DE LÀ POUSSÉE
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KO + iî [^ r^+ -.IllJç+Î9COS«9)
Cette dernière éqaation ftlt connaître la poouée horiiontale de l'arc, et la Talenr ainsi trouTée^sabstitaée dana l'éqaation précédente, donne la Talenr de la constante p.
Comparaiitm aœe Ui équation» de if. Brust*
Tll. L'éqoation (5) eolndde avee celle de If. Breasé el celle de NaTler, en négligeant toua les termes contenant ^. n vient alors simplement
OQ bien, si Ton rétablit la notation ordinaire,
•'^•ap + V ^d» (éqnatton(S)dnS344).
Les équations (8) se ramènent aux équations qnl donnent af—x, y' — y. Pour cela,
Ids P
remplaçons dans les équations (8) le rapport -j- par — A4 = ~~ sg + ecv. Il Tiendra
Wap = dy f— — + aTJ + d«»,
d'où l'on tire, en intégrant,
fM pi P fM
y'-y = +\* d4;((K-8)-\ -^dy^-K «tcte,
on bien
équations Identiques aux équations (10) et (11) du S 244. En résumé, la seule modlflcatlon introduite par la nouTeiie méthode est celle qui consiste à compléter la Taleor
Sd^ — dis' — *).
PIÈCES COURBES. ^HÊTHOlkB AS V« JIKU.'CJ).
373. Soit AB la fitoe vaojenm^û^uu arc ^tetll^fie, que aom mippoieroiis pose en A et
Fig. 134.
eo B sur deux appuis. Appelons 1 et Y tel composantes^ Tune horizontale, rentre Terficate, 4e la Y^adlan âo point A, d aansidéFoi» nnr l'aro m second point I quelconque. L'are AM sera en éqailibief BOUS Paction des forces X et Y, des forées données réparties de A en M, et des forces ^évètoppéw -dam la «ection M. Ces dernières forces sont équlYslentas à la résol* tante changée de sens des premières. Noos poumaas Aas rédain «a ^fmkml à une fosoe UAÎQUC^ «fpfllqaée an on paint Mf aitaé mt
la verticale do point M, et telle que Ton ait, en décomposant cette force suiyant Thori-
sontale et la terticale,
H étant la somme des composantes horlsontales des forces données,
V la somme das composantes verticales^ pesitines qaand «Ues agissent de baat en iMts,
et (& la somme de leurs moments par rapport an point M.
Soéem
0P=». Pll = y, Fll'«sr,
et soient OL«s m. Là = n, les coordonnées du point A. On aura les trois équationi :
Û = Xt.H, S =r Y - Y,
X, Y, sont des constantes, ainsi que m et n. H, Y, (i sont des fonctions de x et de y. D'ailleurs, y et « sont liés entre eux par Téquation de la courbe AHB. BUminons y et Q entre Téquation (1), l'équation (8) et Téquation de la courbe. L^éqostiOD finale entre y' et x sera l'équation du lieu du point M'* Le tracé de cette courbe auxiliaire, que M. Bell appelle courbe cTéquilikrê, aidera à trooTer le moment flécbisuiit en un point quelconque de Tare. Il suffira, en effet, de faire le produit do la force Q. composante borixootale de la poussée an point M» par l'intervaùe MM' comprit •or la yerticale entre les deux courbes.
Il y a un cas particulier très important pour la pratique, celui où tontes les furev extérieures appliquées à l'arc sont verticales. Dans ee cas, H s 0^ et Q est une quantité constante. Alors le moment flédiissant est pmpertlonnel à riat«rvalle des dsoz courbes.
La courbe d'équilibre passe par les points A et B si Tare est limplement posé sor ses appuis; car en ces points le moment fléchissant doit dire nul.
M. Bell a déduit de cette remarque une méthode de calcul des pièces courbes. Oi» les formules qui donnent 68, £x, By, cerialas termes eentleniient les variatloos de les*
(*) 0» the stresteê of Hgii archet, eto., by Willivai BeU (Instttotion dei Ugénienn ciTili àê Usdres, 8tene« du 5 décembn 1871, vol. XXXIU, n* 1S07).
