DANGER DES COUVERCLES PLATS

fsûllit avoir de très graves conséquences. On levait avec cette presse une travée du pont tubulaire, qui a 137 mètres de longueur; elle était arrivée à 7".3o de hauteur, quand le fond du cylindre se détacha tout à coup ; la travée abandonnée par le piston qui devait la soutenir, fut heureusement retenue sur ses appuis de sûreté.

Pour continuer le levage on modifia la forme du corps de pompe ^ Ton substitua aux fonds plats des fonds ayant la forme ellipsoïdale commandée par la théorie.

Forme iln e>lin4rt «vaut l'accident.

Forme daeylindre après la modificatioA du fond.

286. — 4* Cas. — Enveloppe cylindrique à profil faiblement elliptique.

Dans les profils circulaires, nous n* avons eu à constater que des tensions , soit longitudinales , soit transversales , mais toujours tangentes à la surface. Ici se développent non-seulement des tensions, mais encore des moments fléchissants, comme dans une poutre soumise à l'action de forces transvei'sales. Pour que ce phénomène puisse se produire, il est nécessaire que Tenveloppe ait une certaine raideur, car si elle était éminemment flexible, le profil circulaire conviendrait seul pour l'équilibre ; de plus, l'équilibre serait instable si la pression s'exerçait de dehors en dedans.

La recherche delà déformation d'une enveloppe à profil elliptique est une application des formules de la flexion des pièces courbes ; le calcul se simplifie quand on suppose à l'ellipse une faible excentiicité.

Soit ÂBA'B' la fibre moyenne de l'enveloppe ; nous supposerons Fig. Î45. q^g jç cylindre ait, perpendiculairement

au plan de la figure, une longeur égale à r unité. Menons par le centre 0 de Tellipse les axes A'A, BK.

Soit p la pression nette qui s'exerce intérieurement au vase, c'est*à-dire l'excës de la pression intérieure sur la pression extérieure.

Coupons le vase par le plan AA' ; les résultantes des forces élastiques développées dans chacune des deux sections A et A' font équilibre à la résultante des pressions exercées sur tout le périmètre intérieur de Tellipse ; or cette résultante est aussi la résultante des pressions exercées sur le diamètre AA' qui, pris avec l'arc A'BA, achève de fermer le contour A'BA ; il résulte de là, et de la syméurie de la figure par rapport au plan AA', que la somme des forces élastiques développées dans la section A est égale à pa, si Ton désigne par a le demi grand axe OA. La résultante, d'ailleurs, ne passe pas nécessairement au point A lui-môme ; appelons h la distance du point A à son point d'application C. Nous compterons la distance k positivement de A vers 0, négativement en sens contraire. On voit que les actions moléculaires développées au sommet A de l'ellipse se réduisent en définitive à une force appliquée en A, perpendiculairement à AA\ et à un couple, dont le moment est égal au produit de cette force par la distance AG.

Considérons une section transversale M, et cherchons le moment fléchissant qui s'exerce dans cette section.

Soient x^ y les coordonnées du point M. La somme des moments des pressions exercées de A en M est égale à la somme des moments des pressions exercées sur les deux droites PM, PA qui forment avec l*arc AH un contour fermé; il y a de plus à tenir compte du moment, par rapport à M , de la réaction mutuelle des deux parties de l'enveloppe qui se réunissent au point A. Le moment de la force pa^ appliquée en G, est positif, puisque cette force tend à augmenter la courbure de l'arc au point M ; les moments des pressions élémen-

À PROFIL FAIBLEMENT ELLIPTIQUE. 5f9

taires réparties le long de MA, ou réparties le long des droites MF, PA, tendent à redresser l'arc et sont négatifs. Nous aurons donc

a = pax FL- OU bleu

M = pa X PC — ip X MP* - 1 p X PA%

M =pa X (a - 1- ;o - 1 p[y« + (a-x)*].

Si Ton fait dans cette équation

il vient

M = — paA,

de sorte que pak est la valeur changée de signe du moment fléchis* sant au point A ; appelons ce moment Mo , et nous aurons

On peut chasser y de cette équation au moyen de Féquation de Tellipse ,

où b désigne le demi petit axe OB.

On en déduit

Substituant et réduisant, il viendra

Dans cette équation, on ne connaît pas encore M«; pour le déterminer considérons Tare AB comme une pièce courbe, soumise en chacun de ses points au moment fléchissant M.

La loi de déformatioD de Tare sera exprimée par réquation

'-•=St^»-

où E désigne le coefficient d'élasticité, I le moment d'inertie, ds Yéléroent de l'arc, ^ une constante [$ 84a, éq. (5)]. Prenons l'intégrale entre les points A et B, et observons qu'en ces points extrêmes, la déviation angulaire des normales est nulle à cause de la double symétrie de la figure ; on en conclut

ps=0 et Ç*"*M(l* = 0,

Cette équation achève de déterminer le moment inconnu Mo. Nous avons donc l'équation

La première intégrale représente la longueur S de l'arc AB , qu'on peut supposer connue.

La seconde se décompose en deux termes, dont le premier est

5P(a«-^)xS; le second,

peut s'obtenir approximativement lorsque l'excentricité de TeHipse

est très petite. En effet, / x^ds est la somme des moments d'inertie

de l'arc AB par rapport à l'axe des y. Si cet arc AB appartenait à une circonférence de rayon égal à a, on aurait

Lorsque les demi-axes a et 6 sont peu .différents l'un de l'autre,

A PROFIL FAIBLEHI':NT elliptique. 521

on peut continuer à faire usage de cette formule, dans laquelle S représente le quart du périmètre de l'ellipse AB. L'équation précédente devient ainsi

M«S + î p(a« — 6«)S— i pia^^b*) S = 0.

Supprimons le facteur S et réduisons; il viendra

M« = — lp(a«~6«).

Par suite, le moment fléchissant en un point quelconque M, défini par son abscisse ar, est donné par la relation

Si a = 6, ou si le profil était circulaire, on aurait en tous points M = o. Si a est différent de 6, M change de signe au point

On peut se servir de cette valeur de M pour calculer les limites de la charge de la matière, en appliquant la formule générale

dans laquelle P doit recevoir une valeur négative, parce que cettf force représente un effort d'extension ; P varie d'ailleurs en valeur absolue entre deux limites assez étroites, j9a au point A, pb au point B. Soit e l'épaisseur de l'enveloppe; nous aurons pour une longiieu: égale à l'unité

les limites de v seront

et la plus grande valeur absolue de la tension s'ol)tiendra en

i'aisant

Appliquons cette formule au point A; nous aurons

p = — pa.

Donc, en prenant R en valeur absolue,

pa 2 (a«--6«) pa/ 3 a« — 6«\

^-T"*'3p e« ~TV*"*'2""5r";-

Pour employer cette formule, on doit y introduire les valeurs des demi-axes aet b pris après la déformation. On les trouvera en fonction des demi-axes dans l'état naturel, en appliquant aux points A et B les formules de la déformation des pièces courbes, c'est-àdire en calculant au moyen des formules (lo) et (i i) de la page 438, les valeurs des variations x' — ar, y ' — y, relatives à Tare total AB. Nous nous bornerons ici à donner les résultats approximatifs de ces calculs, qui ne présentent aucune difficulté.

Appelons a, 6, les valeurs des demi-axes après la déformation, a^, b^9 les valeurs primitives de ces mômes demi-axes; nous aurons

Approximativement, on aura, en négligeant l'unité vis-è-vis du

a*—b* nombre s — qui est très grand, puisque e est supposé très petit,