DE RUPTURE. IV

continue, à la plus grande intensité de la poussée correspond une courbe des pressions tangente à l'extrados. On peut consulter sur ces propriétés une démonstration analytique donnée par M. H. Résal dans les Comptes rendus de t Académie des sciences ^ 99 janvier 1877,

Nous insistons sur cette condition d'un intrados ou d'un extrados continu, parce qu'on peut très bien concevoir des voûtes stables où il n'y ait ni surface d'intrados, ni surface d'extrados ; il suffit, en effet, pour qu'il y ait possibilité de l'équilibre, qu'il y sût des corps en contact, se pressant par des surfaces de joint Cette remarque permet de reconnaître le danger qu'il y a à chercher exclusivement les conditions de la stabilité des voûtes dans l'étude des formes de ces surfaces, dont l'existence est purement conventionnelle.

GOMPLÊMEtrr DE LA MÉTHODE DE M. liÉBT. — MÉTHODE

D^ M, A. DUBAND^GLAYB*

511. La courbe des pressions d'une voûte donnée n'est pas complètement déterminée, «et, pour la tracer, on prend arbitrairement troi? points de passage, ou bien deux points de passage, et la direction de la tangente A la courbe en l'un de ces -points. L'indétermination ne disparaîtrait que si fon pouvait compléter le calcul, comme pour les poutres droites, en tenant compte de la déformation subie par le syatëme matériel, et de la fixité, réelle ou soppoeée, des surfaces happai extérieures. Mais cette suite du calcul serait extrêmement laborieuse» et en pratique elle ne mériterait pas grande confiance, les lois de la déformation des maçonneries étant encore inconnues, et assur^nent très complexes. On a donc chertbé à tourner la difficulté plutôt qu'i la résoudre. La méthode que nous allons exposer, d*aprës M. Alfred Durand-Glaye, ingénieur en chef des ponts et chaussées, nous parait atteindre ce but de la manière la plus heureuse (i). 8apposo«is, pour plus de simplicité, que la poussée à la clef soit

(I) Annales de» ponts et chaussées, 1867, n<» 142,1. î, p. 63. — On peut consulter aussi sur le néme n4et un mémoire dt M. Ilroaeti, 1^5» n* 103, 1 1, p. 179.

MÉTHODE

Fig. tel.

horizontale, ce qui a lieu quand la voûte est symétrique, symétriquement chaînée, et que les circonstances de pose n'entraînent aucune dissymétrie entre les deux moitiés dont elle se compose. Considérons (fig. 361) un fragment quelconque de voûte compris entre le plan de la clef c^d^^ et un plan de joint ccL La résultante des actions mutuelles qui s'excercent de c^ en d^ est normale à la droite c» d^ par hypothèse, et est appliquée sur cette droite en un certain point compris entre les points Co et do. De même la résultante des actions mutuelles qui s'exercent de c en (f coupe le joint cû? en un certain point de la droite cd. Soit a ce point. La poussée à la def et la réaction

du joint cd résultent de l'hypothèse faite snr la position de ces denx points. Tandis que la réaction du joint cd passe constamment au point a, faisons parcourir au point d'appli- ^tion de la poussée à la clef toute l'étendae du joint Codof et pour chaque position construisons la grandeur correspondante de la poussée à la clef, et la grandeur et la direction de la réaction du joint. Faisons cette opération pour les positions extrêmes c^ et do* Nous aurons, pour la position J., à décomposer, suivant les directions Yd^ et Fa, 1^ poids de la voûte FF appliqué en F, et pour la position ^«, à décomposer le même poids, 66', transporté au point 6, suivant les directions Gco et 6a ; nous trouvons ainsi une force FT pour la poussée correspondante au point d«, une force 6'Q pour la poussée correspondante à c, , et les forces FP, 6Q, pour les réactions exercées au point a dans ces deux hypothèses* Après avoir opéré de même pour un certain nombre de points pris sur le point c^ d^ , portons, à partir de ces points, perpendiculairement au plan de la clef, des ordonnées d^ A. , c« B« , respectivement égales, à une échelle arbitraire, aux forces correspondantes F'P et 6'Q ; nous obtiendrons p^ir là un arc de courbe A, B, dont

