EXTRAITS DU MEMOIRE DE M. ÂLZOLÂ
retranchons : il Tiendra*
Mais des équations
ID = T*-i + r*-t I et AD = ïinJ h,
on tire
Le premier membre de Téqaation (l) devient par cette sulMUtution, en changeant le signe et en divisant par 2,
quantité égale A It, à cause des triangles semblables aAD, IDt.
On prouverait de même que le second membre repréfente la distance do point l au point où la droite bC coupe la verticale It. Ces deux distances étant les mêmes, les trois droites It, àD, 6C, concourent en un même point.
Je dis de plus que ce point appartient à la parabole adcb.
On a^ en effet,
T*-t— Y»-i * On aurait de même
Remplaçons M» et Mjt+i par leurs valeurs, et observons qu'au milieu I de la portée, le moment fléchissant M est donné par la formule
il viendra, après ces sobstitutlons,
1 . , rY*-|(«m-fc + «n-t~,) +«n-l-t (Yt-t+ Y*-l) ^ -*]
^ i p . t f(«n-fc + «.-*-,) fYA-^, + YA-|)i ^ I,., grir«t|^ Ch,|tYfc-, — «n-k-,Y*-t 1
METHODE DE M. RENOLST DES ORGERIES. 42i
Ces propriétés faellltent, comme nous l'avons dit (§ 214), le tracé de la parabole aEiF6, et le portage de la travée en cinq tronçons.
POUTRES D'tGALB RÉSISTÀMCK N)SÉES SUR PLUSIEURS APPUIS (1).
232. NonssQpposerons qu'âne poutre continue, posée sur plusieurs appuis de niTeaa,ait une même hauteur dans toute son étendue. Ce sera, par exemple, une poutre à double T, dont l'épaisseur des tables^ haute et basse, varie d'un point à l'autre, sons la condition suivante : un poids p étant uniformément réparti par unité de longueur dans toute rétendue de la poutre, les pressions et tensions développées dans les fibres les plus éloignées de Taxe neutre doivent toutes être égales à une limite R donnée. Une poutre ainsi définie est un solide d'égale résistance par rapport à cette hypothèse de distribution des surcharges^ et il satisfait rux conditions indiquées dans le § 156 (seconde solulioo).
Nous allons chercher les moments fléchissants, et la forme prise par la fibre neutre.
Soit o la distance, supposée constante, entre la fibre neutre et les points les plus fatigués d'une section quelconque \
1, le moment d'inertie de la section par rapport à Thorixontale menée dans son plan par son centre de gravité. Cette quantité 1 est variable d'un point à l'autre de la portée totale ;
p. le rayon de courbure en un point quelconque de la fibre neutre déforméei
E, le coefllcient d'élasticité;
H, le nooment fléchissant en un point quelconque.
Nous aurons toujours la série d'égalités
On déduit de là
1/ p dx*
RE ... Eu
- = --, et par suite P = -n--
V ■ p II
Les nombres E, v, R sont constants pour toutes les sections.
Donc p est aussi constant en valeur absolue, et la forme de la fibre neutre après déformation se compose d'une série d'arcs de cercle de même rayon, raccordés bout à bout. Le rayon p, dont on connaît ainsi tout de suite la Taleur absolue, est d'ailleurs positif on négatif : positif, si la région comprimée de la section correspondante est audessus de la fibre neutre ; négatif, si elle est au-dessous.
Négligeant, comme A l'ordinaire, (^ ] devant l'unité, nous transformons par approximation les arcs de cercle en arcs de parabole» et l'équation difTérentielle de la fibre neutre devient *
dx* p'
le signe + devant être pris ponr tous les arcs dont la convexité est tournée vers le lias, le signe — pour tous ceux qui sont convexes vers le haut.
Les points d'iDllexion, ou de non-flexion, de la fibre moyenne sont ceux où la courbure
change brusquement de signe, et passe de la valeur db - à la valeur =f= - • En général,
(1) Voir le mémoire n* 20 da tome II (5* série) dei Âmaks ie$ poiUê et ckoustèsê (1871), par M. Renoust des Orgeriet, inginienr des ponts et chiatiées.
483 METHODE
dans une trafée AB, il y a daax points d*infleiion G et D, et la fibre moyenne comprend
trois arcs de cercle : KC\ décrit da point 0 oomme
^' centre avec OA = p ponr rayon ; CD', qai a pour centre
A le point 0', et enfin D'B, qal a son centre en 0".
/ \ Nous appelleront d'one manière générale, ponr la
/ \ travée n* k, u^^ l'abscisse AG dn premier point d'in-
/ \ flexion, et Vj, i*abscisse AD dn second.
