DANS UNE TRAVÉE ARTICULÉE

en déterminant les forces X et T par le procédé géométrique qui vient d'être indiqué.

Dans le cas général où les forces données (i), (a),..., seraient quelconques, on pourrait toujours se servir d'un polygone funicu- Isdre pour les composer; mais les réactions des appuis n'étant pas nécessairement verticales, le problème revient à décomposer une force donnée en deux composantes passant par deux points donnés, ce qui peut se faii*e généralement d'une infinité de manières. Il faut donc qu'on se donne une condition de plus pour achever de déterminer la question, par exemple la direction suivant laquelle agit l'une des deux réactions inconnues.

392, Nous supposerons, dans ce qui suit, que cette première partie du problème ait été résolue, de sorte que nous n'ayons plus à nous occuper que de la recherche des tensions des barres sous l'action de forces toutes connues, appliquées aux sommets du réseau. L& encore les constructions graphi<]^es conduisent très aisément à la solution, par l'usage d'une figure réciproque. Des exemples feront connaître cette méthode.

Ftg. tSS. PIg. SSI.

Soit d'abord un triangle ABC, sollicité par des forces (i), (s), (3), appliquées respectivement à ses sommets. Pour Féqjiilibre, il faut et il suffit que les trois forces (i), (a) et (3) concourent en un même point 0» et que chacune soit égale et opposée à la résultante des deux

autres. Par un point M du plan menons HN égale et parallèle à la force (i), puis par le point N, NP égale et parallèle à la force (s), enfin par le point P, une droite égale et parallèle à la force (3) . Cette dernière droite PM devra fermer le triangle MNP» qui est le polygone de composition des trois forces en équilibre (i), («) et (3).

Pour trouver las tensions des côtés du triangle ABC par le point H, intersection des forces (i) et (3) dans le polygone auxiliaire, menons une droite ML parallèle au côté AC qui joint les points d'application de ces deux forces sur la figure principale. De même par le point N, intersection de forces (i) et (s) de la figure auxiliaire, menons NL, parallèle au côté AB qui joint les points d'application A et B des forces (i) et (a) sur la figure principale. Ces deux droites NL, ML se coupent en un point L , et Ton peut regarder la droite MN comme la résultante des deux composantes NL , LM. Ce triangle NLM est donc semblable à celui que l'on formerait au point A en décomposant la force (i) suivant les directions AC, AB, et par conséquent te longueurs ML, LN représentent respectivement les valeurs des tensions des deux côtés 4 6t 5 de la figure. Par la même raison, la droite LP représente la tension du côté 6, et doit être parallèle à ce côté.

La recherche des tensions s'effectue dcftic très simplement en constmisant la figure auxiliaire MNPL, et celte figure est réciproqu^e la figure donnée ABCO : aux sommets

points de concours des quatre groupes de trois droites

correspondent respectivement dans la figure auxiliaire les triangles

MNL, NPL, PML, MNP,

dont les trois côtés représentent les forces qui sont appliquées aux sommets correspondants et s'y font équilibre. On serait arrivé au même résultat en décomposant les forces ( i ) f (s) et (3) , aux points A,

DANS UNE TRÂYËE RËTICULËE.

B» G, suivant les côtés contigus du triangle ÀBC, par la règle du parallélogramme.

393 • Prenons pour second exemple un quadrilatère articulé ABGD , formé par deux triangles ABD, BDG construits, sur une base commune BD9 et sollicité, en ses sommeti^, par des forces données (1),

(»),(3)et(4).

Fif . m.

Fig. 936.

Il faut d'abord s'assurer que les quatre forces se font équilibre. Pour cela, composons les forces (1) et (s) au point 0 où elles se rencontrent; les forces (3) et (4) au point & où leurs direction se coupent. 11 faudra et il suffira, pour l'équilibre, que la résultante des forces (1) et (s) , et celles des forces (3) et (4) » soient égales et agissent en sens contraires suivant la direction 00'. Si donc on donne les directions des quatre forces, et la grandeur de Tune d'elles, les grandeurs des trois autres seront déterminées par une construction géométrique, sauf le cas où les points 0 et 0' coïncideraient, car alors la direction des résultantes ne serait pas définie, et il faudrait donner la grandeur de deux des forces au lieu d'uiie seule.

Pour former la figure réciproque du quadrilatère donné, menons MN égale et parallèle à la force (1), NP égale et parallèle à la force (s), PQ égale et parallèle à la force (3), QM égale et parallèle à la force (4)* Le polygone se fermera de lui-même en 11| puisqu'il y a équilibre entre les quatre forces. Par Iw points H et N, extrémités du c6té 1, menons des parallèles ML au côté ÂD, et NL au côté AB de la figure principale ; ces droites, qui se coupent en un point L, déterminent des longueurs»

703 KEPARTITION DES TENSIONS.

dont l'une, ML, représente la tension du côté parallèle AD, etFautrela tension du côté ÂB. En définitive, au sommet A, où s'équilibrent trois forces (i), (5) et (6), correspond dans la figure auxiliaire un triangle MNL, dont les côtés sont proportionnels à ces trois forces.

De même, menons par P et Q des parallèles PK, QK, aux côtés BG , CD, de la figure principale ; cela revient à décomposer la force PQ=(3), appliquée au sommet G, en deux composantes PK, QK, tensions des côtés 8 et 9, qui tiennent en équilibre la force (3).

La force (2) est équilibrée par les tensions des côtés 6 et 8, et par la tension de la diagonale BD, qui porte le n"" 7 sur la figure principale. La force (4) est tenue en équilibre par les tensions des côtés 5 et 9, et de la même diagonale 7. Sur la figure auxiliw*e, ces forces sont représentées respectivement par les côtés NP, QM; les tensions des côtés adjacents, déjà trouvées, sont représentées par les droites NL, PK, pour les côtés 6 et 8, et par les droites ML et QK, pour les côtés 5 et 9. La tenâon de la diagonale 7 complète l'équilibre, et par conséquent, elle est représentée sur l'épure par la droite KL qui ferme à la fois les deux quadrilatères PKLN, QKLH; de sorte que la droite KL est nécessairement parallèle à la droite BD. Ces deux quadrilatères correspondent respectivement aux deux nœuds B et D de la figure prindpale, où se réunissent quatre forces en équilibre : savoir, une force extérieure et les tensions de trois liens concourants.

La diagonale MP du quadrilatère auxiliaire représente en grandeur et en direction la résultante des forces (i)et (2) , comme aussi celle des forces (3) et (4) . Gette droite PM doit donc être parallèle à la droite OCK, suivant laquelle agissent ces deux résultantes.

39à. Revenons à la travée réticulée dont nous nous sommes occupés tout à l'heure.

Répétons le polygone des forces (1) , (a) , (3) , (4) et (5), qui ici se réduit à une droite (fig. 338), et partageons cette droite de manière que mz soit la réaction (7) du point A, et z$ la réaction (6) du point B. Par le point m, extrémité compiune au segment mz et la force (1), menons une parallèle au côté 8 du polygone articulé qui joint les mêmes forces. Par l'autre point z^ menons une parallèle au côté (9). Le triangle auxiliaire xmoL correspondra aux trois droites concourantes (7)0