ENVELOPPES
points, s'allonge dans le rapport de i à i -f p 9 ce qui donne au
rayon r un allongement
(2) 8r = rxg;^
mais en même temps la contraction s'opère, et l'épaisseur dr vaiîe de la quantité 8tfr,
(3} tdr = — mdr x — .
Ces résultats sont applicables à chacun des anneaux concentriques infiniment petits dans lesquels on peut concevoir décomposée la couronne annulaire formant la section transversale. d'une chaudière d'épaisseur finie ÂB (fig. s43).
Soient OG = r, OD = r + rfr, le rayon intérieur et le rayon exté- Fig. 243. rieur d'un tel anneau CD. Appelons p la pres-
sion (rapportée à l'unité de surface) des an- /;^^;;;;-^Z::^^ ^* neaux intérieurs sur l'anneau CD ; p + dp la // ^M V \ pression des anneaux extérieurs.
^ Les équations (1), (2), (3) seront applicables.
Diflérentions 1* équation (s); il viendra
mais
dôr = odr = — rnàr n ,
donc
(4) (i + m)Rdr + rdR = o ,"
et par suite
ou bien
^) ^ ~ ;Tf^» ^ désignant une constaule arbîlrairc*
Sabstîtuant cette valeui- de R dans l'équation (i), il viendra une équation qui fera connaître p en fonction de lU On a en effet
d'où l'on déduit, en intégrant, et
r wir"*+**
G étant une nouvelle constante.
Les constantes A et G se détermineront en exprimant que, pour r = OA=:r^, rayon intérieur de la chaudière, p=Pof pression intérieure, et que, pour r = OB = r, rayon extérieur, p = jOj.
On a donc à la fois
^t = r + irns+îf
donc
et la répartition des tensions sera donnée par la formule (5}» où Ton mettra pour A la valeur (7) :
R est nul lorsqu'on a à la fois p^ = o, />^ = o, et plus généralement, quand p^r^ =/>i^i- On voit qu'il n'est pas nul si l'on a simplement p^=^p^* Si pj'*ii>p^r^y R décroît de l'intérieur à l'extérieur. La pression />, exercée par un anneau sur l'anneau voisin, est donnée
par r équation (6), qui devient, en substituant à A et à G leurs valeurs définitives,
P- rm r^fn ^7+ rr — U^ ^r«M*
Si l'on fait m = -, la formule (8) devient
Ces formules supposent que Tenveloppe est en équilibre; elles seraient fausses A on les appliquait à des enveloppes soumises à des vibrations faisant intervenir les forces d'inertie. On ne doit pas, par exemple, les employer pour calculer la tension du métal d'une pièce de canon pendant le tir.
On trouvera dans les Annales des ponts et chaussées (septembre 1876, n"" 4o), un article de M. Brune où la même question est traitée d'une manière un peu différente (1).
281. d** Cas — Enveloppe cylindrique à profil circulaire^ limitée dans la longueur à deux couvercles de forme inditemUnie. Becherche de la tension ou pression longitudinale.
Appelons encore p la pression intérieure, p' la pression extérieure par mètre carré de surface ; R' étant l'effort développé dans la matière suivant les génératrices du cylindre, on a pour l'équilibre l'équation
R' X 2ic (j^) X « = «pV — ^pV-
Cette équation se simplifie lorsque la petitesse de l'épaisseur par rapport à p permet de confondre p et p', et elle devient
(i) Cet article renferme anssi une théorie de la plaque circulafre eyinétrlquemeoi chargée, et une Bolutlon du problème de la plaque circulaire d'égale réâistaoce.
ÉPAISSEUR A DONNER AUX PAROIS DES CHAUDIÈRES. 51 i
En comparant réquation (a) à l'équation (i), on voit que R'=:-R,
c'est-à-dire que dans une chaudière cylindrique la tension longitucUnale est la moitié de la tension transversale.
