A LA CLEF

Connaissant P, on n*aqu'à composer P et Y pour avoir la réaction de la portion 6ABEF de la voûte sur le pied-droit; la résultante passe par le points.

303. Décomposons la portion de voûte 6ABEF en fragments aussi petits qu'on voudra, par des plans soit convergents, soit parallèles; nous pourrons composer successivement la poussée P avec les forces qui agissent sur le premier fragment, la résultante avec les forces qui agissent sur le second, la nouvelle résultante avec les forces qui agissent sur le troisième, et ainsi de suite. Nous formerons ainsi un polygone dont les côtés peuvent être rendus moindres que toute grandeur donnée, en multipliant les éléments de la voûte, et qui devient à la limite la courbe des pressions^ lorsque le nombre des éléments est supposé poussé à TinAni. En décomposant de même en éléments le profil GAKH du pied-droit, nous pourrons composer successivement la réaction en S avec les forces qui agissent sur le premier élément, la résultante avec les forces qui agissent sur le second, et ainsi de suite, et prolonger la courbe des pressions jusqu'à la base du pied-droit.

La courbe des pressions doit être contenue dans F épaisseur de la voûte et du pied-droit : c'est la première condition d'équilibre. Autrement, la résultante des actions d'une porUon de la voûte sur la portion contiguë s'exercerait en dehors de la surface du joint ; pour que cela fût possible, il faudrait que les réactions mutuelles des diverses parties du plan de joint fussent les unes des compressions, les autres des tensions ; or un massif de maçonnerie ne peut subir d'efforts d'extension sans se disjoindre. Les efforts locaux sont donc ou nuls, ou positifs; ils ne peuvent être négatifs, et leur résultante traverse la région comprimée.

304. La seconde condition d'équilibre est relative à l'angle du plan de joint avec la direction de la réaction mutuelle.

Considérons par exemple la portion de

- voûte limitée par la clef BA, et un joint

CD : soit R le point d'application, et OP Tin-

tensité et la direction de la poussée à la

clef, OT la résultante des actions qui s'exer-

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cent sur la portion de la voûle considérée. La résultante des forces OP, OT9 est la diagonale OH du parallélogramme construit sur ces deux forces. Or, la droite OH coupe le joint CD en M. Le point de passage de la réaction sur ce joint est donc le point M, où Ton peut concevoir appliquée une force MN=OH. Cette force se décompose en deux autres, Tune MQ, normale à CD, Tautre égale à NQ, et agissant dans le plan CD. Cette dernière force tend à faire glisser la portion de voûte suivant le plan de joint CD; elle est contre-balancée par le frottement qui B'exerce entre les deux portions de voûte con» tJgués, et dont la limite est HQx/, /étant le coefficient du frottement de pierre sur pierre. Pour qu'il y ait équilibre, il est donc nécessaire que NQ soit au plus égal à MQx/, c'est-à-dire que l'angle NMQ de la réaction OH avec la normale au joint CD soit au plus égal à Taiigle dont la tangente est /. En général, cette condidon est satisfaite quand on mène les joints normalement à la courbe d'intrados.

Par conséquent il faut et il suffit ^ pour qilil ri y ait pas glisse* ment suivant un plan de joint quelconques que la réaction mutvtelle fasse avec la normale à ce plan de joint un angle moindre que F angle du frottement de pierre sur pierre.

505. Enfin, poui' la troisième et demière condition d'équilibre, il faut qt/aux points les plus fatigués ^ la charge de la matière par unité de surface soit inférieure â la limite pratique de résistance. Cette vérification se fait généralement à l'aide de la composante normale MQ de la réaction mutuelle.

Nous avons posé dans notre premier livre (§ 69) la règle qui sert à répartir une force normale entre les éléments superficiels d'un joint rectangulaire. Deux cas peuvent se présenter.

1* Si le joint CD a une longueur supérieure au triple de la distance MD de la force Q à l'arête la plus voisine, la pression moyenne sera

égale à , ^^ (l'autre dimension du joint étant supposée égale à

l'unité de longueur)» et la pression maximum, double de la pression moyenne, s'exercera sur Farète projetée en D. Le joint tend à s'ou* vrir du côté opposé.

2* Si le joint CD a une longueur moindre que le triple de MD,

toute la surface du joint est comprimée» et la pression R par unité de

9ig, «s«^ surface au point défini par son abscisse z^

comptée à partir du point I , milieu du joint, est donnée par l'équation (§ A5) :

^ La pression maximum, qui a lieu au point D,

9e trouvera en fiiisant x^slB:

«"êi'^-re)

306. La solution du problème qui consiste à répartir sur un plan de joint une pression totale oblique à ce plan, a donné lieu récemment à une autre hypottièse, proposée dès iToG, par Le Hanc, alors ingénieur des ponts et chaussées.

L'usage est adopté généralement de décomposer la pression totale MN en deux composanies: l'une tangentielle NQ, qui est équilibrée par le frottement» l'autre normale MQ, que l'on répartit seule. M. Le Blanc procède autrement.

Soit S la poussée totale MN, a l'angle qu'elle fait avec la normale au joint. Il prend pour valeur de la pression normsde à répartir

le quotient , au lieu du produit Scosa = MQ.

. Pour justifiei* cette manière de procéder, imaginons qu'un corps AB, ayant un poids de S kilogrammes, soit posé sur un massif terminé

à un plan indéfini £F, faisant l'angle a avec Tborizon EH, et qu'il s'y tienne en équilibre, grâce à Tintervention du frottement

Le poids S du corps est équilibré par la réaction — S du massif. Oril est admissible que lecorps comprime seulement le piîsme