COORDONNÉES PARTICULIÈRES

OX, OY; je dis que Ton peut déduire de Téquation donnée p = /(6),

l'équâtion de la courbe MN en coordonnées rectangles a:, y.

Pig. M8. Appelons» en effet, ds l'arc infiniment petit AA',

X pris sur la courbe ; nous aurons ds = pcW. Mais

c£r = cb cos 0, et dy = ds sin 0; donc

i^^ cfx = p ces 6(20,

\ cfy = psio6d0;

^ d'où résulte, en intégrant,

y = yo+Spwïﮫ^®-

Ces intégrations introduisent deux constantes ^0^9* qu'on pourra déterminer dans chaque cas particulier, connaissant un point de la courbe et la valeur correspondante de l'angle 0.

Il serait d'dlleurs facile de faire yoir, par la simple géométrie, que 'équation p = /(0) définit complètement la forme et la position de la courbe MN, pourvu qu'on donne un de ses points, et la direction de la tangente en ce point.

Si, au contraire , on voulait passer des coordonnées rectangles X ety aux coordonnées p et 0, on appliquerait les formules connues du calcul différentiel :

2A0. Ces préliminaires posés, passons à la recherche de la déformation plane d'une pièce courbe.

Soit MN une pièce courbe terminée à deux sections MM', NN', et reposant en A et B sur deux appuis fixes.

Soit AB la fibre moyenne, c'est-à-dire le lieu géométrique des centres de gravité des sections transversales. On pourra concevoir la pièce conmie engendrée par le mouvement d'une figure fermée, tracée dans le plan normal à Ja courbe AB, et qui se déplacerait sans tourner dans son plan, de manière que son centre de gravité coïncidât

DËFORMATION ÉLÉMENTAIRE

Fig. tM.

toujours avec un point de la courbe directrice. Cette figure est constante de forme et d'orientation, ou si elle change, elle change par

degrés insensibles. Nous[8upposeions ici qu'elle est invariable, et de plus, qu'elle est symétrique par rapport à une droite menée dans le plan du papier, pour donner à la pièce la symétrie que nous admettons par rapport à son plan moyen ; les appuis A et B sont supposés réduits chacun à un point situé à l'extrémité de la fibre moyenne, ce qui revient à regarder les pressions exercées par la pièce sur les plans MM', NN', comme uniformément réparties dans l'étendue de ces sections.

Coupons la pièce par un plan normal PQ. Les forces extérieures qui agissent sur la portion PQNN' de la pièce, sont tenues en équilibre par les forces moléculaires développées dans la section PQ- Nous pouvons transporter toutes les forces extérieures au point 6, et là, les décomposer suivant les directions rectangulaires, 66' et 6C. Appelons A la somme des composantes parallèles à la section ; F, la somme des composantes perpendiculaires à la section ; M, la somme des moments des ïbrces par rapport au point 6.

Nous appellerons encore la force A effort tranchant^ la force P effort de compression (positif s'il y a réellement compression, négatif dans le cas contraire), et le moment M moment fléchissant, ou moment de rupture.

L'effort tranchant n'a qu'une InQuence insensible sur la flexion de la fibre moyenne AB ; l'effort P tend à raccourcir les éléments de cette fibre, ou à les allonger; enfin M tend à en modifier la courbure. Nous admettrons, tonformément à nos conventions, que M est positif s'il tend à augmenter la courbure, et qu'il est négatif s'il tend à la diminuer.' Cherchons d'abord quel sera l'effet du moment fléchissant sur la courbure de la fibre neutre, en faisant abstraction de Teffort P, ou en le supposant nul.

DTNE PIECE COURBE. 431

Considérons dans Tétat naturel de la pièce la section normale P'(y, infiniment voisine de la section PQ. Le point G, où se coupent les deux normales infiniment rapprochées PQ, F(y, est le centre de courbure de la courbe ÂB dans la ré^on G6'«

Après la déformation , nous pouvons imaginer qu'on déplace la nouvelle position du tronçon PQN, de manière que la section PQ coïncide avec sa position primitive. La flexion n'altère pas l'angle droit des fibres avec les plans des diverses sections transversales ; la section FQ' prendra donc une certaine position P'^Q"', et nous admettrons que les molécules situées à l'origine dans le plan VQ' seront, après la déformation, dans un nouveau plan P^Q", normal à la nouvelle fibre moyenne. Cette hypothèse est identique à celle qui nous a servi pour l'étude de la flexion des pièces droites et de la loi de répartition des efforts dans l'étendue des sections transversales. La normale déviée, P^Q"^, prolongée, va couper en C la normale voisine PQ ; G' est donc le nouveau centre de courbure de la fibre déformée.

La fibre mm\ prise dans l'état naturel, acquiert par suite de la flexion la longueur m' m" y et la force moléculaire développée par l'allongement ^e cette fibre est mesurée par l'expression

Eto) X m' m" __ E(i) X m* m" miii "" GG' *

OÙ (0 représente Taire transversale de la fibre projetée en m ; on peut, sans erreur sensible, confondre mni avec GG' si l'épaisseur PQ de la pièce est une petite fraction du rayon de courbure CG. En définitive, l'équilibre exige que Ton ait à la fois les deux équations