SUR UNE BASE ELLIPTIQUE

Kr.

46. Répartition des pressions sur une base circulaire ou elliptique.

Soit ABMV une section elliptique, définie par ses axes AA' = sa et BB' = «6.

Nous supposons que la résultante P passe en un point G de l'axe AA', à une distance OC du centre égale à p.

A cause de la symétrie, le plan représentatif des pressions R sera normal au plan vertical conduit par AA', et se projettera sur le plan vertical suivant sa trace EE'.

Considérons un élément de surface infiniment petit, compris entre deox droites F6, HK, infiniment voisines, et appelons x Tabscisse 01 de la première de ces droites ; l'abscisse de la seconde sera x + dXf et la surface de l'élément aura pour mesure

y étant l'ordonnée positive, 16, qui correspond dans l'ellipse à l'abscisse «.

L'équation du plan profilé en E'E sera

û représentant l'aire de Tellipse, ou izab, et p^ le rayon de giration par rapport à l'axe OB.

Pour déterminer p, , cherchons le moment d'inertie I de l'ellipse par l'apport à l'axe OB; il sera donné par l'intégrale

1 = « \ ydx X x\

Considérons le cercle décrit sur AA' comme diamètre ; les ordonnées de ce cercle sont aux ordonnées correspondantes de l'ellipse

68 RËPARTITION DES PRESSIONS

dans le rapport de a à 6, et par suite, le moment d'inertie V du cercle par rapport à Taxe OB est au moment I dans le même rapport ; on a donc

La question est ramenée à déterminer le moment d'inertie I du cercle par rapport à Fun quelconque de ses diamètres ; or on a à la fois, en appelant d<i> un élément de surface et en étendant les int^^*ations au cercle entier t

De plus

Pour faire cette dernière intégration, partageons le cercle en élé* ments infiniment petits, compris entre des droites menées par le centre et des circonférences concentriques au cercle donné ; 0 et r désignant les coordonnées polaires, on aura a?*+y*=rr* et rfci)=rrfrrfï. Les limites de l'angle 0 seront o et an ; celles du rayon r seront o et a. Nous aurons donc

Dono

et enfin

1= 4 =ûxj,

ou bien

L'équation qui donne la répartition des pressions locales est ramenée à la forme très simple