AFn^ (t''"'*" J^"^^ '^ iP»-s)'-
De là résulte le tableaa solvant de n — 2 équations:
/ ^F,+ F, = ^-pt + -p, + - p, j /,
F,+ 4F,+F^= ^Lp4+np,+Hp, + l.p^) ?, F, + 4F,+ F.= (ip, + îlp,+^p,4.1p,)/,
+ F«= ^J Pi.-t + ^ P»-, + 7^«-i + f Pn j ^
418 EXTRAITS DU MËMOIRE
Ces n— 2 équations ne contiennent ni P|, ni Fn+i ; eiies ne renferment qoe lei n-*i réactions des piles. Pour déterminer les raclions de la première cnlée, appliquons l'équation (1) è Tappul n« 2; il vient
6Mi
1 * ». oM, F,= -(Pi-l-p«)/ f.
Or Mf est la somme des moments, par rapport à l'appui n* 2, des forces P^ et pi* qui soliicitent ia première traTée; donc
m,=Pi/-5pA
et ennn
(6) 6F4+F, = J (Pi + p,) / + 2Pil = ( j-pi + J P,) /.
De méme^ la relation symétrique nous donnera, entre les forces Fn et Fr^i,
(î) K + ÔF^+i = (J-Pn-, +-!^Pn) /
£n tout, nous avons n équations entre n + 1 Inconnues. Mais on peut y Joindre les deux équations de la statique, savoir Téquation des forces £F = Ip/, et l'équation des moments, pris, par exemple, par rapport au premier appui. La première est satisfaite d'elle-même, car si on ajoute ensemble les équations (S), (6) et (7), on trouve, dans le premier membre, six fois la somme de toutes les réactions, et dans le second, six fois la somme des poids des travées. La dernière équation à Joindre aux équations (5)» (6), (7), est donc l'équation des moments, à laquelle on donne la forme suivante en divisant par / :
F,+2Fs + 3F4 + ... + nF^=Pi/X^+p,^x| + p,/x|+... + Pn^[«-5) (8) { 1
La résolution de ce système d'équations est extrêmement facile, et conduit directement à la détermination des réactions des appuU, sans passer par la recherche des moments fléchissants*
U. Propriétés de la parabole des moments qui représente, dam la travée n* k, Pinfluence de la charge de cette travée elle-même.
231. Cette parabole aE(fcF6(§ 214, flg. 197) coupe la travée AB en deux points Ë et F. Soit donc
Aa = — M,
Les points D et C sont oenx où l'influence, sur la travée AB, des antres travées eonildérées seules change de signe (§§ 212 et 213). Nous avons déterminé l'ordonnée Dd de ia parabole pour le premier de ces points, et nous connaissons par conséquent les coordonnées de ce point d, savoir :
♦ {T»-i— T»-i)* Tr»-i— T»-,
DE M. ALZOLA. 419
De même, pour l'autre point, C, on (rouTerait
Ce = rPt V X - "'^'"' ^°"-* "*" °^,*r'^ ■ AC = ''->'- — .
V Considérons en partlcalier le premier point d. De la formule
AD= ïi^l— /»,
on déduit
DB = /4-AD = ïilî /j et DB-AD- ï*=±±IiL2/j.
Prenons le millea I de la traTée; nous aurons
DB=:IB+ID = AI+ID, et AD = AI — ID.
Donc
DB-AD=2ID, <^t enfin
2(Tk-i— T»-i) Multiplions ID par AD, il Tiendra
IDxAD =- 7i.-«(ï*^i+T>-.) ^ , ^ ÎD£,
ou autrement
hd = -Pi,xlDx,Kh.
Sons cette forme on reconnaît que Dcf est l'ordonnée d'une parabole à axe vertical Adl,
qui passerait par les points A et I, et qui aurait pour paramètre — , comme la parabole des moments ell^-méme ; l'équation de cette parabole est
y=5n*fj'»-«\
On trouTcra le point d à llnterseetlon de cette parabole avec la teiUcale élevée au p<^tD.
De même le point « est à l'intersection de la Terticale éieyée au point G, avec une parabole égale, IcB, menée par les points I et B, de manière à avoir son axe vertical.
2* Les droites aD, bC, coupent la verticale du point I en un même point t^ qui appartient à la parabole aSdii^b.
Mous avons en effet
Aa = - M»= - Ip, V T*-î(«n->+«,.>^>)
4 «ian-i
00 — — Mik4.4 — ^Pk*r TalZ *
Multiplions la première équation par ■ , la seconde par • , et