DE M. A. DURANO-GI.ÂYE. 561

les ordonnées représenteront les seules valeurs admissibles de la poussée à la clet, quand la réaction du joint cd passe au point a. Nous pouvons de même prAidre, à la même échelle, sur la perpendiculaire à cd^ des longueurs aA|, aB,* respectivement égales aux composantes normales des réactions FP, GQ; ces longueurs et les longueurs intermédiaires seront les valeurs successives de la réaction normale au point a, lorsque le point d'application de la poussée à la clef occupe toutes les positions possibles sur le point Cod^.

Nous pouvons répéter toutes ces opérations sur tout autre point du joint cd; à chaque position correspondra une courbe A« B. des valeurs de la poussée à la def, et une série d'ordonnées portées sur la normale à la surface du jomt au point a, donnant chacune la valeur de la réaction normale correspondante. Imaginons qu'on ait opéré ainsi pour tous les points du joint cd ; nous obtiendrons en définitive à la clef une infinité d'arcs de courbe, qui seront tous compris entre les deux courbes extrêmes ol,^, et y. S,, correspondantes l'une au point c^ Faatre au point d; et pour le joint cd^ une infinité d'ordonnées, comprises entre deux séries d'ordonnées-limites , dessinant les deux arcs-limites a^Yo Pih^. La première condition d'équilibre de la voûte exige que les résultantes des réactions subies par le fragment de voûte cdd^c^^ sur ces faces cd^c^d^^ percent les joints cd^ c^dç^ suivant lesquels ces réactions s'exercent; nous pouvons donc exprimer cette condition en disant que F extrémité de la droite qui représente^ à f échelle j â partir d un point du joint c.do, la poussée horizontale à la clef^ tombe dans t intérieur du contour fermé a,p,8,Y,, et que F extrémité de la droite qui représente^ à la même échelle j à partir dun point du joint cd, la composante normale de la réaction totale subie par ce jointe est comprise dans l intérieur CLu contour fermé a,.p,.8,.Y<. Remarquons qu'il y a correspondance eotre les deux quadrilatères a^y • ^^ sommet a, correspond au sommet a^, le côté a,p, au côté a^p^,' le côté a,v, au côté a^y^.

312. Faisons usage de la troisième condition, celle qui est relative à la limite des pressions locales (§ 3o5 ). Nous avons vu (§ 7o) comment cette condition pouvait se traduire géométriquement lors-

MÉTHODE

que la surface d appui est rectangulaire. Aa point 0, milieu du Fig, Î62 joint crf, prenons à Téchelle, sur la perpen-

diculaire Oo>, une longueur Oco égale à la force qui , répartie uniformément sur la surface rectangulaire de ce joint, donne une pression de R kilogrammes par unité de surface, égale à la limite pratique de la résistance des pierres. Aux points m', n\ tiers du joint, prenons deux longueurs rn!m^ n'n^ égales à la » moitié de 0<o. Joignons par des droites les points rfw, cm^ et prolongeons-les par les arcs d'hyperbole iww, nw, t<ingents à ces droites en m et en n. Le contour cmoine/ donnera pour chaque point de passage de la résultante la valeur-limite admissible pour cette force estimée perpendiculairement au joint.

Appliquons cette construction sur notre épure au joint cd et à la clef Ooct.; nous obtiendrons les deux courbes-limites c^iù^d^ et ctùd.

ng. ttj.

