GG' =^» 2- GG' XmG=M

les sommes étant étendues à tous les éléments de la section PQ ou P'Q'. La première équation donne

OU bien

So) X m'G' = 0,

en observant que dans le triangle wlm''G\ niQ! est proportionnel

à' " vfim •

432 DEFORMATION ELEMENTAIRE

Cette équation est satisfaite d'elle-même, puisque le point G est le centre de gravité de la section P'Q'.

Reste à transformer la seconde équation.

Considérons le triangle m/n'C» dont les trois côtés sont rencontrés par la droite m'^G'G'. Le Théorème de Camot nous donnera l'égalité :

m! m" X GX x Cm = mm!' x G'm'x CC (1).

Remplaçons G'G" par le rayon de courbure p de la fibre moyenne avant la déformation.

Le facteur C'C est la différence p — p' des rayons de courbure avant et après la déformation.

Le facteur Q!m est égal à la somme"7+ Gm ou à p + 6'm'; et l'on peut négliger GW vis-à-vis de p', à cause des petites dimensions transversales attribuées à la pièce. On remplacera donc G!m par p'.

On peut de même remplacer mm" par mm + ^'^"» ou P*r GG' + mW, et négliger m'm" vis à-vis de GG' ; car l'allongement

relatif ^^, est nécessairement très petit (s). Introduisons dans l'équation toutes ces simplifications» il viendra

GÎT = ^ ^ ^ F^T? = ^ "^ ^ b - Fr

(1) Le Théorème de Camot, conna aoui soos le nom de Théorème de PtoUmée^ consiste en ce qne, quand les trois côtés d'an triangle ABC sont coopés par une transversale droite abc^ le produit des trois segments qui ii*ont aucune extrémité comnune est égal au produit des trois antres :

A 6 X Ca X Bc = Ac X C6 x Ba.

(2) Tout ce calcul n'est approximatif, que si la hauteur de la pièce courbe est faible par rapport aux rayons de courbure de la fibre moyenne.

M. Léiiuté a fait connaître, dans les Comptes rendus de t Académie des Sciences du 16 Juin 1884, une méthode qui permet de corriger les errenn commises, en changeant GOUYenablement la position de la fibre moyenne. U sui&t en effet de substituer à la fibre moyenne, lien des centres de gravité des sections normales, le lieu des centres d'éiasHcité des éléments de ces sections transversales, à chacun desquels on attribuerait un coefficient ^élasticité inTersement proportionnel à la distance de cet élément à la droite polaire de l'arc formé par la pièce, c*est-à>dire à la perpendiculaire élevée sur le plan moyen de la pièce courbe, par le centre de courbure 0 commun à toutes les fibres. M. Léauté

D'UNE PIËCB COURBE. 433

^ Multiplions par Eu> X m'G\ et faisons la somme pour tous les éléments de la section PQ; nous aurons', en définitive,

La somme S (o> x GW*) est le moment d'inertie I de la section, par rapport à une droite menée dans son plan par son centre de gravité perpendiculairement au plan de symétrie.

Nous trouvons donc l'équation

L'équation de la flexion des poutres droites était

A la courbure - prise par la poutre droite, il faut simplement,

pour passer à Féquation des pièces courbes, substituer Yaugmenta-

tionde courbure^ -, , prise par la pièce courbe. Cette règle a été

indiquée pour la première fois par Euler.

Nous avons supposé l'eifort P égal à zéro. Si cet effort n'est pas nul, il a pour efiet de déplacer le plan P"' Q" parallèlement à luimême ; mais ce déplacement du plan P"Q'' n'entraîne jamais pour le point G' qu'un déplacement insignifiant; Tincertitude qui règne sur la valeur du nombre E ne permet pas d'ailleurs de l'évaluer avec exactitude. La démonstration est tout à fait semblable à celle que

remarqoe que cette correction est faible en général, et comme on n'a beeoln qae d'une

approximation, on peut y substituer une correcUon plus simple, qui consiste à remplacer

te eoeffielent d'élasticité — -— par , quantité à pen près égale si v est petit par

rapport à p; cela revient S prendre pour coefficient p — v. Dans ces conditions la résultante des forces élastiques passe par le centre de percussion de la section par rapport A la droite des pôles menée par le point 0.

Le centre d'ékuticité é'une surface est le centre de gravité des aires élémentaires dans lesquelles on peut la décomposer, en attribuant à chacune une densité égale au coefficient éTélastieiUm

434 RËPARTITION DES EFFORTS.

nous avons donnée en traitant le problème de la flexion des pièces droites sollicitées par des forces obliques ($ 197).

Nous verrons cependant que la force P peut modifier d'une ma- . nière appréciable la forme de la pièce fléchie, parce qu'elle altère la longueur.de Télément GG'.

2&1. Pour avoir la répartition des pressions dans la section PQ, on observera que la force P, appliquée au centre de gravité G, perpendiculairement à la section , donne partout une pression uniforme

de ~ par unité de surface (§ 4o). Le moment fléchissant M pro-

duit, en tout point situé à la distance G' m' = r de la fibre movenne» une pression par unité de surface égale à

1^ __ E X rtCm" E x m

mm' GG

Mais

Donc

comme dans une poutre droite, et par suite

Ajoutant les pressions partielles dues à la force P et au couple M« il vient pour la pression totale

formule toute semblable à celle des poutres droites sollicitées par des forces obliques.

Pour que cette formule soit vraie, il faut regarder R comme positif quand il représente une compression, et comme négatif quand il représente une extension ; v est compté comme positif au-dessous de la fibre neutre, .et comme négatif au-dessus.