Nous chercherons plus loin quelle forme il est préférable de donner aux couvercles d'une chaudière cylindrique à section circulaire.
CALCUL DE L'ÉPAISS£UB DES GHADDIÈBES*
282. On calcule en France l'épaisseur à donner à une chaudière cylindrique de machine à vapeur, par une formule contenue dans l'ordonnance royale du as mai i843:
e = 0,0018 iid + 0*,003.
Cette formule s'applique seulement aux chaudières à pression intérieure ; e est» en mètres, l'épaisseur à donner à la paroi ; d est, en mè* très, le diamètre de la chaudière, et n le nombre net d'atmosphères auquel la pression intérieure peut s'élever. Ce nombre s'obtient en retranchant une unité du nombre d'atmosphères indiquant la pression totale de la vapeur dans la chaudière. Une atmosphère équivaut, comme on S£dt, au poids d'une colonne de mercure de 760 millimètres, soit à environ i^.oS par centimètre carré. Pour les chaudières à basse pression, le premier terme de la formule est nul ou négligeable ; dans ce cas, on peut donner telle forme qu'on voudra au profil de l'enveloppe, elle sera toujours en équilibre entre les pressions exercées sur ses deux faces. Le tracé du profil s'exécute alors d'après d'autres considérations. Le terme o^'.ooS delà formule est destiné à donner un surcroît de garantie pour la résistance et la durée de la chaudière. Le calcul des tensions qui correspondent aux épaisseurs assignées par cette formule démontre que la tension transversale s'élève au plus à 9'',8o par millimètre carré. Cette faible limite se justifie en observant que les fortes pressions ne s*obtiennent dans les chaudières que sous de hautes températures.
612 ÉPAISSËUUR DES CHAUDIÈRES.
et que rélévation de la température réduit la résistance du métal. Pour les chaudières des locomotives, qui reçoivent le feu intérieurement, on diminue d'un tiei*s les résultats fournis par la formule.
Lorsque la chaudière doit supporter une pression extérieure, Vordonnance du ss mai i843, complétée par une instruction ministérielle du 17 décembre 1848, prescrivait d'ajouter moitié en sus à l'épaisseur indiquée par la formule, et en outre de consolider le profil par des anneaux en fer forgé destinés à prévenir les déformations. Cette précaution est nécessaire lorsque la pression est extérieure, parce que les moindres déformations du profil tendent à s'accroître sous l'action des forces qui compriment Tenveloppe ; elle est entièrement inutile lorsque la pression est intérieure, ces déformations tendant au contraire à s'effacer. En d'autres termes, la forme circulaire est pour les enveloppes une forme d'équilibre ; mais l'équilibre est stable si la plus grande pression est intérieure à l'enveloppe, et il est instable dans le cas contraire.
L'ordonnance de i843 est aujourd'hui remplacée par un décret du fi5 janvier i.865, qui supprime toutes les mesures préventives, sauf l'épreuve préalable de la chaudière. Cette épreuve se fait avec la presse hydraulique ; la pression d'épreuve, autrefois fixée au triple de la pression nette de la vapeur dans la tfaaudière en service, a été réduite au double par le même décret (1).
Les chaudières à basse pression n'ont pas besoin de recevoir une forme particulière d'équilibre, et en général, on leur donne le profil qui leur assure le contact le plus étendu avec le feu. Aussi, lorsque la pression augmente accidentellement, l'enveloppe est exposée à se déchirer. Contrairement à un préjugé fort répandu, les chaudières à basse pression présentent en somme moins de sécurité que les chaudières à haute pression ou à pression moyenne; la forme d'équilibre et les épreuves donnent pour celles-ci de précieuses garan-
(I) Voir dans les Annales des ponts et chaussées, jain 1876, Mémoire n* 29, la circulaire du Board of trade^ contenant les iostrucUoDS pour les contrOleors chargés de rinspection des chaudières en Angleterre.