En vertu de la première condition d'équilibre, la composante normale au }6micd^ doit aboutir dans l'intérieur du polygone a,.p,8,Vj; en vertu de la troisième,- elle doit aboutir en dedans du trait continu Ciùd\ donc, en vertu des deux conditions prises ensemble, elle doit aboutir en un point intérieur au polygone '®*'p'a"'x'» commun aux aires des deux polygones pris séparément. Cette limitation de la pression normale à cd entraîne une limitation correspondante de

DE M. A. DURAND-CLÂYE. 563

la poussée en Cod^; car la connaissance de la réaction normale en

un point du joint cd permet de définir en grandeur et en position

la poussée à la clef(i). Faisant usage successivement, par exemple»

'des pressions normales qui correspondent aux points p',x'' ^\*^\

on en déduira les positions p, x« ^ ^^ '^f ^^^ extrémités des poussées horizontales qui leur sont conjuguées; les points p et ^ ap- I partiendront au côté a^y,, qui, comme nous l'avons observé, correspond à la courbe a^y. ; et de même <t et ^ seront situés sur le côté p,8„ qui correspond à la courbe ^<5,. Les courbes po-, f^ pourront être tracées par points en suivant une marche analogue et correspondront point pour point aux courbes o-p'^zir'^'. La poussée à la clef, ainsi limitée au contour pc^zi^x» ^^ limitée d'ailleurs au contour doOioCo par la troisième condition, aboutira en définitive dans l'intérieur de la partie pçsr commune à ces deux contours. De cette limitation de la poussée à la clef résulte une nouvelle limitation de la réaction normale au joint td\ car aux points p, g, «, r, correspondent les points P, Q,S, R, et aux courbes ipr^ qs^ les courbes PR, QS; de sorte que l'ensemble des deux conditions dont nous avons tenu compte se traduit géométriquement de la manière suivante : il faui^ pour que Véquilibre du fragment de voûle soit possible^ que les extrémités des droites représentatives de la poussée et de la réaction normale soient respectivement comprises dans tintérieur des contours conjugués pqsr, PQSR,

313. Nous n'avons pas fait intervenir jusqu'ici la seconde condi-

(1) Voici comment on peut« eo général, déterminer géométriqaement la poussée à l4i clef qui correspond à une composante normale donnée p'n. En nn point quelconque, 0,

r>renon8 sar la Tertlcale une longueur 00' égate au poids

^^' ^^- de in Toâte cdd^c^ estimé à l*échelle; traçons au point 0'

o une horizontale indéfinie O'X; menons par le point 0

une perpendiculaire OY au Joint cd, et prenons sur cette droite une longueur OP égale à la valeur donnée p'n de la eomposante normale. Au point P, élevons PR perpendiculaire à OP; cette drpite coupe en R la droite O'X, et Joignant OR, on aura en O'R la poussée horizontale à la clef, et en OR la réaction eu Joint cd. On mènera eosalte une parallèle à RO par le point n; elle coupera la verUcale FF' en un point qui sera à la hauteur du point cob- Jugué sur le Joint c^^f^

MÉTHODE

tion, celle qui est relative à Tangle du frottement, ou au glissement de la voûte sur les plans de joint. En général elle est remplie dans

la pratique* lorsque les plans de joint sont dirigés normalement à l'intrados: maison peut aussi l'introduire dans la méthode de H.Darand-Claye. Il suffit en effet, pour en tenir compte, d'exclure toute direction de la réaction du joint qui ferait avec la normale un angle supérieur à l'angle du frottement; un exemple montrera comment on doit opérer. Aux points c et d, menons sur la droite cd des normales cN, dN', et faisons de part et d'autre de ces normales des angles Ne/, Nef, N'df", N'd/'", égaux à Fangle du frottement. Si le point d'application de la réaction est en c, on voit sur la figure que la seconde condition sera remplie quelle que soit la position de la poussée àla clef; car les directions extrêmes Fc, Gc, sont toutes deux comprises dans Hangle fcf*. II n'en est pas de même pour le point d : la réaction Fd y est bien encore comprise dans l'angle fdr^ mais la réaction Gd serait extérieure à cet angle. Si donc on construit la courbe y qui correspond au point d, il faudra l'arrêter au point m, à la hauteur de la plus basse poussée ml, qui, composée en I, avec le poids de la voûte, donne pour résultante une réaction Id faisant avec la normale Fangle f' dN' égal à Tangle du frottement*

