POUSSEE HORIZONTALE DUE A UNE CHARGE INCOMPLÈTE

APPLICATION DE LA MÉTHODB PRéCI^.DENTB. ~ RECHERCHE DIRECTE DE LA POUSSÉE HORIZONTALE DDE A UNE CHARGE INCOMPLÈTE.

274. Soit AEB la fibre moyenne d'one pièce courbe, dont nous supposons la section

uniforme. La corde AB est boriiontalei nous la prendrons poor axe des abscisses, en fixant Torlglne au point A; les ordonnées y seront compta à partir de l'axe AB jusqu'à la courbe donnée AEB.

Supposons que la surdiarge qui pèM sur la pièce soit uniformémect répartie, de C en Dy sur une longueur CD = b, à raison de p unités de poids par unité de longueur. Soit a la portée AB de la pièce.

Construisons la courbe d'équilibre AFB. Poor cela déterminons les réactions yerticnies, X et Y, des appuis, et appelons Q la composante horixontale, qui reste à déterminer.

Sî l'on appelle y* Tordonnée d'un point de la courbe d'équilibre, correspondante à l'abscisse x et à l'ordonnée y de l'arc donné, on aura pour l'équation de la courbe chercbée, entre les ordonnées y' et x, de l'abscisse x = 0 à x=ib,

Q(y' — y) = X« — Qy — jpa:*

et de x=z à à 07 = /,

W(y'-y) = Xx-Qy — p6^ar--)

on (}y'=Xx— - po;*,

pb* on Qy'rrXa; — p&a: + ^.

La première équation représente nne parabole qui part du point A ; la seconde nne droite qui prolonge tangentiellement la parabole A i'aplomb du point G, et qui passe par le point B. Le moment flécblssant en un point quelconque M est donné par le produit Q(y'— y).

Les appuis A et B étant de nireau, on a tu que le centre de graTité de l'arc AB, anquel on attribue en cbaque point une densité égale à M, est sur la corde AB; et puisque cette corde sert ici d'axe des x, on doit avoir

y Myrf*==0,

Formons donc rintdgrnie \ M^^^, étendue à l'arc tout entier. Il tient ^* (x«-Qy - i pa^)yA+ Ç' [x«-Qy- p6(ar- j)]^^

ou bien

JO JO 2 JO Jb * J6

PlfiCfi» COUItBB&

équation dont on tire

^^^S>f^2Hil!!^r!!5

b 2 Jb

Tonte 1« inléiraltt ill4^oée8 sont faciles li làire, et on peut les ramener à des constructions géométriques.

Flg. t3S. !• geit

m»=:ds, mp=zy.

Si Tou mène la normale mA, et qu'on pose pp* = dx, on a la relation

ffdt=sJidxy

en appelant N la longueur mk, li suflln done de reierer eo pf, snlTanit l\irdonnëe pn, la normale mh, pour ebUoir le lien des points q, teU qM l'ain kpq àoiê. eourlM ssH

équlralente à l'intégrale Vyc&f prise entre les points A et m.

t* \xyds est la somme des moments des aires élémentaires yds ou Ndo;, par rapport à la droite AH, perpendiculaire à AB au point A. La construction da § &9, appliquée aux aires kpq, ramènera donc la recherche de cette intégrale à la quadrature d*aM aire plane.

8* De même Xo^y di est le moment d'inertie des aires yds on Hdx, par rapport à li même droite AH; et la même construction l^ra connaître cette somme.

4* Il resAe Ilntégrale \ y*^« qnl équivaut à \ yNtf«. 0b la tfamTormera facllemaot

de la manière suiTsnt^ Prenons sur la normale mh nne loigneor fva = A, coostaote Joignons ap, et menons par le pied h de la normale one panllèle kr à cette ligne ep Nous aurons

ma mp

mh mr

ou bien

mhxmp N V

mr = = -7-,

ma k

et, en appelant s cette longueur mr, il viendra

kxd»^=z Nydx,

de sorte que rintégrale cherchée est l*aire comprise entre la courbe donnée AEB et li courbe lien des points r.

Connaissant la poussée Q, le tracé de la courbe d'équilibre s*en déduit immédiatement, et cette courbe fait connaître les valeurs du moment fléciUunat eo tons les points de li portée.

ÂR£S PAftABOLlQUES.

On peot remaifaer qjua, Umqpé U ponuée Q resta imUtamlDée» la Ugne d'éi|ulllbre AFKE «t QODBoa à vichelle du ordwMe* j' près; cw lue vartatioa du facteur Q entraîne pour j/ une yarlation correapondante, laissant le produit Qj^ k même en chaque point de la portée.

La ligne d'équilibre est donc entièrement détermiJiée quand on en connaît un point, antre que les points â et B; par exemple le point où elle rencontre la ligne moyenne, c'est-à-dire le point où la moBMnt fléeblseant eat nol. La peussée Q s'en déduit immédiatement. C'est ce qui arrire lorsque la pièce courbe possède une articulation.

Lorsque l'arc donné est très surbaissé, la normale ft eat sensiblement égale I l'ordonnée y et l'on peut remplacer dt par dx. Alors la formola qui donne la poussée Q se simplifie. Appllquon»-la, comme vérification, au cas où la charge p6, s'étend sur toute ia portée, c'est-à-dire au cas où 6 = a. On aura, en substituant dx à d$,

A xydx p\ a^ydx

y^dx

Supposons que l'arc donné soit une parabole, dont la flèche soit égale à f. L'équation de la eourlM sera

y ziz -^ x[a -^ X),

et l'on aura

yé.^'^^,»-^fé^^Lpa,

IS û

« 1 X — Tl»»

2 '4 t'^ Ik' pa^

■ir"

On leiroiiia laiormla OMitté de la portée.

Q^jf* équiTatoUà ^, sLI'ODapiiiUe a' la