CONDITIONS GÉNÉRALES DE L^ÉQUILIBRE INTÉRIEUR

238« Les pièces courbes que Ton emploie d^ns les constructions ont en général un plan de symétrie dans lequel agissent les forces extérieures qui leur sont appliquées. Par exemple, les fermes en bois ou en métal d*un pont^en arc de cercle sont symétriques par rapport k leur plan moyen vertical, et c'est dans ce plan que s'exercent les résultantes des actions de la pesanteur et les réactions des appuis.

La déformation de la pièce s'opère aussi dans ce plan de symétrie.

Le problème de l'équilibre intérieur et de la flexion d'une pièce courbe placée dans ces conditions, ne diffère pas essentiellement du problème de l'équilibre intérieur et de la flexion des pièces droites u il est seuleo^ent plus compliqué. La flexion des lames élastiques a été étudiée, dès le siècle dernier, par les plus grands analystes. Euler le premier donna en 1 744* ^^ds un supplément à son célèbre ouvrage : Methodus inveniendi lineas cvrvas maximi minimive proprietate

gaudentes^ une classification clés courbes élastiques planes, dans laquelle il fait voir que la forme d'équilibre, c'est-à-dire celle pour laquelle la courbure prise par la fibre moyenne est en tous points proportionnelle au moment fléchissant, satisfait à une condition de minimum : parmi toutes les courbes de longueur donnée AB, qu'on Fig. 207. peut tracer entre deux points A et B d'une

"b n courbe élastique en équilibre MN, sous la condition de les raccorder tangentiellement avec cette courbe aux points A et B, la courbe élastique est celle qui rend minimum l'intégrale \ -^ prise entre les li-

mites A et B (i). Euler examina, dans le même mémoire, quelques cas de flexion de lames primitivement courbes. Lagrange donna, dans les Mémoires de Berlin^ année 1 769, un mémoire sur la force des ressorts plies.

La question avait été ainsi étudiée à plusieurs reprises au point de vue analytique; il restait à compléter ces recherches pour en rendre les résultats utiles aux constructeurs; c'est ce que fit Navier dans son cours de mécanique à TÉcole des ponts et chaussées^ le mérite de sa méthode consiste principalement dans un choix heureux de coordonnées. Son analyse laissait de côté certains termes, qui la plupart du temps sont en effet négligeables. M. Bresse a montré plus tard que l'on pouvait achever le calcul sans supprimer les termes négligés par Navier, ce qui assure une rigueur plus grande aux formuIes,.et il a fait voir que dans certains cas particuliers, la*supprèssion de ces termes ne serait pas sans influence sur l'exactitude pratique des résultats.

Avant de commencer l'étude de la flexion des pièces courbes, nous rappellerons les principes suivants.

239. Une courbe plane MN est définie de grandeur et de position, à deux constantes près, par une relation entre son rayon de courbure, p = AC, en un point A quelconque, et l'angle 0 de la normale AH avec un axe OY, que Ton supposera vertical, par exemple.

Traçons dans le plan de la courbe MN deux axes rectangulaires

(I) Cette intégrale mesure, & un facteur constant près, le travail de la flexion de la iame (§ 105).