Par le point G menons la droite G/c, parallèle à df". Le point k donnera la limite à partir de laquelle la poussée horizontale appliquée en Co cesse d'être admissible. Construisons la courbe A.B, correspondante au point k ; la portion utile de la droite p,S« sei'a

DE M. A. DURAND-CLAYF.

limitée au point B«, et Taire a«Y,S«p„ se réduira en définitive à l'aire a,Y« m B, ^„ dont le côté mB, est une droite parallèle à d«Co.En effets les ordonnées de cette ligne sont les poussées qui» composées avec le poids constant appliqué sidvant la droite GF, donnent une résultante parallèle i la direction Gk. Les valeurs de ces poussées sont donc constantes, et sont représentées par la portion de droite mB« parallèle i c^d^.

Le contour a,Y<S^, subit une réduction semblable, et une droite mfii en retranchant Tangle S«. L'introduction de la seconde condition peut donc se traduire graphiquement par le retranchement de certaines surfaces» et rentre par suite dans les procédés généraux de la méthode.

31 A. Ces préliminaires posés, on voit que la vérification delà stabilité d'une voûte revient à constater l'existence de l'aire commune

Fig. 166.

rjj.

à tontes les aires r«gp, qui correspondent chacune à l'équilibre d*un cours quelconque de voussoirs. Si une telle aire existe, l'équilibre sera possible dans les conditions où il a été défini ; si elle n'existe pas, rinstabilité de la voûte, au point de vue des mêmes conditions, sera par cela même constatée. L'aire-limite peut être plus ou moins étendue ; elle peut se réduire à un point; alors l'équilibre n'est possible que d'une seule manière, et la voûte est dans l'état l'équilibre strict. L* aire- limite peut avoir la forme d'un triangle; plus généralement, elle aura la forme d'un quadrilatère pqsr^ terminé latérale-

566 MÉTHODE

ment aux deux côtés du contour doWoCo. Le quadrilatère pqsr étant disposé comme dans la figure 266, les valeurs et positions extrêmes delà poussée à la clef sont définies par les sommets jo, g, r, 5, et, en faisant usage de ces quatre poussées successives, on pourra construire les courbes de pression limites admissibles dans la voûte, savoir p'p", q'q'\ «'s", rV"; la première, p'/?'', correspond à reifort-limite à Y extrados à la clef, et à Y extrados en un certain joint ; la seconde q'<f^ à r effort-limite à Yintrados à la clef, et à Yeœtrados en un certain joint ; la troisième «V, à Teffort-limite à Yintrados à la clef et en un certain joint ; la quatrième enfin, r^r^\ à refifort-limite à Y extrados à la clef, et à Yintrados en un certain joint.

3 j 5. La méthode de H. Alfred Durand*Glaye se résume dans la série des opérations suivantes :

« i<* Détermination des poids des diverses portions de voûte avec leurs surcharges ; détermination des verticales contenant leurs centres de gravité respectifs ;

« â* Tracé des courbes a^, yS, ou ocy, ^, limitant les poussées et pressions compatibles avec l'équilibre, quelle que soit la résistance à admettre pour les matériaux ;

(( 3° Tracé des courbes ctorf, limitant les pressions compatibles avec la résistance propre des matériaux ;

a 4* Superposition des deux séries de courbes précédentes, et détermination des aires rspq au sommet de la voûte ;

« ô"" Superposition de ces aires et recherche de la surface commune, surface qui comprendra les extrémités des lignes représentatives de toutes les poussées admissibles ;

(( G*» Tracé des courbes de pression limites, qui correspondent aux sommets de la surface commune et détermination des parties aibles de la voûte. »

Cette dernière partie des opérations n'est pas indispensable, car les constructions préparatoires renseignent sur les principaux résultats quon déduirsdt du tracé effectif des courbes de pression.

La méthode se prête à une définition précise des points faibles, à la recherche de Téquilibre et de la stabilité des piles et culées ; à