INTÉGRATION DE L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

au rapport ^ , tandis qu'après la flexion il est égal au rapport -j^.

La simplification admise par Navier consiste à regarder ds et d/ comme égaux entre eux ; ce qui revient à négliger le raccourdssement produit sur la fibre moyenne par les efforts P normaux aux sections transversales , hypothèse déjà admise pour établir l'équation (i).

Nous avons donc .

D'où résulte, en intégrant, l'expression suivante

(3) ^'"®=£ ^d* + (0'o-eo).

L'intégrale indiquée a un sens parfaitement précis; car M peut a'exprimer en fonction de s^ et le second membre représente une

quadrature, prise entre l'extrémité A de la pièce et un point quelconque, le long de la courbe moyenne non déformée AB. Le premier membre donne la quantité angulaire dont chaque section normale bascule pour passer de sa première à sa dernière position. La constante (V^— 0^) est la variation de l'inclinaison de la tangente à l'extrémité définie par l'arc $^ , c'est-à-dire au point A.

2AS. Nous allons déduire de l'équation fs) les différences a! — x, y' — y^ c'est-à-dire les déplacements parallèles aux axes des différents points de la fibre moyenne. Pour cela, observons que l'on a approximativement

cos 6' = ces 6 — (y — 6; sin 6, sin 6' = sin e + (6' — 6) cos 6.

Ces formules sont suffisamment exactes, quand la différence V — 0 est très-petite, ce que l'on suppose ici. Mais

.ia«' = g:. .inO = g, - -•