ÉQUATIONS
397. Nous alloDS écrire les équations d'équilibre des forces qui agissent sur l'élément considéré ; ces équations sont au nombre de trois, puisque les forces peuvent être supposées contenues dans le plan longitudinal moyen de la ferme. Le problème consiste à trouver les valeurs des quatre forces F» F» f , f' en fonction de l'abscisse x« et l'on voit sur-le-champ qu'au point de vue analytique ce problème est indéterminé, puisque la statique ne fournit que trois équations entre quatre inconnues. L'équilibre intérieur de la poutre est donc possible d'une infinité de manières, et ce sont les diverses circonstances de la pose et de l'ajustage des pièces qui achèvent dans chaque cas particulier de déterminer le problème. Une nouvelle hypothèse est donc nécessaire pour compléter la solution, et nous choisirons celle qm la simplifie davantage.
Prenons les composantes horizontales des forces agissant sur l'élément de ferme; nous aurons l'équation
qui se réduit à
/d? d9'\ . . JF dr ^
Cette équation nous montre qu'indépendamment de toute hypothèse nouvelle, la fonction n(ç — ç')sîna + F — F est constante dans toute l'étendue de la poutre. Cette force horizontale se retrouve donc tout entière à l'extrémité de la poutre, et doit y être équilibrée par la composante horizontale de la réaction de la culée ; mais nous admettons que la poutre pose sur ses appuis sans y exercer de poussée latérale, et par suite la fonction n (?—>') sina -f F — F, égale à zéro sur la culée, est nulle en tous points de la portée.
On satisfait très simplement à cette condition en posant F = F, ce qui entraîne en même temps f = f ' ; et c'est cette hypothèse que nous adopterons pour acheter la détermination des inconnues. On voit qu'elle consiste à admettre que, dans les poutres à treillis comme
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dans les poutres pleines, la compression d'une des tables est égale à l'extension de la table opposée; il en résulte Tégalité des pressions et des tensions dans les deux systèmes de barres du treillis. Nous n'avons plus alors que deux inconnues F et f , et les équations des composantes verticales et des moments nous en font connaître les valeurs.
l^ Équation des composantes verticales (i) :
^C08« = fMix + Sn(f + ^dxj coss,
laquelle se réduit à Téquation smvante :
(1) fn^-C08a + p = 0.
t"" Ëquation des moments, pris par rapport à un point quelconque» le point D, par exemple.
La somme des moments des forces appliquées aux deux tables
par rapport à ce point est égale à — --j-dxxE. Nous donnons le
signe — à ce moment, parce que la force qui y entre seule tend à faire tourner de droite à gauche son point d'application autour du centre des moments.
Le poids pdx^ dont la direction passe par le point D, a un moment nul.
Les sn forces f , appliquées en dilTérents points du plan MN, on. une résultante verticale, montante, et égale à snf coso. Les sn
forces f f + ^^'' appliquées en différents points du plan M'N',
ont une résultante verticale , mais descendante , et égale à
sn (f + ^ ^) COBOL. La somme des moments de ces deux forces
(1) Nom négUgeonfy tuifant l'usage adopté par las eoDStrocteiin, la portion de réilatance à reflért traDchant dëTeloppëe par les table8.(§ ]2}).
710 ÉUtAllUAS
par rapport au point D est positive, et égaie à l'expression
2n<p CCS a <2x + 2n ^ ces a X -j-»
qui se réduit à son premier terme en effaçant le lerme infiniment petit du second ordre.
L'équation des moments est donc en définitive:
(2j H^ = 8nfC08a.
L'équation (i) donne la loi de variations des forces f , €t montre que f est une fonction linéaire de l'abscisse x; l'équation (à) exprime la loi de variation des forces F« et montre que F est une fonction entière du second degré de cette même variable x. Ces deux équations peuvent d'ailleurs s'interpréter autrement : le produit HF est en effet le moment fléchissant de la poutre dans le plan MN, et snf cosa est \ effort tranchant dans ce même plan. Désignant par M le moment de rupture et par A l'effort tranchant, les équations (i) et (2: se transforment dans les deux suivantes :
dA + pda; = 0, M^kâx,
lesquelles sont les équations générales applicables à toutes les poutres droites ($ ii4)>tandis que les équations (1) et (9) ne conviennent qu'aux poutres à treillis.
L'intégration des équations (1) et (9) est fadle, et introduit deux constantes arbitraires qu'il faut déterminer dans chaque cas parti* culier.
L'intégrale de l'équation (1) est
px
• = Oit — l
^ '^ «ncosa*
la constante arbitraire f^ est la valeur de la force f pour a: = o. Sî donc on prend pour origine des abscisses l'aplomb de la culée, f^ est la force développée dans une barre aboutissant à la culée « et la sonune an^^cosa des composantes verticales des forces f, est
égale à la réaction de la culée, ou à -pl^ l étant la portée de la poutre ; donc
• 4n ces a'
et
27i cos a
Cette équation nous apprend que f est nul au milieu de la portée, et change de signe d'un côté à l'autre de ce point ; les barres d'une même inclinaison sont donc comprimées dans une des moitiés de la poutre et étendues dans l'autre moitié.
En substituant dans l'équation (3) cette valeur de ft on parvient à l'intégrale suivante :
HF = I px(l - x).
La constante arbitrûre introduite par l'intégration est nulle ici, parce que la poutre est simplement posée sur la culée à partir de laquelle on compte les abscisses. On reconnaît sur-le-champ que F est nul pour a: = o et pour or = /, c'est-à-dire sur les culées, et qu'il est maximum pour ar= / — a:, c'est-à-dire au milieu de la portée.
Nous avons ainsi trouvé les formules générales qui donnent f et F,
et reconnu que f varie proportionnellement aux ordonnées, — x^
d'une ligne droite, tandis que F varie proportionnellement aux ordonnées, X (/ — or), d'une parabole à axe vertical : résultats utiles en ce qu'ils permettent de construire une épure qui indique en chaque point la valeur des forces auxquelles la matière de la poutre doit être en mesure de résister.
398. Avant de pousser plus loin la discussion des équations (1) et (a) , nous observerons que le calcul aux différences finies ne nous aurait pas conduit à d'autres résultats que ceux que nous venons de formuler. Pour ce calcul, dx devrait être remplacé par une quantité
