ET SYMÉTRIQUEMENT CHARGE

AU delà du point D, les valeurs de H et de P changent, et l'on a pour ft > 9j et < ç,

M = Qp(cos 6 — C08 9) — np(sin 9 — sin 0), P = û cos • + n sin e.

L'expression de M substituée dans (3) permet de variation de l'angle 0.

Pour cela remplaçons, sous le signe somme ^ d$ par prf6, et faisons

l'intégrale \-^ — entre les limites o et 0; il y aura deux cas à dis*

tinguer, suivant que la limite supérieure 0 de l'intégration est inférieure ou supérieure à la valeur 0^ pour laquelle le moment M change d'expression analytique.

On aura d'abord entre o et 0^ , en laissant de côté les facteurs

constants ^»

JM(iO = Qp \ (ces OdO ^ cos f dO) — Dp \ (sin f -- sin 0^)dO,

ou bien

V MdO = Qpfsin 0 — 0 cos 9) — np6(8in ? — sin OJ.

Au delà, c*est^-dir& pour 0 compris entre 0^ et f , l'intégrale doit :e décomposer en deux parties :

S*MdO=Ç^*Mde+Ç'Mde.

La première partie n'est autre chose qu,e la valeur de l'intégrale précédente, quand on y fait 0=0^. La seconde donne

Qp \ (cosOdO^cosrdO) — np \ (sin fdO — sin 6d0).

Ue ARC SYMÉTRIQUE

L'intégrale générale est

Qp (sin 6 — e C08 9) — np(6 sin f + C08 6)1 si Ton y fait 0 = 0^, elle devient

Qp (sin 64— Oj CO8 f) — IIp(ej sin ^ + C08 6J,

et il faut retrancher cette fonction de l'intégrale générale; on aura donCypour 0> \^

? M de = 0p(8in «4 — \ CO8 f ) - npej(8in 9 — sin ej,

— Qp(8in 61 — Oi ces ?) + np(Oi sin f + ces 6 J + Qp(8În a — 6 ces f) — np(0 sin f + ces 6)

ce qui se réduit, en dé(înfdNfe« à l'expression

\ M(26 s= np(cos 0| + 0| sin O^) + Qp(8in 6~ 0 ces f ) — IIp(l sin f + ces •).

Les valeurs des intégrales obtenues doivent être multipliées par X-, facteur que nous avons laissé de côté tout à l'heure, et nous aurons pour valeur de la déviation angulaire des normales, V — 0 .

6'-e = ^(8ine-ecos9)-^(8in9-8mej

pour toutes valeurs de Q comprises entre o et 0^ , et

r — e = ^(8ine — 6co8 9) + ^(co8 0t+9isîn0i— esinç-cose)

pour toutes les valeurs de 0 comprises entre Ot et y.

ET STMËTRIQUEMENT CHARGÉ. ^'^

Si Ton fidt 0=o dans la première de ces équations* on a V — 0=o,

parce qu'au point C, à cause de la symétrie, l'arc s'élève ou s'abaisse sans éprouver de dé-

; yiaUon angulaire ; et si l'on fait • = 6, dans les

deux formules , elles donnent la même valeur pour V — 0 , ce qui doit être, puisque les deux

. / / ^* tronçons de la pièce doivent, après conmie

, / / avant la déformation, se raccorder tangentiel-

I // . lement au point D.

y II faut maintenant chercher la poussée hori>

zontale Q; pour cela, nous calculerons af — x au moyen de l'équation (lo), en y remplaçant flfy, ou EE", par psinOcifO, et dx^ ou EE, par pcosOcifO; de sorte qu'il viendra

z'— x = — py (y — Ojsin WO — p'I =^cosM» + pV orcosOdO.

Nous n'avons pas de constante à ajouter, parce que, bien que l'o* rigioe G des intégrales ne soit pas fixe, nous savons qu'elle se déplace le long de l'axe CT, ce qui n'altère pas Yx du point de départ.

II Taudra, comme précédemment, distinguer deux cas : celui de »<ft,, et celui de 8 > 8j.

Daos les deux cas, le terme p y axcosO^/O qui correspond à la

variation de température, donne pour résultat pax sin 0. Le calcul est ramené aux quadratures suivantes : !• Pour 0 < 8, ,

z'^s = — ^\ (8inO^Oco8f)8inO<l6+-sj\ 6(8in9 — 8in6|)8inOdd — ^ y C08» (k» + p«T 8iD 6.

Si, dans cette expresdon, on fait 0 = 0^ , on aura pour af — x une certaine valeur B^ qui sera la valeur de passage du premier au second tronçon ; de sorte que l'intégrale relative à ce second tronçon doit donner^'cette même valeur B^ pour H ^ \.

448 ARC SYMËTRIQUE

2* Pour 0 > 0, et < f, on aura donc : x» — jc = — w V (sin 0 » 0 ces f) sin 6<i§

(ces 0| + 6| sin 0| *- 0 8În 9 ^ cos 6) sin 6d9

-|£jco8.(W.-gJ^.ln»co8 6de + p3tt sin 0 + 6| — pot sin 6, .

Toutes les intégrations indiquées peuvent se faire facilement, et donnent la valeur générale deaf — x pour un point quelconque de Tare GB. On remarquera que, dans ces formules, l'inconnue Q entre au premier degré. Si dans la seconde formule on fait 0 = f , on devra trouver, la variation af — x correspondante au point B qui est supposé fixe. On égalera donc cette variation à zéro, et l'on aura une équation du premier degré qui donnera la poussée horizontale Q.

Le calcul est long, mais il ne présente aucune difficulté; nous nous bornerons à cette indication, en renvoyant à l'ouvrage de M. Bresse pour le développement des opérations.

Connaissant la poussée Q, on aura toutes les forces qui agissent sur l'arc donné; on pourra donc calculer numériquement les valeurs des efforts A, P, et du couple M ; et par suite déterminer en chaque point la charge supportée par la matière, ce qui est le point le plus intéressant pou( le constructeur.

2A8. La même méthode est applicable au cas où l'arc serût sollicité

par deux forces horizontales H, H' égales, contraires, et appliquées en

deux points D, IV, symétriques l'un de Tautre. On pourra donc tou-

y. 217 jours trouver les valeurs de la poussée Q,

dans le cas d'un arc symétrique et symétriquement chargé; car il suffit de dé- 'N^ composer les charges, quelles qu'en soient les directions, en deux composantes, l'une verticale, II, l'autre hori* zontale H ; ces composantes seront deux à deux groupées symétriquement , et si Ton calcule, par les formules convenables, les poussées partielles dues