\ Noos conserverons d'ailienrs toutes les notations
^''' \ i> B adoptées dans nos précédents calculs, relatlTement aux
rA
L'^ - -^ ' ])\ j poutres de section constante. Noos allons voir qu'on
\ 1 peut exprimer toutes les inconnues, moments fléchls-
\ ! sants, efforts tranchants, défiatlons angulaires de la
Y \] fibre neutre, flèches prises par les divers points de la
0 0^ poutre, épaisseurs des tables du double T, en fonction
pjg^ 205. ^® ^^ abscisses ti et o.
Recherche des tnomenit fléchiisanti et des e/jMs tranchants en foncHon de Uk et n*
381. L'équation des moments fléchissants dans la travée AB est, pour une charge p» également répartie,
(I) MsMk+Ajbx-îpw».
Les abscisses des points de non-flexion sont données en égalant il a o : ce sont les ra* cl nés de Féqnatlon
Dono
pk Pk
On en déduit
( Ak=^(Uk-hVk),
UkVk.
Le moment fléchisêant sar l'appui B, qui a le n* ^* + 1, se dédntt de l'éqnation (1)
en y faisant «=/(; maison peut aussi observer que la seconde des équations (3) le
Pk fait connaître ; car si le moment en A eat égal à — ^ x AG x AD, le moment en B est,
par la même raison, égal à — i^xBC x DD, et on a par conséquent
(3) M,+j = -Ç(/,-ii4)(/t-t;4).
On aurait, par nne transformation semblable de la première des équations (3),t*eirort tranchant en B dans la travée AB ; toutefois, 11 y aurait lieu de changer le signe de la formule ainsi obtenue, pour tenir compte des conventions relatives aux signes des efforts tranchants. On retrouverait alors la valeur connue kk^Phlu*
Considérons le moment fléchissant sur un appui intermédiaire n* A+i. Ge moment appartient aox deux travées qui se raccordent sur cet appui ; relativement A la travée
DE M. RENOUST DES ORGERIES. ^3
n« k, sltoée A gauche, nous ayons l'équation (8); relatiyement A la trafee n* ft + 19 aitnée à droftOp noos pouirona appliquer la seconde des éqaattons (2), en 7 changeant fc en k + 1. Nous aurons dono ainsi
et par suite, nons avons l'équation générale
relation qui suppose seulement la distribullon égale des poids p,^ et p^-^f dans chacune des traTées.
ÉguaHons de la fibre neutre déformée, 234. l'es éqaatlouf diflérentièlles de la fibre neutre sont
T-:=— -fde«=0 à x=iift. da^ p •'
(C) ( ^=4.., de a:=i«fcè x=zv,,,
dhi 1
-t4= , de x = i7j à «=L.
rf«* p •
Intégrons ces équations : soit 9^ l'angle que (ait la fibre neutre avec Thorlzon sur
rappol h; il Tiendra» en déterminant les constantes de manière que -p ait une même
dx
▼alenrdans les deux tronçons Yoisins, aux points xz=Uk ei s=ti^>
dy r. ' , .
-r-^ h tangf 119 pour le premier tronçon,
, du X ÎM^
(7) ^ 5te = û "" "T + *■"«'?*• P^' ^* «econd,
dy X 2(0*— tt»)
-p = — + 1- Unsfi, pour le troisième.
ax FF
Intégrons une seconde fois, et déterminons les constantes de telle sorte, que y soit nul pour x=0, et que les deux tronçons qui se réunissent aux points d'infiixion aient en ces pointa le même y. Il Tiendra en déflnItiTe
y =— r- + ^ ^ng3|^, pour le premier tronçon,
(8) { y = T « H h « tang 9j, pour le second,
y=z^ — + — ^*— -^ ' +a:tangÇfc,pour le troisième.
On déterminera tang 9* en faisant xssl^ et ys=0 dans la dernière des équations (8). Il Tiendra
(9) tang?k = r-
+ -**= -(^-2(t;»-tij)+J-L).
P'fc P\2 /» /
MËTHODE
t.n,?=,f^ - „r *"*!? *!".•";?• ('). ^^ •»<I»«»e on fer.lt «=/,. doimenit de même Stitimpïl»'!!)! /?""\'*'^J',"' **"«''+« *"* *""8 W. en changeant, dans (9), n et »» T« nlnf it"]'*-"*' /• ^''-"'J' *' *" changeant le signe de la férmale; ces deux méthodes conduiceot l'une et l'autre à l'éqnatlon
-"-Hi-T-^y
n,^. .*" ^"^ ". necordant (angentlellement sar l'appnl eomman, on pent ex- ^1 r nJfl!?!*"^ .*'•. *e« «"n«*fM : par l'équation (10), en fonction des abscisses m lli "In^^î."* ï •"î*».P'<c&le'»««. et par léquatlon (0), où l'on aurait changé k en * +1, en foneUon des abscisses des points d'Inflexion dans la travée n« *+ 1. On a donc.
en supprimant le facteur - , l'égalité
-^fa4.,-W + ''*^"'"^''=-'j
rfc«— t/j'
Détermination des abscisses n et y dans toute la poutre.
pll^;t^?/''°"."''""^^^5*^"^P?^®"^''*PP"^»*«' * tous les appuis intermédiaireii. tableau sXnf r?* '"^"L'^H^^'^r^ * = î....*=» + i, onobtiendm le
fîSLT. .^ "^fx^""^ équations : dans les équations (6), nous avons supprimé les
les extrémiies libres de la poutre, posées sur les appuis, sont des poinU de noi-flexlon
Équations (5).
