ENVELOPPES
plaques et des membranes élastiques. Les équations généraleâ contiennent à la fois les deux courbures de la surface vibrante; ce sont des équations aux différences partielles, qmne peuvent s'intégrer que dans quelques cas particuliers.
Le problème de la résistance des enveloppes de chaudières est beaucoup plus élémentaire, et c'est une question que l'ingénieur a souvent à étudier. En général, les chaudières ont une forme cylindrique; elles sont terminées dans la longueur pat* des parois de forme courbe, Qt il s* agit de déterminer quelle tension se développe dans le métal lorsque la pression de la vapeur contenue dans l'enveloppe atteint sa limite extrême. Nous examinerons successivement les cas principaux qui peuvent se présenter, eu nous bornant aux plus simples.
*279* i**" Cas. — Enveloppe cylindrique indéfinie à profil circU' laire^ soumise à des pressions normales uniformément réparties.
Par Taxe 0 du cylindre, faisons passer un plan quelconque MN Fig. 240. qui coupe l'enveloppe suivant deux géné-
ratrices A et B. Les efforts développés dans la matière suivant ces deux génératrices sont égaux entre eux, et indépendants de la direction du plan MN, à cause de la symétrie du profil et de l'égale répartition des pressions.
Supposons d'abord l'enveloppe soumise à une pression intérieure égale à p unités de poids par unité de surface ; appelons p le rayon de la surface intérieure de l'enveloppe et e l'épaisseur du métal. Soit enfin R l'effort moyen par unité de surface développé dans le métal.
En ne considérant qu'une longueur de cylindre égale à l'unité, on voit sur-le-champ que les sections faites par le plan BiN suivant les deux génératrices A et B doivent développer une résistance totale aRe, égale à la résultante des pressions exercées sur l'une des moitiés du cylindre. Or la somme de ces composantes est égale au produit de la pression p par le diamètre intérieur ap de la chaudière. On a donc Re = pp, équation qui détermine la tension R.
Si la pression/) s'exerce à Textérieur de la chaudière, la même équation détermine encore la compression R de la matière par nnitéde smface, en ayant soin de prendre pour p le rayon extérieur de l'enveloppe» parce que c'est sur la surface extérieure que s'exerce la pression.
Si la pression p existe à l'intérieur, et qu'une pression pf existe à l'extérieur, on aura,, en appelant p le rayon de la surface interne et p' le rayon de la surface externe,
équation où les valeurs positives de R correspondent à des tensions, et les valeurs négatives à des pressions dans la matière de Tenve* loppe.
En général, la différence p' — p est assez petite par rapport à p pour que l'on puisse remplacer p' par p dans le second membre de l'équation, ce qui donne :
(4) R« = p(p-pO.
Ce résultat suppose que la tension R est également répartie dans l'épaisseur des parois A et B de l'enveloppe. Il est facile de remarquer que cette répartition égale n'est admissible qu'approximativement, et seulement lorsque l'épaisseur e est très petite. £n effet, chaque arc infiniment petittcfo, pris sur une circonférence
quelconque AT/ F, se trouvant soumis à une tension égale à R par unité de section, subit
d$ un allongement égal à Rx p-. L'allonge-
. ment total pris par la circonférence exté-
"' ^ "" ^ '' rieure A'G'B' est donc égal à incf' x |,
et l'allongement total pris par la circonférence intérieure est de
même égal à aicp x ^. Les deux circonférences, dont les rayons
sont p et p' dans l'état naturel, doivent donc, par suite de Tex-
Fig. 241.
506 ENVECOPPES
tensioD, prendre des rayons respectivement égaux & p ( i +m)}
et à pM 1 + p )» ot Tépaisseur primitive p' — p devient égale à
(p' — p) f I -|. ^\ c'est-à-dire qu'elle augmente dans le même rapport que les éléments de fibre.
Or nous avons vu (§ 1 5} qu'une tige* tirée par une force dans le sens de sa longueur, subit, en même temps qu'une extension, une contraction latérale. La paroi entière de la chaudière, étant soumise à un tel effort, doit diminuer d'épaisseur, tandis que l'hypothèse de la répartition égale des pressions sur toute l'épaisseur a pour conséquence géométrique et nécessaire un accroissement d'épaisseur : cette hypothèse conduit donc à une contradiction.
Lorsque l'épaisseur p' — p est très petite par rapport au rayon, l'inégalité des tensions dans les diverses fibres de la paroi est peu accentuée, et l'on peut sans erreur considérer la tension en un point quelconque comme sensiblement égale à la pression moyenne. Il n'en est plus de même lorsque l'épaisseur est très forte; alors l'inégalité devient plus grande, et les fibres intérieures subissent une tension beaucoup plus élevée que les fibres extérieures. La paroi tend à se déchirer en conunençant par les fibres du dedans.
Cet exemple nous montre que la solidité des chaudières ne croit pas proportionnellement aux épaisseurs ou aux quantités de matière. Si Ton double la pression de la vapeur dans une chaudière, il ne suffit pas, pour assurer la même résistance à l'enveloppe, d'en doubler l'épaisseur ; il vaudrait mieux changer la matière de la paroi et adopter des matériaux plus résistants, pour avoir toujours une épaisseur moindre, et pour produire la répartition de tension la plus égale possible (i).
280. Répartition des efforts dans les chaudières cylindriques
(1) Cf. s 73.
indéfinies à base circulaire. — Un prisme soumis à une extension subit une contraction latérale dont le coefficient peut être déterminé, soit par la théorie mathématique de Félasticité, soit par Fexpérience. Supposons ici ce coefficient connu.
Soit, par exemple, un prisme rectangulaire de longueur égale à Tunité, d'épaisseur très petite et de largeur indéfinie; s'il est sollicité par une force uniformément répartie sur sa base, à raison de R unités de poids par unité de surface, sa longueur primitive, i , de-
viendra sous cet effort i + p^ et son épaisseur décroîtra de la frac-
tion m t; de sa valeur primitive, E étant le coefficient d'élasticité de
la matière, m le coefficient de contraction, égal à -, d'après M. de
Saint-Venant; d'autres auteurs, Wertheim, par exemple, le font égal
à -; d'autres encore le font égal à 7 (Gd S i5). d 4
Appliquons ces données à une chaudière indéfinie, cylindrique, à
Fig. 24t. base circulaire et infiniment mince ; soient p
et y := j9 -f dp^ les pressions par unité de
surface à l'intérieur et à l'extérieur; r le
rayon intérieur OA , t^ = r + dr le rayon
extérieur OA'; soit enfin R la tension par
unité de surface, développée dans la matière
suivant les sections diamétrales AA', BB'.
La tension R nous sera donnée par l'équation d'équilibre de la
demi-chaudière :
mdr = 2pr — 2p V ^Stpr-- 2fp + dp) (r + dr)
donc
^ dfpr)
dr '
La circonférence de la chaudière, subissant cette tension en tous