MÉTHODE DE M. BELL. m
gneur ^ de l'arc moyen, et expriment l'effet da raeeooreisflement oo de ranongement de la fibre moyenne, dûklà force P normale à la section, on à la Tarlatlon de la température; d'autres termes, et ee senties plus importants, expriment l'effet dû au moment fléchissant. M. Bell ne conserve que ces derniers dans ses calculs. ïjn formules sft réduisent alors aux snlTanles :
te = — ^ Wrfy, ^ =zs + \ 9Mm*
Les deux dernières équations se prêtent à l'intégration par parties. On a, en effet.
\«Wy=y»— V
yd».
m Mais d60 = rr- ds, en Tortu de la première éqnallon dlflétentlée.
Donc
et de même
AppliqueM oea ifmlÊêm à Vmo<mÊkr AB, «dm
«»<'+Vs"'"'
Ces équations ae shnplHIent dans les cas partleullers sntrants. 1* SI Tare est encastré en A, on aura en ce point 86 = 0 ; donc la constante p est nulle ; 3* SI, en outre, Pare est encastré en B, la râleur de M est aussi séro pour le point ^^ et, par suite, on a la retadlDD
^ M df = 0,
en Mnat aortlr la fluteir «nalaol gj 4u signe
fLeatannaa |^ret|<x6e
TB
nppnia^ car doit 8B est nul aux Hmlles.
sont nuls qaand lapièca est encaatiiéa aor aaa deux
402 PIEGI^S COURBES.
Dans ce cas, on a les deus relations .
Mxdê a 0.
4* lians le cas particulier où Tare est symétrique par rapport à une Terticaie, \(% ordonuées n des deux points A et B étant les mêmes, on a
et la seconde équation prend la forme
(*B M ^* fB Mv Ja El Ja El
Dans toutes ees formules, où nous supposons I constant, entrent les intégrales solliantes:
yidSf yiydSt ylixdst
dont rinterprétation est Immédiate. Suppoions qu'on attribue à l'arc ds de la libre moyenne un poids spécIQque, positif ou négatif, égal à M. La somme \M(f# sera lepoidi
d'un are fini, et \Mv<f«, \Ma;cf« seront les moments de ce poids par rapport aux sxes
coordonnés.
Dans le cas des ares encastrés sur les deux appuis, les poids (positifs ou négatifo) des divers éléments de la fibre moyenne se font équilibra et de plus forment un système indifférent (l).
Dans le cas d'un are symétrique par rapport à la verticale, le centre de gravité des poids (positifs et négatife) des divers éléments de la fibre moyenne est situé sor Is corde AB.
Or, si l'on se reporte au tracé de la courbe d'équilibre, on verra que le poids spécifique M est représenté en chaque point par l'intervalle vertical MM' compris entre les deux seules courbes, dans l'hypothèse où la pièce n'est sollicitée que par des poids.
Ces remarques ont conduit M. Bell à une méthode graphique très simpie pour la recherche des moments fléchissants dans les pièces courbes, Ayant déterminé la pouiaée d'une manière arbitraire, on en déduit une courbe auxiliaire AM', au moyen de laquelle on essaye de vérifier les équations de condition; on modifie la poussée de manière que ces conditions soient satisfaites, et l'on arrive au résultat cherché après un petit nombre d'essaiSy que l'emploi du compas de proportion peut éviteri ainsi que l'a fait observer H. le major Brown (page 25 du mémoire précité).
Nous renverrons au mémoire de M. Bell pour les développements de cette méthoife.
(I) JJastistème est dit indi firent, loriqae la centre de gravité du système est iadéteminé, ce qoi suppose an certain nombre de masses négatives, et la masse totale égale k séro. Dans ce cas, chaque point da système est le centre de gravité de l'ensemble des antres. Lorsque, la somme des masses étant toujours nulle, les coordonnées du centre de gravité sont infinies, les forces se réduisent à un couple, et on peut dire que le système est wmgnètiquet par analogie avec la propriété des pôles d'un aimant Ces dénominations sont dues à M. Jung (de Milan). (Y. Comptes remtus de rAssoeiatUm firmfise fstr Favanceateut des sciences^ Congrès de Eoaen, 1883.) ^
I ig. 235.