Équations (11).
/• ^ •t^«tt2 / ,,» |.»
J 2(V4-tlJ+ ^
vî-t*: . /s
+ fîzi î!ïzî!llî!ïzL =
Le nombre des Inconnues, u et », est de deux par chaque travée intermédiaire, et d'un
e^t^.T9L^''^^ i%*'*^^? ^^ '*^*^' *^»"* lesquelles on a «, = 0 et vn^U; il y a donc enioui2(n — 2)+2.ou2n— 2inconnues, nombre égal au nombre des équations ( 12) Les deux premières équations du tableau font connaître ti, et », en fonction de v,les deux suivantes donnent de même ti, et v^ en fonction de u^ et de »„ et. par suite, en lonciion de »!. et ainsi de suite Jusqu'aux deux dernières équations : l'une fait connaître tt« en fonction de v^. L'autre doit se réduire à une Identité, et fournit une équation qui laii connaître v^. Mais ces équations sont du second degré. Les valeurs algébriques «« "*+i « t?t^i en fonction de uu et de v» sont donc compliquées de radicaux carrés» et le degré de l'équation finale monte de plus en plus, A mesure que le nombre n des iravees est plus grand. Le problème ainsi envisagé n'est pas susceptible d'une soluUon aigeorique générale. Il faut bien remarquer aussi que la méthode que nous avons indiquée suppose expressément quo les points d'inflexion C et D sont des points réels de la iravée AB. de sorte qu'elle serait en défaut si les valeurs fournies pour ii» et v^ étalent Imaginaires, ou négaUves, ou supérieures à la longueur /^ de la travée.
DE M. RENOUST DES ORGERIES. 425
tjne fois les u et les v déterminés pour chaque travée, on pourra connaître les momenu et les efTorts tranchants sur chaque appni par les équations (2), et tracer les paraboles des moments dans chaque travée au moyen de l'équation (1), où les coefficients sont déterminés.
Recherché de la section en chaque point> de la portée. 336. La valeur du moment d'inertie est donnée en chaque point par l'équation
ou bien I = ----, M étant pris en valenr absolue.
K La poutre étant supposée un double T dé hauteur H constante» a éttnt 1a lar|$eur et b l'épaisseur variable des tables, on aura approximativement
- = aôH, et par suite
L'^aissenr 6, en tonte rigueur, devrait s'annuler aux points d*infle;ilon pour lesquels MsO. En pratique, cette détermination n'est pas admissible ; car elle supposerait roniformlté absolue de la distribution des charges, qui n'est qu'une hypothèse trèsrarement réalisée. Une inégalité dans la distribution des surcharges, en déplaçant les points d'inflexion, exigerait aux points C et D des sections capables d'une certaine résistance. On devra donc se coutenter de réduire en ces points les épaisseurs 6, sans descendre au-dessous d'une limite pratique convenable.
Les équations (9) font connaître les valeurs de tang tp^^ sur chaque appui. Ces valeurs, substituées dans (8), permettent de trncer les arcs paraboliques dont l'ensemble constitue la nouvelle forme de la fibre moyenne.
309. Appliquons cette théorie à la poutre à deux travées égales et également chargées.
A^ A', A" étant les trois appuis également espacés, on aura
«1=0, Vi=AD,
ti,= A'C', t;,= A'A",
de sorte qu'en appelant / la longueur commune des deux travées, on aura pour l'équation (S)
/(/— »l)=/ttt, oa i4-f-t;, = /,
et pour l'équatiofi (11}^
équation qui se réduit à
wj— 3m,/+vî = 0; et, remplaçant «, par /— «i, il vient en définitive
426 MÉTHODE DE M. RENOUST DES ORGERIES.
237. Lr même théorie s'appliqae à la poutre d*^ale résistance eocastrée sar deui appnli A et B.
^ ^ D B ^^^ ^ '^ moment d'encastrement sur les appuis A
• » et B; soient G et D les points d'infleilon; on aura, en
▼ertu de l'équation (2), appliquée successivement aux Fig. i06. deux appuis,
ii=-|acxad=-|bcxbd.
La symétrie exige que AC=BD.
L'équation (9) doit donner tang ^ = 0 au point A, et, par conséquent,
AB .^^ . ÂD*-ïc" ^
